Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Аналитический анализ СМО




Экспоненциальная система массового обслуживания

2.2.1.1 Одноканальная однородная экспоненциальная СМО

K
Λ

 

Рис. 2.3

Приходы заявок образуют пуассоновский поток событий. Это означает, что время между приходами любых двух последовательных заявок есть независимая случайная величина с экспоненциальной функцией распределения вероятностей

F (Х) = (2.6)

Одноканальная экспоненциальная СМО задается параметрами λ, . Цель ее анализа заключается в расчете характеристик, важнейшие из которых следующие:

- коэффициент загрузки ρ;

- средняя длина L очереди;

- среднее число М заявок в СМО;

- среднее время ожидания обслуживания;

- среднее время пребывания заявки в СМО.

Коэффициент загрузки рассчитывается по формуле

ρ = λ · . (2.7)

Если выполняется условие

ρ ≤ 1, (2.8)

то существует стационарный режим функционирования СМО.

В стационарном режиме среднее число М заявок в СМО постоянно. Следовательно, в стационарном режиме интенсивность потока уходящих заявок равна λ. Коэффициент загрузки ρ в стационарном режиме есть:

а) среднее значение той части единицы времени, в течение которой канал занят;

б) вероятность того, что канал занят;

в) среднее число заявок в канале.

Средняя длина очереди (среднее число заявок в очереди) в одноканальной экспоненциальной СМО рассчитывается по формуле

(2.9)

Среднее число М заявок в СМО равно сумме среднего числа L заявок в очереди и среднего числа ρ заявок в канале:

М = (2.10)

Заявка перемещается в очереди в среднем с постоянной скоростью. Среднее число переходов заявки в очереди на одно место вперед за единицу времени равно λ.

При такой скорости перемещения L переходов произойдет за время, равное в среднем

= (2.11)

Формула (2.11) дает среднее время прохождения заявки через очередь. Это есть среднее время ожидания.

Среднее время пребывания заявки в СМО есть

= (2.12)

Вероятность наличия в системе k требований определяется с помощью геометрического закона распределения в виде

Многоканальная экспоненциальная СМО отличается от одноканальной следующим. Число каналов в ней более одного. Приходящая заявка стано­вится в очередь, если все каналы заняты. В противном случае заявка занимает свободный канал.

 

Многоканальная экспоненциальная СМО

Многоканальная экспоненциальная СМО задается тремя параметрами: интенсивностью Λ прихода заявок, средним временем обслуживания и числом К каналов (рис. 2.4).

К
К
λ

 


 

 

Рис. 2.4

 

Формулы для расчета характеристик многоканальной экспоненциальной СМО немногим сложнее (2.6) - (2.12).

Коэффициент загрузки определяется в виде

Его значение должно отвечать условно стационарности (2.8).

Средняя длина очереди в блоке ожидания

где - стационарная вероятность того, что в СМО нет заявок. Эта вероятность определяется в виде

=

Остальные характеристики вычисляются через параметры СМО следующим образом:

М = L + K ·ρ; = ; = + .

Многоканальную СМО можно поставить в соответствие, например, многопроцессорному блоку вычислительной системы, имеющему общую память для всех процессоров и, следовательно, общую очередь задач.

 

 

Модель M/G /1

Для однолинейной системы массового обслуживания М / G /1 с пуассоновским потоком на входе, прямой процедурой обслуживания (первым пришел – первым обслужен) и произвольным распределением значений случайного времени обслуживания формула Полячека-Хинчина определяет среднее время ожидания начала обслуживания в виде

 

, (2.13)

Здесь l – интенсивность входного простейшего потока заявок, – среднее время обслуживания, ­­­­­­­­­ – второй момент распределения длительности обслуживания (D – дисперсия).

Заявка перемещается в очереди в среднем с постоянной скоростью. Среднее число переходов заявки в очереди на одно место вперед за единицу времени равно l. При такой скорости переходов за время w заявка совершит Lc переходов. Это есть средняя длина очереди, т.е.

Lc = w l (2.14)

Подставляя в (2.14) вместо w его определение (2.13), получаем выражение для средней очереди СМО М / G /1 в виде

Lc = (2.15)

Здесь – коэффициент загрузки СМО.

Из (2.15), в частности, следует, что для модели М / М /1 (экспоненциальное время обслуживания), когда D = , для средней длины очереди справедливо соотношение

L =

При фиксированном (постоянном) времени обслуживания D = 0, и

Lcп =

Для описания пульсирующего потока часто используется распределение Парето с плотностью распределения вероятностей вида

; a > 0; х > 0,

где α – параметр формы, k – нижний граничный параметр, т.е. минимальное значение для случайной переменной х. При α > 1 имеет место конечное среднее (м.о.) M(x) = α K /(α – 1), при α > 2 – конечная дисперсия D(x) = M(x 2) – M2(x) = α K 2/(α – 1)2/(α – 2).

Подставляя эти значения в (2.15), получаем выражение для оценки среднего значения очереди при времени обслуживания, оаспределенным по Парето

(2.16)

Сопоставляя (2.16) с (2.15) определяем значение α = (1+ ). Это значение является пороговым, при превышении которого для экспоненциальной СМО М/М/1 средняя длина очереди оказывается большей, чем для СМО с пуассоновским входным потоком и распределенным по Парето временем обслуживания при одинаковой входящей нагрузке.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...