 |
Ламинарное течение жидкости
|
|
|
|
Напомним, что ламинарное течение - это упорядоченное слоистое течение, математическое описание которого основано на законе трения Ньютона.
Для начала рассмотрим установившееся ламинарное течение в круглых трубах. В трубе диаметром 2r0 выделим цилиндрический объём жидкости между сечениями 1 и 2 длиной l и диаметром 2r. Отметим, что давления в сечениях 1 и 2 соответственно равны P1 и P2. Распределение скоростей по сечению потока на всей длине трубы одинаково, поэтому одинаково и значение коэффициента кинетической энергии α. На рассматриваемый объём, движущийся со скоростью V, действуют силы давления (на торцовые поверхности) и силы сопротивления, вызванные вязким трением τ на боковой поверхности. Как уже было получено выше
,
а уравнение сил, действующих на выделенный объём, будет выглядеть
.
Выразив отсюда 
, получим
.
Из последней формулы следует, что касательные напряжения трения линейно зависят от радиуса потока. Это показано на рисунке. С другой стороны, касательные напряжения по закону Ньютона равны
или, в нашем случае 
т.к. разница скоростей между соседними потоками жидкости зависит от радиуса r. Знак «-» в формуле означает, что отсчёт по r направлен от оси к стенке, а при отсчете по y - от стенки к оси потока. Тогда
.
Из этого соотношения можно найти приращение скорости
,
т.е. при увеличении радиуса скорость уменьшается, что соответствует эпюре скоростей.
После интегрирования, получим
Постоянную интегрирования C легко определить из известных условий у стенки трубы, т.е. при r = r0, u = 0. С учётом этих условий C примет вид 
. И тогда скорость в ламинарном потоке в зависимости от радиуса (а практически это скорость цилиндрического слоя жидкости, состоящего из элементарных струек, расположенных на одном радиусе в цилиндрическом потоке) будет описываться 
формулой
|
|
|
,
которая, с математической точки зрения, является квадратной параболой и очерчивает эпюру распределения скоростей по сечению потока. Максимальное значение скорости достигается в центре потока при r=0 и составляет
.
Используя значение скорости u, определим величину расхода через кольцевую площадь dωc шириной dr, находящуюся на расстоянии r от центра трубы. Выше было отмечено, что скорость в любой точке этого кольца одинакова, и тогда
.
Проинтегрировав dQ по всей площади трубы (т.е. от r = 0 до r = r0), получим
Средняя скорость в таком потоке будет
Заметим, что средняя скорость потока с параболическим распределением скоростей вдвое меньше максимальной.
Из последнего выражения легко получить закон сопротивления потоку, т.е. зависимость потерь энергии от размеров и параметров движения жидкости:
Заменив в этом выражении динамический коэффициент вязкости 
кинематическим и выразив радиус трубы r0 через диаметр d, получим
Полученное выражение носит название закона Пуазейля и применяется для расчета потерь энергии с ламинарным течением.
Эту же величину потерь на трение ранее мы выразили формулой Дарси. Если приравнять правые части формулы Дарси и закона Пуазейля, получится:
Заменим расход произведением 
и подставим в последнее равенство
.
Искусственно умножим и разделим числитель и знаменатель на V:
Очевидно, что в этом случае
.
Это выражение для коэффициента гидравлического трения при ламинарном движении жидкости хорошо подтверждается экспериментом и используется на практике для определения потерь энергии в потоке при ламинарном течении. Иногда этот коэффициент обозначается 
.
Зная полученные выше выражения для скорости элементарной струйки u и для средней скорости потока V, можно вычислить значение коэффициента кинетической энергии 
в уравнении Бернулли, который является отношением действительной кинетической энергии к кинетической энергии, посчитанной с применением средней скорости
|
|
|
.
Учтём, что 
, 
, скорости 
и 
. Переменную интегрирования ω (площадь живого сечения) заменим радиусом. После подстановки в выражение для α получим:
.
Раскроем интеграл в числителе
.
Проинтегрируем эту функцию в пределах от 0 до r0, т.е. по сечению потока
.
Теперь рассмотрим знаменатель выражения для α:
.
Разделив полученные числитель на знаменатель, будем иметь значение коэффициента кинетической энергии α:
.
Это значит, что кинетическая энергия ламинарного потока с параболическим распределением скоростей вдвое превышает кинетическую энергию того же потока с равномерным распределением скоростей.
В некоторых случаях удобно знать другой поправочный коэффициент, который учитывает отличие действительного количества движения потока от его значения, посчитанного с использованием средней скорости потока V. Этот коэффициент обозначают α0, называют коэффициентом количества движения и вычисляют по формуле
.
По аналогии с вычислением коэффициента α, подставив вместо u и V соответствующие выражения, после возведения в квадрат и замены переменной интегрирования получим для числителя:
.
После интегрирования в пределах от 0 до r0, числитель примет вид
.
Знаменатель выражения для α перепишем в виде
.
После деления числителя на знаменатель получим значение коэффициента количества движения α0:
.
Эта величина для ламинарного потока с параболическим распределением скоростей, так же как и α, является величиной постоянной.
Все приведённые зависимости справедливы для участков прямых гладких труб постоянного сечения с параболическим распределением скоростей по живому сечению потока.
|
|
|
