 |
Скорость материальной точки
|
|
|
|
На правах рукописи
Физика
Конспект лекций
(Часть1. Физические основы механики)
Для студентов направления 230400
«Информационные системы и технологии»
Электронный образовательный ресурс
Составитель: к.ф.-м.н., доцент В.В. Коноваленко
Рассмотрен и рекомендован для использования в учебном процессе на 2013/2014 – 2015/2016 уч. г. на заседании кафедры ЕНД.
Протокол № 1 от 04. 09. 2013 г.
Шахты 2013
Лекция № 1
КИНЕМАТИКА
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Механическое движение – заключается в перемещении тел или их частей друг относительно друга и является простейшей формой движения материи.
Рассматриваемой механической системой или просто – системой – будем называть совокупность тел, выделенных для рассмотрения.
Говорить о движении отдельного тела в абсолютно пустом пространстве бессмысленно – всякое движение можно рассматривать только по отношению к другим телам. Кроме того, движение обязательно происходит во времени. Поэтому системой отсчета будем называть совокупность неподвижных друг относительно друга тел и отсчитывающих время часов.
Количественное описание движения тела предполагает указание в каждый момент времени, его положения в пространстве и скорости. Чтобы иметь такую возможность с системой отсчета связывают некоторую систему координат (например, прямоугольную или декартову).
Параметры, используемые для описания движения тел, способы описания движения виды движения тел без исследования причин, обусловливающих движение тела, рассматриваются в разделе механики, называемом кинематикой.
Движение тел с учетом взаимодействий между ними изучается в разделе, называемом динамикой.
|
|
|
При решении физических задач никогда невозможно получить абсолютно точного решения – всегда приходится пренебрегать некоторыми факторами, влияние которых в рассматриваемом случае несущественно. Такая же ситуация возникает при анализе или описании практически любого физического явления. При движении тел очень часто не имеют существенного значения размеры тела. Соответственно простейшей моделью реального тела, рассматриваемой в механике, является материальная точка (частица), которой, по определению, называют тело, размерами которого в условиях данной (!) задачи можно пренебречь.
Во многих случаях при движении реального тела его деформации под действием других тел невелики. Поэтому второй важной моделью реального тела является абсолютно твердое тело – тело, деформациями которого в условиях данной (!) задачи можно пренебречь.
В механике доказывается, что всякое движение тела можно представить в виде суммы двух основных видов движения: поступательного и вращательного (разложить на поступательное и вращательное).
Поступательным, по определению, называется такое движение, при котором любая прямая, связанная с телом, остается параллельной самой себе.
Вращательным называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.
ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ
Многие физические величины (перемещение, скорость, сила, и т.д.) являются векторными, поэтому твердое знание основных сведений о векторах и действиях с ними является совершенно необходимой предпосылкой успешного изучения курса общей физики. Перечислим основные сведения о векторах, необходимые для дальнейшего:
| 1. Определение вектора. 2. Модуль вектора. 3. Коллинеарные и компланарные векторы. 4. Сложение и вычитание векторов. 5. Умножение вектора на скаляр. 6. Единичный вектор (орт). 7. Проекция вектора на заданное направление. 8. Выражение вектора через его проекции на координатные оси. | 9. Компоненты вектора. 10.Радиус-вектор. 11.Скалярное произведение векторов. 12.Векторное произведение векторов. 13.Смешанное произведение векторов. 14.Двойное векторное произведение векторов. |
В качестве примера действий с векторами рассмотрим производную по времени единичного вектора 
, задающего направление вектора 
. Единичный вектор по определению имеет постоянный модуль, а значит изменяться может только по направлению.
|
|
|
Допустим, что за очень малый промежуток времени 
вектор 
, а вместе с ним и орт 
поворачивается на угол 
. В результате получает приращение 
= 
, направление которого задается ортом этого приращения 
.
При малом (и, соответственно, ) орт приращения вектора , т.е. вектор , можно считать практически перпендикулярным вектору , а вектор – катетом прямоугольного треугольника, противолежащим углу . Тогда модуль приращения орта ,
. (1.1)
(Гипотенуза треугольника – вектор имеет единичную длину (ведь это единичный вектор!), а 
при малых (– проверьте на калькуляторе, если угол выражать в радианах!).
Таким образом, представив в виде произведения его модуля 
на орт приращения 
, можем записать (а так можно представить любой вектор!):
(1.2)
Необходимо учесть, что при 
орт поворачивается и в пределе совпадает по направлению с ортом 
перпендикуляра к вектору , направленным в сторону поворота , как это показано на рисунке 1. (Вектор лежит в той плоскости, в которой поворачивается вектор 
). Тогда производная по времени орта может быть представлена в виде:
. (1.3)
Забегая вперед, отметим, что по смыслу 
представляет собой угловую скорость вращения вектора .
СКОРОСТЬ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Предварительно сформулируем необходимые определения (см. рисунок 1.2):
Ø 
Траекторией материальной точки будем называть воображаемую линию, вдоль которой движется частица. (Очевидно, что траектория – это, как и сама материальная точка, воображаемый объект, модель.)
Ø Путь, пройденный материальной точкой – скалярная величина, равная расстоянию, отсчитанному вдоль траектории при движении частицы из некоторой точки 1 в точку 2, 
.
|
|
|
Ø
|
, проведенный из точки 1 в 2 траектории. Очевидно, что перемещение 
. С другой стороны разность конечного и начального значения радиус-вектора есть его приращение: 
. Поэтому можно считать, что можно считать, что перемещение представляет собой приращение радиус-вектора.
Движение частицы называется равномерным, если в любые равные промежутки времени частца проходит одинаковые пути (независимо от формы траектории!).
Важнейшим понятием кинематики является скорость материальной точки. На качественном уровне под скоростью в физике понимают векторнуювеличину, характеризующую быстроту перемеще-ния частицы по траектории и направление, в котором движется частица.
На бытовом уровне скорость можно найти, разделив путь, пройденный телом 
за промежуток времени 
, на величину этого промежутка. Такой расчет дает, очевидно, приближенное значение скорости, а о направлении скорости вообще ничего не позволяет сказать.
Чтобы дать более строгое определение скорости поступим следующим образом: разобьем мысленно траекторию на участки 
, которые частица проходит за бесконечно малые промежутки времени 
(рисунок 1.3.). Каждому участку соответствует перемещение 
за соответствующий 
. Для бесконечно малого можно утверждать, что модуль перемещения равен пути точки:
, (1.4)
и траекторию можно считать состоящей из элементов 
, направленных в сторону перемещения частицы и совпадающих с . Можно считать, что за бесконечно малый движение тела не меняется. Отношение 
дает векторную характеристику быстроты движения точки, модуль которой совпадает с традиционным представлением о скорости.
Поэтому по определению скоростью частицы называется производная ее радиус-вектора по времени:
(1.5)
Поскольку модуль приращения радиус-вектора за время совпадает по формуле (1.4) с элементом траектории , то в каждой точке траектории вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения частицы. Соответственно орт вектора скорости 
совпадает с ортом касательной к траектории в данной точке, направленным в сторону движения частицы. Орт касательной к траектории принято обозначать 
. Поэтому для вектора скорости в данной точке траектории справедливо соотношение:
|
|
|
(т.е. 
) (1.6)
Учитывая, что выражение для радиус-вектора через его проекции на оси координат имеет вид 
, для вектора скорости можно записать представление через его проекции на оси координат 
:
, (1.7)
Как следует из соотношения (1.7), проекции вектора скорости на оси координат равны производным по времени проекций радиус-вектора, а составляющие вектора скорости по осям координат получаются умножением соответствующих производных на орты осей системы координат:
(1.8)
(Напомним: проекции – это алгебраические скалярные величины, составляющие – это векторы, которые в сумме дают данный вектор).
В соответствии со своим определением вектор скорости характеризует быстроту изменения радус-вектора частицы. Радус-вектор 
может изменяться по модулю и по направлению. Следует предположить, что вектор скорости всегда можно представить в виде суммы двух векторов, один из которых характеризует изменение только по модулю, а второй только по направлению. Действительно, как и любой вектор, можно представить в виде:
. (1.9)
Находя производную по времени от этого выражения, получаем:
= 
, (1.10)
Составляющая 
направлена вдоль радиус вектора, а значит характерзует быстроту его изменения по мудулю. Направление второй составляющей, 
, определяется производной орта радиус-вектора: 
. Как мы уже установили, производная орта определяется выражением (1.3)
. (1.11)
где 
– угловая скорость поворота радиус-вектора, а 
- перпендикулярный к нему орт, направленный в сторону поворот㛇蚀㏝�夐ꃡ橞繹᤹뛱ඬᄿ␑帑⛿ṙ䀸칺㈚؏᩻�훵䒖砇ޥ꒨ু뛇㸁䯤飑ﾽ圌暁沦⻢�ﰶᨙ몯붚䫾Θ鴬쮣ࡥኋ既鳵৴㫂媩娒ᫍᆖ䨴ﻦ瞺㋼袭鍿賧妐짣䬗陾槰任ꑰ秸櫋䰤꜕䠏ﶪ� ㉼䋂㿯괊锍㹊骈憳꿥㜘훅⦀⮸䪔퀲퍾㋹粚Ꮚ充ꓲʷ难끧袋쑷鷐苼俅稇㸋㭖᷋퍉ꤽ雵밂若꧴듗袙湄盳䕦섣 㺘椧㏹㾗쮔鄨ꜛ䈁䊡借ｦ降黨噝㎚�贽㻖拕⤻婲᭳畜磡鉅麟퉜럳庑ᓦ誡熸䘑�둶ꝷ颯藨뀙嶚蜘俞⺪풓慅앦䈙呉쑢왞︕껈㍢伪ꅬ毥욀权ꁯ罌ꞯ蹱ゖ꠩┤硏⬂㏏䰼褩杰懪댸梼ዩ축鲒ꛋ刬㖎㫮寿뤱ם龌兦滣⚨霟氲넜醙찷⽌⦳І闆嘶䀡휮헧涶㟝ᄐΏ蓔㴢ㅇ⨇➫㮱튧�䏻၄ꑳⰼ흥嵂œ⼬껚专涃⩃⥫ݿ쮒㋣؆ྖ턘⤎ꓹ﮽켂㍳ⵡ蒂改귽蚫蓥鬺ꈀ炱퀰삼悺ᨏ贌핮灹맇床운걽㙥⤏썰疴蠟�틐ﯗࣉ퀧ꇐณ폦휡섰㙩贷酞픂桳湉뵞遟᷏ꚥ夫댽㕜溬큻佊䵯用怅쎛钱皊9櫶₿䚛胷࣍鈬⇝늎볹ꏡ멅⩏鬽缶풅ⳮ菛크�Ј耵꺗�媎꿦픦猅늒䇰룎嗂㪷木掬住뀽♒꧱⨖翨鿔鈭궜数퀷ᬻ샤楐�橰㯹㱮ꪨ䶜﹁廲⩠쿥ͤ㙌씎ᐮ䔐錏爓뜯ꛒ䭊匥ᖢ欛ݒ䃧⒖ꙝꋘ羉ﬥ啯⃡㉈䠚먗㒮䀞촒Ố䌄즕牢焅财횸範ᅞ㲃聝❜턜잿悰ਭ】⒖兏ꤩ뽍頇匊盧ᨲ䘣欪絮삣ႀႪ쫑鐄䌡厛欧Ġ㜖ᔌ䈟饩㎚律磄ర�ᒅная пути по времени?! Чтобы ответить на этот вопрос необходимо вспомнить о том, что модуль приращения радиус-вектора совпадает с элементом траектории 
. Тогда модуль соотношения, определяющего скорость,
|
|
|
. (1.13)
Таким образом, производная пути по времени дает модуль вектора скорости:
, (1.14)
|
|
|
