 |
Стационарное течение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.
|
|
|
|
Билет №18.
Уравнения движения и равновесия жидкости.
В гидродинамике и динамической метеорологии — система дифференциальных уравнений, представляющих собой приложение второго закона Ньютона к жидкости (воздуху). Полное ускорение частицы приравнивается сумме сил, действующих на частицу. У. Д. Ж. на вращающейся Земле в векторной форме сводятся к уравнению
где F — сила трения на единицу массы, а остальные обозначения см. в начале словаря. В системе декартовых координат с началом в произвольной точке земной поверхности, причем оси x и y лежат в плоскости горизонта и направлены к востоку и северу, а ось z — вверх, У. Д. Ж. имеют вид:
В правых частях уравнений стоят составляющие сил Кориолиса, барического градиента, трения и тяжести. В уравнении по оси z можно пренебречь вертикальной составляющей силы Кориолиса, вертикальным ускорением и силой трения; при этих упрощениях уравнение по оси ζ принимает вид основного уравнения статики атмосферы.
Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда
,
где S — поверхность выделенного объёма, g — напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса — Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что 
, где ρ — плотность жидкости в данной точке, получим:
|
|
|
В силу произвольности объёма V подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:
Выражая полную производную через конвективную производную и частную производную:
получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:
|
где 
— плотность жидкости,
— давление в жидкости,
— вектор скорости жидкости,
— вектор напряжённости силового поля,
— оператор набла для трёхмерного пространства.
Идеальная жидкость.
Идеальная жидкость, воображаемая жидкость, лишённая вязкости и теплопроводности. В Идеальная жидкость отсутствует внутреннее трение, то есть нет касательных напряжений между двумя соседними слоями. Такая идеализация допустима во многих случаях течения, рассматриваемых гидроаэромеханикой, и даёт хорошее описание реальных течений жидкостей и газов на достаточном удалении от омываемых твёрдых поверхностей и поверхностей раздела с неподвижной средой. Математическое описание течений. Идеальная жидкость позволяет найти теоретическое решение ряда задач о движении жидкостей и газов в каналах различной формы, при истечении струй и при обтекании тел.
Стационарное течение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.
Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости. Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения. Рассмотрим объём жидкости V, ограниченный стенками трубки токаи и перпендикулярными к линиям тока сечениями S1 и S2. За время Δt этот объём переместится. В силу непрерывности струи:
ΔV1 = ΔV2 = ΔV
Энергия каждой частицы жидкости складывается из её кинетической и потенциальной энергии. Вследствие стационарности течения приращение энергии ΔЕ всего рассматриваемого объёма V можно вычислить как разность энергий заштрихованных объёмов ΔV1 и ΔV2.
где ρ – плотность жидкости.
|
|
|
В идеальной жидкости приращение энергии должно равняться работе, совершаемой над выделенным объёмом силами давления:
ΔЕ = А (1)
А = P1S1Δl1 – P2S2Δl2 = (P1 – P2)ΔV.
Подставляя в (1) и сократив ΔV, получим:
Поскольку сечения S1 и S2 произвольные, то это справедливо в любом сечении трубки тока. В стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие:
– уравнение Бернулли.
Для горизонтальной линии тока уравнение Бернулли примет вид:
,
т.е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше.
Явление уменьшения давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу действия водоструйного насоса.
Вязкая жидкость.
Вязкая жидкость – жидкость, обладающая свойством вязкости, т.е., свойством реальных жидкостей, оказывающим сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой.
Силы внутреннего трения.
|
|
|
