Уравнение затухающих колебаний

В любой реальной колебательной системе есть силы сопро­тивления (трения), действие которых приводит к уменьшению амплитуды и энергии колебаний. Такие свободные колебания называют затухающими.

Будем исходить из основного уравнения динамики, полагая, что на частицу массы т действует кроме квазиупругой силы (-kх)сила сопротивления, пропорциональная скорости части­цы (простейший, и вместе с тем наиболее часто встречающийся случай), ,где r — коэффициент сопротивления (величина размерная). Тогда уравнение движения будет иметь вид

, (5)

или

, (6)

где 2β = r / m, . Отметим, что ω₀ — это частота свобод­ных колебаний без трения. Частоту ω₀ называют собственной частотой осциллятора, а β — коэффициентом затухания.

Эксперимент показывает, что смещение x точки от положения равновесия удовлетворяет зависимости

, (7)

где a ₀ – амплитуда колебаний в начальный момент времени и α – начальная фаза колебаний. Анализ выражения (7) показывает, что величина ωявляется частотой затухающих колебаний. Можно установить зависимость величины ω от параметров ω₀ и β, если, пользуясь выражением (7), найти , и подставить найденные выражения в (6). После преобразований (проведите их самостоятельно) получим:

. (8)

График функции (3.3) показан на рис. 3 для случая х ₀ > 0 и . Затухающий колебательный процесс не является в строгом смысле пери­одическим. Действительно, рассмотрим момент времени t_n, когда cos(ω t_n + α) = 1 и следовательно x (t_n) =a (t_n) = . Ясно, что при любом t > t_n x (t) < x (t_n), т. е. значение функции x (t_n)не повторяется ни при каких t > t_n. Ясно в то же время, что благодаря гармоническому множителю cos(ω t + α)функция x (t)обладает определенной повторяемостью: в частности, повто­ряются через равные промежутки времени как нулевые значения функции x (t), так и ее максимумы и минимумы. Поэтому величину Т = 2π/ω принято называть периодом зату­хающих колебаний:

. (9)

Множитель а = а ₀е^{-β t} перед косинусом в (7) называют ам­плитудой затухающих колебаний (пунктир на рис. 3).