 |
Оценивание arch-n модели: метод максимального правдоподобия.
|
|
|
|
Применение метода максимального правдоподобия требует явного задания функции плотности распределения случайных величин 
. Предположение о нормальном характере распределения 
позволяет воспользоваться простой и детально разработанной процедурой оценивания неизвестных параметров, которая и является предметом рассмотрения настоящего параграфа. Гипотеза об условной нормальности процесса формально записывается как
(N) 
.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
Оценки метода максимального правдоподобия (ММП) доставляют максимум критериальной функции, составленной из вкладов отдельных наблюдений:
(3.1) 
,
где вклад t-го наблюдения определяется как
(3.2) 
.
совпадает с логарифмом совместной плотности распределения вектора 
. Градиент и гессиан критериальной функции также составлены из вкладов отдельных наблюдений:
,
вклады наблюдения t записываются как
(3.3) 
(3.4) 
.
Вычислим условные ожидания (3.3) и (3.4) в точке истинных параметров. Значения функций 
и 
, производные этих функций по q предопределены к моменту t. Выражения, заключенные в квадратные скобки, обращаются в нуль. Имеем
(3.5) 
(3.6) 
Обозначим 
матрицу условной ковариации вклада t-го наблюдения градиент:
(3.7) 
.
Вследствие (3.5) безусловное ожидание градиента критериальной функции равно нулю:
(3.8) 
.
Определим информационную матрицу как безусловную ковариацию градиента в точке 
:
(3.9) 
.
Поскольку последовательность вкладов наблюдений в градиент критериальной функции серийно не коррелирует (равенство (3.5)), информационная матрица может быть также вычислена по формуле
(3.10) 
.
Для дальнейшего изложения существенно, что соотношения (3.3)-(3.10) были выведены вне связи с гипотезой (N).
ИНФОРМАЦИОННАЯ МАТРИЦА.
|
|
|
В теории метода максимального правдоподобия известно равенство
(3.11) 
,
которое нетрудно установить и в данном случае. Внешнее произведение вклада t-го наблюдения в градиент 
содержит 
в степени от первой до четвертой. Условные мат. ожидание и дисперсия истинных остатков определены равенствами (М. 3)-(М. 4), тогда как для вычисления третьего и четвертого моментов необходимо прибегнуть к дополнительному предположению (N). (3.11) влечет равенство
(3.12) 
,
однако вычислить полные ожидания не представляется возможным.
В некоторых случаях вектор q можно разделить на компоненты b и g, первая из которых параметризует условное среднее, вторая – условную дисперсию. Тогда 
, однако даже в этом случае 
. Если, кроме того, распределение симметрично, выполнены некоторые ограничения на функциональную форму 
, то информационная матрица является блочно-диагональной:
.
Engle (1982) приводит набор достаточных условий и формальное доказательство для ARCH (q)- N модели. Блочная диагональность информационной матрицы между параметрами b и g означает, что оценки параметров среднего состоятельны даже при неверной спецификации функции условной дисперсии. В частности, оценки методом наименьших квадратов являются состоятельными, однако, выигрыш в эффективности от использования ММП по сравнению с МНК может оказаться сколь угодно великим. Более того, оценки g, полученные на основе состоятельных, но не эффективных оценок b (например, на основе МНК), сохраняют свойство асимптотической эффективности.
Не обладают свойством блочной диагональности информационные матрицы ARCH-M моделей: для них разбиения q = (b, g) не существует. Иное исключение составляют EGARCH модели и другие, в которых является асимметричной функцией остатков. Присутствие ошибок в спецификации функции условной дисперсии приводит к несостоятельности оценок параметров среднего, и наоборот. Состоятельное оценивание требует верной спецификации полной модели.
|
|
|
При определенных условиях регулярности оценки максимального правдоподобия состоятельны, асимптотически нормальны и эффективны с асимптотической матрицей ковариации
(3.13) 
.
Существуют два базовых способа состоятельно оценить информационную матрицу. Первый способ основан на связи информационной матрицы и гессиана (равенства (3.11)-(3.12)). В качестве оценки приемлема матрица 
, где
(3.14) 
.
Данная оценка построена как сумма выражений вида 
, причем участвующие в 
функции исчислены в точке 
.
Второй способ вытекает из равенства (3.10) для информационной матрицы. Опустив знаки мат. ожиданий и воспользовавшись оценками неизвестных параметров, приходим к
(3.15) 
.
Второй способ восходит к статье Berndt, Hall, Hall, and Hausman и потому называется BHHH. Другое название - метод внешнего произведения градиента (outer product of the gradient, OPG).
Как , так и 
состоятельны для I. Обращенная информационная матрица служит оценкой матрицы ковариации оценок максимального правдоподобия 
. Возможны, следовательно, два выражения:
(3.16.а) 
(3.16.б) 
.
|
|
|
