 |
Уральский государственный университет им. А.М. Горького
|
|
|
|
I. ВВЕДЕНИЕ
Цель дисциплины
Изучение основных понятий математического анализа, используемые при построении и анализе моделей экономики.
Задачи дисциплины
Изучить основные понятия и определения теории математического анализа и иметь представление об областях применения изучаемых понятий: множества, функции, дифференциальные и интегральные исчисления, функции многих переменных и др.
Место дисциплины в системе высшего профессионального образования
Курс «Математических анализ» является базовым курсом, в блоке естественно-научных дисциплин. Материал данного курса используется во многих предметах математического, информационного и экономического блоков.
Требования к уровню освоения содержания курса
Студенты после прохождения курса «Математический анализ» должны:
ЗНАТЬ
- Основные понятия и определения теории математического анализа и иметь представление об областях применения изучаемых понятий: множества, функции, дифференциальные и интегральные исчисления, функции многих переменных и др.
УМЕТЬ
- Излагать полный объем программного материала на высоком научном уровне;
- Находить необходимые сведения в научной и учебной литературе по курсу и использовать ее при ответах;
- Применять методологию дисциплины, свободно излагать основные понятия дисциплины;
- Творчески применить теоретические знания при решении практических задач, используя ЭВМ и современные методы исследования;
- Показать способность самостоятельно пополнять и обновлять знания в процессе дальнейшей учебы и профессиональной деятельности.
ВЛАДЕТЬ
- Основными приемами и методами дисциплины;
- Методологией дисциплины, свободно излагать основные понятия дисциплины;
|
|
|
- Основными приемами дисциплины для решения практических задач, используя ЭВМ и современные методы исследования.
Методическая новизна курса
Использование традиционной методики.
II. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
1 ТЕМЫ И РАЗДЕЛЫ КУРСА, ИХ КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ.
ТЕМА 1 Множества и функции
Канторовское понятие множества. Операции над множествами. Конечные и бесконечные множества. Действительные числа. Числовые множества. Понятие функции, соответствия, отображения. Элементарные функции и их графики.
ТЕМА 2 Теория предела
Понятие предела последовательности, бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности, арифметические операции над числовыми последовательностями. Монотонные последовательности. Два определения предела функции, их эквивалентность, односторонние пределы.
ТЕМА 3 Непрерывные функции
Непрерывность, односторонняя непрерывность функции, точки разрыва функции, их классификация. Свойства функций непрерывных на отрезке. Непрерывность элементарных функций, монотонные и обратные функции, замечательные пределы. Шкала бесконечно малых и бесконечно больших функций, эквивалентность функций в точке.
ТЕМА 4 Дифференциальное исчисление
Производная, ее геометрический смысл, свойства операции дифференцирования, производная сложной и обратной функции. Дифференциал функции. Теоремы о среднем, правило Лопиталя, формула Тейлора. Монотонность, экстремум, выпуклость, точки перегиба, асимптоты, построение графиков функций.
ТЕМА 5 Интегральное исчисление
Первообразная, неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблицы неопределенных интегралов. Методы интегрирования. Определенных интеграл Римана. Геометрический смысл интеграла. Свойства интеграла, формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменного определенного интеграла. Приложения определенного интеграла.
|
|
|
ТЕМА 6 Функции многих переменных
Частные производные, производные по направлению, градиент. Дифференцируемость. Безусловный и условный экстремум, метод Лагранжа.
ТЕМА 7 Дифференциальные уравнения.
Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные дифференциальные уравнения. Приложения дифференциальных уравнений в экономической динамике.
2 ТЕМЫ ЛАБОРАТОРНЫХ, СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ И КОЛЛОКВИУМОВ
Не предусмотрены.
3 ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1) Предел последовательности.
2) Предел функции.
3) Непрерывность функции.
4) Дифференциальное исчисление: производная и дифференциал функции, исследование функций и построение графиков.
5) Интегральное исчисление: методы интегрирования (замена переменной, интегрирование по частям, интегрирование дробно-рациональных функций), определенный интеграл (формула Ньютона-Лейбница, особенности применения методов интегрирования).
4 ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ
1) Определение предела последовательности. Единственность передела.
2) Ограниченность сходящейся последовательности.
3) Теоремы о переходе к пределу в неравенствах.
4) Свойства бесконечно малых последовательностей.
5) Арифметические свойства предела.
6) Монотонные последовательности. Сходимость монотонных последовательностей.
7) Эквивалентность двух определений предела функции.
8) Арифметические действия с непрерывными функциями.
9) Непрерывность сложной функции.
10) Классификация точек разрыва.
11) Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях.
12) Теоремы Больцано-Коши.
13) Определение производной. Геометрический и физический смысл производной.
14) Правила дифференцирования.
15) Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа.
16) Достаточные условия монотонности функции, локального экстремума.
17) Правило Лопиталя.
18) Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
19) Определенный интеграл Римана. Формула Ньютона-Лейбница.
|
|
|
20) Определенный интеграл Римана. Геометрический смысл определенного интеграла.
21) Частные производные. Производные по направлениям. Градиент. Определения и свойства.
22) Метод множителей Лагранжа.
23) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
24) Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
III РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ КУРСА ПО ТЕМАМ И ВИДАМ РАБОТ
| № п/п | Тема, раздел | Учебный план, часов | |||||||
| Аудиторные занятия | Самостоя-тельная работа | Итого по темам | |||||||
| лекции | Практи-ческие | ||||||||
| Д | З | Д | З | Д | З | Д | З | ||
| Множества и функции | |||||||||
| Теория предела | |||||||||
| Непрерывные функции | |||||||||
| Дифференциальное исчисление | |||||||||
| Интегральное исчисление | |||||||||
| Функции многих переменных | |||||||||
| Дифференциальные уравнения | |||||||||
| Всего | 16/10 | 12/6 | 242/254 | 270/270 |
IV. ФОРМА ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ
По всем формам обучения предусматривается сдача и зачета, и экзамена.
Основная
1) Дмитриев, В. И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям: учебное пособие [для вузов] / В. И. Дмитриев. – М.: КДУ, 2007. – 220 с.
2) Степанов, В. В. Курс дифференциальных уравнений: учебник для вузов / В. В. Степанов. – Изд. 10-е. – М.: [Изд-во ЛКИ, 2008]. – 472 с.
3) Филиппов, А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям / А. Ф. Филиппов. – Изд. 2-е. – М.: [Изд-во ЛКИ, 2008]. – 237 с.
4) Шолохович, Ф. А. Высшая математика в кратком изложении: [учебник для гуманитар. и соц.-экон. специальностей и направлений вузов] / Ф. А. Шолохович. – Изд. 4-е, испр. и доп. – Екатеринбург; М.: Уральское изд-во: Большая Медведица, 2008. – 415 с.
Дополнительная
1) Клименко, Ю. И. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи: учебник для вузов / Ю. И. Клименко. – М.: Экзамен, 2005. – 736 с.
2) Сборник задач по высшей математике с контрольными работами: учеб. пособие для вузов. 2 курс, Ряды и интегралы. Векторный и комплексный анализ. Дифференциальные уравнения. Теория вероятностей. Операционное исчисление / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, В. П. Норин, Ю. А. Шевченко; под ред. С. Н. Федина. – М.: Айрис Пресс, 2004. – 592 с.
|
|
|
3) Шолохович, Ф. А. Основы высшей математики: учеб. пособие для вузов / Ф. А. Шолохович, В. В. Васин. – 2-е изд., испр. и доп. – Екатеринбург: Уральское изд-во, 2003. – 416 с.
VI. РЕСУРСНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
Необходима аудитория с мультимедийным оборудованием и программным обеспечением Microsoft PowerPoint и Microsoft Word.
Уральский государственный университет им. А.М. Горького
620083, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51.
E-mail: [email protected]
|
|
|
