 |
Рассчитаем прогнозы в точках: 22, 23, 24 по каждой модели.
|
|
|
|
Вариант 23
1. Методами: ВНС, медианы проверить гипотезу об отсутствии тренда во временном ряду.
2. Провести сглаживание ряда скользящей средней (l=5)
Построить графики исходного ряда и скользящей средней.
3. Выбрать для исходного ВР подходящую модель из: линейной, параболической и показательной, предварительно оценив их параметры и проверить на адекватность и точность.
4. Рассчитать прогнозы в точках: 22, 23, 24 по каждой модели.
По каждому заданию сделать выводы.
Решение:
Метод “восходящих” и “нисходящих” серий
Составляем последовательность из плюсов и минусов по правилу: на i-м месте в ряду y1,y2,...,yn. ставится
· знак плюс, если yi+1 - yi > 0,
· знак минус, если yi+1 - yi < 0.
· tсли yi+1 = yi, учитывается только yi: проверяется yi>0 либо yi<0.
| yt | Серии | |
| + | ||
| - | ||
| + | ||
| - | ||
| + | ||
| + | ||
| - | ||
| + | ||
| - | ||
| - | ||
| - | ||
| - | ||
| + | ||
| + | ||
| - | ||
| + | ||
| - | ||
| - | ||
| - | ||
| + | ||
| + |
Количество серий: v(n) = 13
Длина самой длинной серии t(n) = 4.
Проверяем условия:
t(n) < tkp
Для наших данных:
t(n) = 4<5 = tkp
Оба условия выполняются. Таким образом, гипотеза о наличии тренда отвергается.
Критерий серий, основанный на медиане
Строим ранжированный ряд и считаем медиану:
Ме=266
Ставим для yi
· "+", если yi > Me,
· "-", если yi < Me.
· не ставится никакой знак, если yi = Me.
| yt | Серии | |
| - | ||
| - | ||
| - | ||
| + | ||
| - | ||
| - | ||
| - | ||
| - | ||
| + | ||
| + | ||
| - | ||
| - | ||
| - | ||
| + | ||
| - | ||
| + | ||
| + | ||
| + | ||
| + | ||
| + |
|
|
|
Количество серий v(n) = 8
Длина самой длинной серии t(n) = 5.
Проверяем условия:
t(n) > 3.3(lg(n)+1)
где ut - квантиль нормального распределения уровня (1-α)/2.
Для наших данных:
tkp = 3.3(lg(21)+1) = 7>5
Условия выполняются. Таким образом, гипотеза о наличии тренда отвергается.
Вывод: по обоим методом доказано, что временно ряд является случайным и не содержит тренд.
2. Сглаживание ряда скользящей средней по формулам:
;
;
;
.
| Исходный рад | Скользящая средняя | |
| 119,8 | ||
| 166,9 | ||
| 201,2 | ||
| 239,8 | ||
| 241,8 | ||
| 250,8 | ||
| 254,8 | ||
| 253,4 | ||
| 253,4 | ||
| 266,4 | ||
| 285,8 | ||
| 291,6 | ||
| 287,2 | ||
| 289,5 | ||
| 280,4 |
Рис. 1. Графики исходного ряда и скользящей средней
Вывод: Из рисунка 1 видно, что исходный временной ряд содержит циклическую компоненту и возрастающий временной тренд. Путем расчета скользящей средней получилось сгладить исходные данные и снизить колебания. По сглаженным данным видно, что ряд, скорее всего, содержит возрастающую тенденцию параболического типа.
3. Линейный тренд:
y= a0+ a1t
Система уравнений МНК:
a0n + a1∑t = ∑y
a0∑t + a1∑t2 = ∑yt
21a0 + 231a1 = 5277
231a0 + 3311a1 = 62380
Откуда:
a0 = 189.386, a1 = 5.627
Уравнение линейного тренда: y (t)= 5.627 t + 189.386
| t | y | t2 | y2 | t y | y(t) | (y-ycp)2 | (y-y(t))2 | 
| (ei - ei-1)2 |
| 195,01 | 19122,94 | 6726,13 | 0,726 | ||||||
| 200,64 | 4005,08 | 159,78 | 0,067 | 4812,58 | |||||
| 206,27 | 5225,22 | 743,52 | 0,152 | 213,96 | |||||
| 211,89 | 1910,94 | 6906,47 | 0,282 | 12182,14 | |||||
| 217,52 | 411,51 | 181,65 | 0,058 | 4847,96 | |||||
| 223,15 | 86,22 | 355,35 | 0,078 | 28,87 | |||||
| 228,78 | 0,51 | 539,33 | 0,092 | 19,12 | |||||
| 234,40 | 2630,22 | 1183,63 | 0,172 | 3320,90 | |||||
| 240,03 | 1070,22 | 1933,26 | 0,155 | 6142,28 | |||||
| 245,66 | 610,80 | 920,61 | 0,110 | 185,70 | |||||
| 251,29 | 114,80 | 114,80 | 0,041 | 385,23 | |||||
| 256,91 | 39,51 | 141,92 | 0,049 | 511,99 | |||||
| 262,54 | 1107,94 | 1983,83 | 0,204 | 1064,54 | |||||
| 268,17 | 216,51 | 4,70 | 0,008 | 1795,45 | |||||
| 273,79 | 2778,80 | 912,35 | 0,099 | 1047,99 | |||||
| 279,42 | 857,65 | 3297,30 | 0,259 | 7678,54 | |||||
| 285,05 | 5000,51 | 1365,35 | 0,115 | 8906,21 | |||||
| 290,68 | 4059,51 | 591,63 | 0,077 | 159,45 | |||||
| 296,30 | 1910,94 | 1,70 | 0,004 | 656,76 | |||||
| 301,93 | 943,37 | 397,25 | 0,071 | 346,98 | |||||
| 307,56 | 1205,08 | 464,77 | 0,075 | 2,65 | |||||
| Сумма 231 | 53308,29 | 28925,31 | 2,895 | 54309,29 |
|
|
|
Коэффициент детерминации.
Критерий Фишера
Fkp(1;19;0.05) = 4.38
Поскольку F > Fkp, то линейный тренд значим.
Ошибка аппроксимации
Поскольку ошибка больше 10%, то данное уравнение плохо описывает исходные данные.
Критерий Дарбина-Уотсона
По таблице Дарбина-Уотсона для n=21 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d1 = 1.22; d2 = 1.42.
Поскольку 1,42> DW=1.88, то автокорреляция остатков отсутствует.
Параболический тренд
y = a2t2 + a1t + a0
a0n + a1∑t + a2∑t2 = ∑y
a0∑t + a1∑t2 + a2∑t3 = ∑yt
a0∑t2 + a1∑t3 + a2∑t4 = ∑yt2
21a0 + 231a1 + 3311a2 = 5277
231a0 + 3311a1 + 53361a2 = 62380
3311a0 + 53361a1 + 917147a2 = 919166
Получаем a2 = -0.364, a1 = 13.637, a0 = 158.683
Уравнение параболического тренда: y = -0.364t2+13.637t+158.683
| t | y | t2 | y2 | t y | t3 | t4 | t2 y | y(t) | (y-y(t))2 |
| (ei - ei-1)2 |
| 1,00 | 1,00 | 113,00 | 171,96 | 3475,74 | 0,522 | ||||||
| 8,00 | 16,00 | 752,00 | 184,50 | 12,25 | 0,019 | 3900,68 | |||||
| 27,00 | 81,00 | 1611,00 | 196,32 | 299,86 | 0,097 | 433,32 | |||||
| 64,00 | 256,00 | 4720,00 | 207,40 | 7672,95 | 0,297 | 11006,47 | |||||
| 125,00 | 625,00 | 5775,00 | 217,76 | 175,17 | 0,057 | 5529,43 | |||||
| 216,00 | 1296,00 | 8712,00 | 227,40 | 213,25 | 0,060 | 1,87 | |||||
| 343,00 | 2401,00 | 12348,00 | 236,30 | 246,47 | 0,062 | 1,20 | |||||
| 512,00 | 4096,00 | 12800,00 | 244,48 | 1978,15 | 0,222 | 3621,12 | |||||
| 729,00 | 6561,00 | 23004,00 | 251,92 | 1028,87 | 0,113 | 5860,27 | |||||
| 1000,00 | 10000,00 | 27600,00 | 258,64 | 301,25 | 0,063 | 216,66 | |||||
| 1331,00 | 14641,00 | 31702,00 | 264,63 | 6,94 | 0,010 | 399,65 | |||||
| 1728,00 | 20736,00 | 35280,00 | 269,90 | 619,91 | 0,102 | 495,65 | |||||
| 2197,00 | 28561,00 | 36842,00 | 274,43 | 3184,70 | 0,259 | 994,46 | |||||
| 2744,00 | 38416,00 | 52136,00 | 278,24 | 149,82 | 0,046 | 1953,03 | |||||
| 3375,00 | 50625,00 | 68400,00 | 281,32 | 514,43 | 0,075 | 1219,49 | |||||
| 4096,00 | 65536,00 | 56832,00 | 283,67 | 3803,13 | 0,278 | 7115,04 | |||||
| 4913,00 | 83521,00 | 93058,00 | 285,29 | 1347,47 | 0,114 | 9678,13 | |||||
| 5832,00 | 104976,00 | 102060,00 | 286,19 | 830,22 | 0,091 | 62,32 | |||||
| 6859,00 | 130321,00 | 106495,00 | 286,35 | 74,78 | 0,029 | 406,68 | |||||
| 8000,00 | 160000,00 | 112800,00 | 285,79 | 14,37 | 0,013 | 154,71 | |||||
| 9261,00 | 194481,00 | 126126,00 | 284,50 | 2,25 | 0,005 | 27,98 | |||||
| Сумма 231 | 5277,00 | 25951,98 | 2,535 | 53078,16 |
Коэффициент детерминации.
|
|
|
Критерий Фишера
Fkp(2;18;0.05) = 3.55
Поскольку F > Fkp, то параболический тренд значим.
Ошибка аппроксимации
Поскольку ошибка больше 10%, то данное уравнение плохо описывает исходные данные.
Критерий Дарбина-Уотсона
По таблице Дарбина-Уотсона для n=21 и k=2 (уровень значимости 5%) находим: d1 = 1.13; d2 = 1.54.
Поскольку 4-1.54 > DW=2,05, то автокорреляция остатков отсутствует.
Показательный тренд
y = a0 a1t
ln y = ln a0 + ln a1 t
a0n + a1∑t = ∑ ln y
a0∑t + a1∑t2 = ∑ ln y t
21a0 + 231a1 = 115.54
231a0 + 3311a1 = 1290.81
Получаем ln a0 = 5,2173, ln a1 = 0,0259
Уравнение показательного тренда:
y = 184,431* 1,026t
| t | y | ln(y) | t2 | t lny | y(t) | (y-y(t))2 |
| (ei - ei-1)2 |
| 4,73 | 4,72738782 | 189,26 | 5815,98 | 0,67 | ||||
| 5,24 | 10,4728839 | 194,22 | 38,69 | 0,03 | 4905,92 | |||
| 5,19 | 15,5621574 | 199,31 | 412,41 | 0,11 | 198,46 | |||
| 5,69 | 22,7479014 | 204,53 | 8185,05 | 0,31 | 12272,02 | |||
| 5,44 | 27,2120886 | 209,89 | 445,79 | 0,09 | 4810,48 | |||
| 5,49 | 32,9336264 | 215,38 | 708,39 | 0,11 | 30,27 | |||
| 5,53 | 38,7060036 | 221,03 | 959,37 | 0,12 | 18,99 | |||
| 5,30 | 42,3865389 | 226,82 | 719,10 | 0,13 | 3339,66 | |||
| 5,65 | 50,8407681 | 232,76 | 2625,79 | 0,18 | 6093,14 | |||
| 5,62 | 56,2040087 | 238,85 | 1379,78 | 0,13 | 198,73 | |||
| 5,57 | 61,2517895 | 245,11 | 285,23 | 0,06 | 410,34 | |||
| 5,50 | 66,0150985 | 251,53 | 42,67 | 0,03 | 548,53 | |||
| 5,38 | 69,9984358 | 258,12 | 1609,69 | 0,18 | 1128,21 | |||
| 5,58 | 78,1689483 | 264,88 | 1,25 | 0,00 | 1700,62 | |||
| 5,72 | 85,7554155 | 271,82 | 1035,49 | 0,11 | 964,81 | |||
| 5,40 | 86,4428381 | 278,94 | 3242,31 | 0,26 | 7942,43 | |||
| 5,77 | 98,1673763 | 286,25 | 1278,20 | 0,11 | 8592,02 | |||
| 5,75 | 103,546307 | 293,75 | 451,72 | 0,07 | 210,20 | |||
| 5,69 | 108,052532 | 301,44 | 41,49 | 0,02 | 766,99 | |||
| 5,64 | 112,838141 | 309,34 | 747,33 | 0,10 | 436,65 | |||
| 5,66 | 118,775828 | 317,44 | 988,50 | 0,11 | 16,84 | |||
| Сумма 231 | 115,535966 | 1290,80608 | 5210,67 | 31014,21 | 2,95 | 54585,31 |
|
|
|
Коэффициент детерминации.
Критерий Фишера
Fkp(1;19;0.05) = 4.38
Поскольку F > Fkp, то показательный тренд значим.
Ошибка аппроксимации
Поскольку ошибка больше 10%, то данное уравнение плохо описывает исходные данные.
Критерий Дарбина-Уотсона
По таблице Дарбина-Уотсона для n=21 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d1 = 1.22; d2 = 1.42.
Поскольку 1,42< DW=1,76, то автокорреляция остатков отсутствует.
Составим сравнительную таблицу:
| Тренд | Коэффициент детерминации | Статистика Фишера | Ошибка аппроксимации | Критерий Дарбина Уотсона |
| Линейный | 0,4574 | 16,02 | 13,78 | 1,88 |
| Параболический | 0,5132 | 9,49 | 12,07 | 2,05 |
| Показательный | 0,4182 | 13,66 | 14,05 | 1,76 |
Вывод: Из сравнительной таблицы видно, что лучшим является линейный тренд, поскольку обладает наибольшей статистикой Фишера и сравнимой по значению с параболическим трендом наименьшей ошибкой аппроксимации.
Рассчитаем прогнозы в точках: 22, 23, 24 по каждой модели.
Линейный тренд:
t = 22: y(22) = 5.627*22 + 189.386 = 313.19
t = 23: y(23) = 5.627*23 + 189.386 = 318.81
t = 24: y(24) = 5.627*24 + 189.386 = 324.44
Параболический тренд:
t = 22: y(22) = -0.364*222 + 13.637*22 + 158.683 = 282.48
t = 23: y(23) = -0.364*232 + 13.637*23 + 158.683 = 279.74
t = 24: y(24) = -0.364*242 + 13.637*24 + 158.683 = 276.26
Показательный тренд:
t = 22: y(22) = 184,431* 1,02622 = 325.76
t = 23: y(23) = 184,431* 1,02623 = 334.29
t = 24: y(24) = 184,431* 1,02624 = 343.05
Вывод: Лучшим по результатам сравнения моделей является линейный тренд, поэтому наиболее достоверным будет прогноз при t = 22 в 313,19 ед., при t = 23 в 318,81 ед., при t = 24 в 324,44 ед.
|
|
|
