Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Интегрирование методом подстановки

Определенный интеграл

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача о площади криволинейной трапеции.

Опред. Криволинейной трапециец называют фигуру, ограниченную графиком непрерывной функции y=f(x) (f(x)=0), осью 0х и прямыми х=а, х=b

Вычислим площадь такой фигуры

Заметим, что:

1) площадь есть неотрицательное число;

2) равные фигуры имеют равные площади;

3) площадь всей фигуры равна сумме площадей частей, на которые разбита эта фигура.

Для решения этой задачи разобьем отрезок [a, b] произвольным способом на n малых отрезков точками

х₀ = а, х₁, х₂, …, х_n = b

Обозначим длины этих отрезков через

…,

Обозначим через m_к и М_к через наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на к-ом элементарном отрезке [х_к-1, х_к].

Построим на каждом элементарном отрезке, как на основании, два элементарных прямоугольника: «входящий» с высотой m_к и «выходящий» с высотой М_к. Их площади будут соответственно равными и .

- сумма площадей всех «входящих» прямоугольников, т. е. площадь вписанной ступенчатой фигуры (рис. 1)

- сумма площадей всех «выходящих» прямоугольников, т. е. площадь описанной ступенчатой фигуры (рис. 2)

S – площадь криволинейной трапеции

При любом разбиении отрезка [a, b] имеем следующее двойное неравенство:

(1)

Для любого числа n S_n и S_n – будут определены, т. е. известны. А S – мы должны будем определить.

Построим теперь на элементарных отрезках [х_к-1, х_к] прямоугольники третьего вида: высота каждого прямоугольника равна ,

где х_к-1 х_к,

а значит m_к М_к

Площадь такого прямоугольника равна .

Площадь фигуры, составленной из таких прямоугольников

Сама эта фигура (рис. 3), есть ступенчатая фигура, занимающая некоторое промежуточное положение между фигурами, состоящими из всех «входящих» прямоугольников (рис. 1) и всех «выходящих» прямоугольников (рис. 2)

(2)

или кратко

Это неравенство справедливо при всяком n и любом способе разбиения отрезка [a, b] и при любом выборе точки в элементарных отрезках. Из рисунка 3 видим, что

> и <

C увеличением числа n, -- уменьшается, величина - монотонно возрастает, оставаясь < ,

величина - монотонно убывает, оставаясь >

Это значит, что существуют пределы и при (свойство пределов)

Из равенства (2) следует, что (свойство пределов)

Но А = S – площадь криволинейной трапеции.

Следовательно

Площадь криволинейной трапеции называется предел, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры (рис. 3), составленной из элементарных прямоугольников, когда .

Задача о работе переменной силы.

Пусть под действием некоторой силы F материальная точка М движется по прямой OS, причём, направление силы совпадает с направлением движения. Требуется найти работу, произведённую силой F при перемещении точки М из положения s = a в положение s = b.

1) если сила F=const, то A=F(b-a). Работа равна произведению силы на длину пути.

2) Предположим, что сила F непрерывно меняется в зависимости от положения материальной точки, т.е. представляет собой функцию F(s), непрерывную на отрезке [a,b]. Разобьём отрезок [a,b] на n произвольных частей с длинами . На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку

Предполагая, что сила на каждом элементарном отрезке сохраняет постоянное значение равное, , найдём работу на пути ,

а будет приближённое значение выражение работы силы F на всём отрезке [a,b]. Предел этой суммы при и выражает работу силы F(s) на пути от точки S = a до точки S = b.

Определённый интеграл.

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция . Разобьем отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками где . Обозначим внутри отрезка выберем произвольно точку и вычислим значения функции Сумма произведений вида

Называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a,b]. Т. к. функция f(x) – непрерывна, то где соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [x_k_-1, x_k]. Умножая все члены последнего неравенства на получим

Если на отрезке [a,b], геометрический смысл последнего неравенства мы разбирали.

Предел и существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] на части, причём .

На основании свойства пределов существует .

Определение: если при любых разбиениях отрезка [a,b], и при любом выборе точек на отрезках [x_k_-1, x_k] интегральная сумма стремится к одному и тому же пределу S, то этот предел называют определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначают .

Таким образом, по определению

Число a называют нижним пределом,

b- верхним пределом. Отрезок [a,b] называют отрезком интегрирования, Х-переменной интегрирования.

Если на отрезке [a,b], то численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью ОХ

Замечание1: Определённый интеграл зависит только от вида ф-ии f(x) и пределов интегрирования, но не зависит от переменной интегрирования, которую можно обозначить любой буквой.

Замечание2: из определения определённого интеграла следует, что .

Замечание3: при a=b, .

Пар.12. Основные свойства определённого интеграла.

1) постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла , где А-const.

2) определённый интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме от интегралов слагаемых.

3) если на отрезке [a,b], где а<b, функции f(x) и удовлетворяют условию f(x) , то .

4) если m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a,b] и то

5) теорема о среднем.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке найдётся такая точка что справедливо следующее равенство

6) для любых трёх чисел a, b, c справедливо равенство, если только эти три интеграла существуют.

Доказать все эти свойства самостоятельно.

§13 Вычисление определённого интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть в определённом интеграле нижний предел а закреплён, а верхний предел b меняется. Тогда будет меняться и значение интеграла, т.е. интеграл есть ф-ия верхнего предела.

Перейдём к привычным обозначениям: верхний предел обозначим через x, а переменную интегрирования через t.

, где a – const.

Если f(t)≥0, то Ф(х) – численно равна площади криволинейной трапеции аАХх (Рисунок 1).

Рисунок 1 – График функции f(x).

Теорема 1. Если ф-ия f(x) – непрерывная функция и , то имеет место равенство Ф‘(х) = f(x).

Или: производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной ф-ии, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела.

Док-во. По определению производной имеем:

;

По теореме о среднем:

, где

Найдём .

След-но ,

т.к. при . Теорема доказана.

Замечание. Из доказанной теоремы следует, что если ф-ия f(t) – непрерывна на отрезке [a, x], то сущ-ет ф-ия и она является первообразной для ф-ии f(x), то справедлива формула:

(1)

Эта формула наз. формулой Ньютона-Лейбница.

Док-во. Пусть F(x) – есть некоторая первообразная от ф-ии f(x). По теореме 1 есть такая же первообразная от ф-ии f(x), а две первообразные от данной ф-ии отличаются на постоянное слагаемое С^*:

. (2)

Это равенство при соответствующем значении С^* верно для всех х, т.е. являются тожд-ом.

При х = а имеем:

;

0 = F(a)+C^*, откуда С^* = - F(a).

При х = b равенство (2) будет:

Заменив переменную t на х получим ф-лу Ньютона-Лейбница:

Её можно, при решении, записать так:

Примеры:

§14 Методы вычисления определённого интеграла

14.1 Интегрирование по частям.

Пусть u и v – дифференциальные ф-ии, тогда:

Интегрируя обе части в пределах от а до b получим:

;

откуда: .

Пример:

Интегрирование методом подстановки

Теорема: Пусть дан интеграл:

где ф-ия f(x) непрерывна на отр. [a,b].

Введём новую переменную:

Если 1) , ;

2) и непрерывны на отр. ;

3) определена и непрерывна на отр. ,

то (1)

Док-во: Если F(x) первообразная для ф-ии f(x), то можем написать следующее равенства:

(2)

(3)

Из равенства 2 получаем

Из равенства 3 получаем

Правые части этих выражений равны, следовательно, равные и левые.

Пример. 14.3)Интегрирование нечетных и четных функций на отрезке, симметричном относительно нуля.

Пусть - непрерывная функция на отрезке симметричном относительно нуля.

А) -нечетная функция, т.е.

Докажем, что

Подставим в равенство 4

Итак, определенный интеграл с противоположными пределами от нечетной непрерывной функции равен нулю.

Пример. , т.к. функция есть нечетная функция.

б) -нечетная функция, т.е.

Докажем, что 5

Используем равенство 4 и

Итак, определенный интеграл с противоположными пределами от четной непрерывной функции равен удвоенному интегралу от этой функции, взятому по правой половине отрезка интегрирования.

&15.Несобственные интегралы.

15.1)Интегралы с бесконечными пределами.

Пусть функция определена и непрерывна при всех x, удовлетворяющих неравенству

.Рассмотрим интеграл , b>a

0 a b х

При изменении в интеграл изменяется.Пусть b

Определение.Если существует конечный предел ,то этот предел называют несобственным интегралом от функции на интервале и обозначают

. Следовательно

Если существует, то говорят несобственный интеграл сходится.

Если этот предел не существует или равен ∞, то говорят несобственный интеграл расходится.

В случае выражает площадь неограниченной области, заключенной между линиями и осью OX. Аналогично определяются несобственные интегралы вида

Для последнего равенства, если сходятся оба интеграла, стоящих справа, то сходится и интеграл, стоящий слева.Если хотя бы один из них расходится, то расходится и интеграл, стоящий слева.

Примеры.

Несобственный интеграл сходится.

Не существует (нет определенного значения).Следовательно несобственный интеграл расходится.

Во многих случаях достаточно установить сходится данный интеграл или расходится и оценить его значение. В этих случаях можно воспользоваться следующими теоремами, которые запишем без доказательства.

Теорема 1. Если для всех х (х≥а) выполняется неравенство 0≤f(X)≤Y(x)

и если сходится, то также сходится и при этом

Пример.

Вспомогательная функция

при всех

сходится

Следовательно и данный несобственный интеграл сходится.

Теорема 2. Если для всех выполняется неравенство , причем расходится, то расходится и .

Пример. ,

при всех

расходится следовательно данный несобственный интеграл расходится.

Теорема 3.Если сходится, то сходится и интеграл .

В этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся.

Пример.

сходится.

Следовательно данный несобственный интеграл сходится.

15.2) Интеграл от разрывной функции

Пусть функция определена и непрерывна при , а при функция либо не определена, либо терпит разрыв.

В этом случае нельзя говорить об интеграле как о пределе интегральных сумм.В этом случае его определяют так:

Если это предел существует, то говорят несобственный интеграл сходится, в остальных случаях расходится.

Если функция определена и непрерывна при , то

Если функция терпит разрыв при , где , то

В последнем равенстве, если оба интеграла, стоящие в правой части, сходятся, то сходится и интеграл, стоящий в левой части.

Если хотя бы один из интегралов, соящих в правой части равенства расходится, то расходится и интеграл, стоящий в левой части.

Пример.

При функция разрывна,

, т.е. интеграл сходится.

Для определения сходимости несобственных интегралов от разрывных фукций и оценки их значений часто применяют теоремы, аналогичные теоремам для интегралов с бесконечными пределами.

Теоремы сформулировать самостоятельно.

Примеры.

1) при х=1 функция разрывна

сходится

Следовательно, данный интеграл от разрывной функции сходится.

2) функция при разрывна

при

расходится

Следовательно расходится.

&16. Вычисление площади фигуры

16.1) Площадь фигуры в декартовой системе координат.

Мы уже рассматривали как вычисляется, площадь криволинейной трапеции, в случае когда на отрезке (рис.1)

Если на отрезке , то (рис.2)

0 a b х

Рис.1

0 х

а b

рис.2

0 a b х

Рис.3

Если функция F(x) конечное число раз меняет знак на отрезке [a,b], то отрезок [a,b] разбивают на части, где F(x) будет знакопостоянной (рис.3) и площади суммируют. Если область ограничена 4), то замкнутым контуром (рис.

Рис.4

Пример. 1) Найти площадь фигуры, ограниченной кривой , прямой y=8 и осью OY.

2)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и y=3x

16.2) Площадь фигуры в полярной системе координат.

При вычислении площади в полярной системе координат простейшей фигурой является криволинейный сектор ОАВ с вершиной в полюсе.

Криволинейный сектор ОАВ ограниченного кривой ρ=F(Ө) и лучами Ө=α, Ө=β. Разобьем данную область лучами на n частей.

Площадь элементарного сектора заменим круговым сектором, площадь которого:

где .

Эта сумма есть интегральная сумма для функции на отрезке , поэтому или

Пример. Вычислить площадь области, ограниченной кардиоидой ,

17. Длина дуги кривой.

17.1)Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.

В прямоугольных координатах на плоскости дана кривая уравнением y=F(x)

Найдем длину дуги AB. В дугу АВ впишем ломанную абсциссы т. соответствуют

- длина одного звена ломанной.

Длина ломанной

Длиной дуги АВ называют тот предел, к которому стремится длина вписанной ломанной, когда

По теореме Лагранжа имеем:

, где < <

Следовательно

Замечание 1 Кривая задана параметрически

x=x(t)

y=y(t),

dx=x’(t)dt

или

Замечание 2 Задана пространственная кривая параметрически

x=x(t)

y=y(t)

z=z(t)

Примеры.

1) Найти длину дуги AB цепной линии

от т.(0;2) до т.(2; )

2) Вычислить длину L первого витка винтовой линии

x=acost

y=asint

z=bt

Длина дуги кривой в полярных координатах.

Уравнение кривой в полярной системе координат:

формулы связывающие прямоугольные и полярные координаты имеют вид:

Подставляя вместо выражение из уравнения кривой получим параметрические уравнения кривой

(проверить самостоятельно)

Пример. Вычислить длину кардиоиды

Т.к. кривая симметрична относительно полярной оси, то

Для S₁

18.1) Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.

Имеем некоторое тело Т. Предположим, что известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ. Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости, т.е. являться функцией от х.

S=S(x).

Разобьем это тело на слои плоскостями x₀=а,х₁,,…,x_n=b

В каждом частичном отрезке выберем т. и вычислим .Построим цилиндрическое тело с основанием и высотой .