 |
Условное суждение и его следствия.
|
|
|
|
Пусть высказывание A®В является верным. Это означает, что фактически, В есть более широкое утверждение, а А описывает частный случай В.
Пример. Кошки ® животные. Можно символически представить реализацию утверждений через множества: множество животных шире. Если взять любой элемент множества кошек, он обязательно попадет в множество животных, так как оно более широкое. То есть, А ведет себя как подмножество В.
Тогда возможны 4 ситуации:
1. 
Если А выполнено, то В тоже выполнено. 
A®В
2. 
Если В не выполнено, то и А не выполнено.
┐В®┐А
3. 
Если А не выполнено, то возможно, что В не выполнено.
4. 
Если В выполнено, то возможно, что А выполнено.
(как одна из возможных причин, ведь В могло следовать из чего-то еще)
Пример. Кошки ® животные. (Порисовать множества и точки на них.)
1. Если у нас есть кошка, то она – животное.
2. Если у нас не животное, то оно точно не кошка.
3. Если у нас не кошка, то возможно, что это животное (а возможно, цветок)
4. Если у нас есть животное, то возможно, что оно – кошка (а возможно, нет).
Применение логических законов в рассуждениях.
В нашей повседневной жизни мы часто пользуемся рассуждениями. Сопоставляя известные нам факты и закономерности, мы получаем новые факты и закономерности, которыми раньше не располагали.
Умозаключение — форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем заключение.
Логика - наука о том, как рассуждать так, чтобы можно было:
· убедить других в правильности своих рассуждений,
· понимать ход рассуждений других,
· в случае ошибки явно указать место ее возникновения.
|
|
|
Вообще говоря, любое суждение должно быть обосновано.
Из рассмотренных логических законов вытекают такие основные умозаключения:
1. Чисто условное умозаключение: Если A®В, и В®С, то А®С
2. Если A®В, то 
® 
.
3. Если A®В, то выполнено ÚВ (или , или В).
4. Для построения отрицания высказываний используются законы Моргана:
a. Если не выполняется А и не выполняется В, то (АÚВ) тоже не выполняется.
b. Если не выполняется хотя бы одно из А или В, то (АÙВ) не выполняется.
5. Для того, чтобы доказать, что А®В неверно, требуется найти хотя бы один пример того, что А выполнено, а В при этом – нет.
Пример 8. Посылки:
(1)Множество натуральных чисел содержится во множестве целых чисел.
(2) Множество целых чисел содержится во множестве рациональных чисел.
Решение:
обозначим А= «число принадлежит N», В= «число принадлежит Z», C= «число принадлежит Q». Тогда, по условию, А®В и В®С.
Тогда А®С.
Заключение: Множество натуральных чисел содержится во множестве рациона-льных чисел.
Пример 9. Посылка: «Когда идет дождь, я беру на улицу зонт».
Какие заключения истинны:
1. Если я взял зонт, значит, на улице дождь.
2. Если я без зонта, значит, дождя нет.
3. Если дождя нет, я не беру зонт.
4. Или нет дождя, или я с зонтом.
Решение:
обозначим А= «идет дождь», В= «я беру зонт». Тогда, по условию, А®В.
Переведем предлагаемые заключения на язык наших высказываний:
1. В®А
2. ┐В®┐А
3. ┐А®┐В
4. ┐АÚ В
Какое из них может равносильно исходному? 2 и 4.
Логика предикатов.
Функция – это некоторое арифметическое выражение, которое может принимать разное значение в зависимости от значений входящих в нее переменных. Например, f(x)=x+x2. Тогда f(2)=6.
Одноместным предикатом Р (х) называется функция одного переменного, в которой аргумент х пробегает значения из М – области определения предиката, а функция при этом принимает одно из двух значений: истина или ложь.
|
|
|
То есть, предикат – это логическая функция. А вот аргумент может быть не обязательно логической переменной.
Множество I, на котором предикат принимает только истинные значения, называется областью истинности предиката Р(х).
Пример.
· Р1(s)=«студент s получил оценку выше 0 за КН». Область истинности предиката Р1 состоит из студентов s, которые получили 1-2 баллов.
· Р2(t)=«t2=1». Область истинности предиката Р2 состоит из 2 значений: I ={+1;-1}.
n-местным предикатом Р (х) называется всякая функция n переменных (х 1, х 2,..., хn), определенная на множестве М = М 1 ´ М 2 ´... ´ Мn и принимающая на этом множестве одно из двух значений: истина или ложь.
Пример:
· Р3(А, В)=«А любит В». Область истинности предиката Р3 состоит из пар людей, в которых первый любит второго.
|
|
|
