Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

7.2. Декартова система координат в пространстве




7. 2. Декартова система координат в пространстве

Определение 19. Прямоугольной системой координат в пространстве называется тройка взаимно перпендикулярных числовых осей, имеющие общее начало  и совпадающее с точкой пересечения.

Оси, составляющие прямоугольную систему координат в пространстве называются координатными осями и обозначаются ,  и :

 

 – ось абсцисс;

 

 – ось ординат;

 

 – ось аппликат.

 

Положение каждой точки  пространства определяется тремя вещественными числами. Этими числами являются:

 

1) проекция точки  на ось ; обозначают ;

 

2) проекция точки  на ось ; обозначают .

 

3) проекция точки  на ось ; обозначают .

 

Рис. 21

Определение 18. Упорядоченная тройка чисел  называется прямоугольными ( декартовыми ) координатами точки  пространства  и обозначается .

 

Каждой точке  пространства  соответствует единственная упорядоченная тройка числе  и, наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел  соответствует единственная точка  пространства .

 

Координатные оси ,  и  делят пространства  на восемь октантов. Каждая точка , не принадлежащая координатным осям, содержится в одной из восьми октантов. Обозначение этих октант и знаки координат точки:

 

  Октант Знаки Октант Знаки  
   
   
   
   

 

На каждой из координатных осей выберем единичный вектор с началом в точке  и концом в точке с координатой . Обозначим:

 – единичный вектор оси ;

 – единичный вектор оси ;

 – единичный вектор оси .

Эти три единичных вектора называются ортами. Они образуют декартов ортогональный базис.

Рассмотрим вектор  в пространстве. Отложим его из начала координат  (рис. 22). Через его конец проведем плоскости, параллельные координатным плоскостям. Получим прямоугольный параллелепипед, диагональю которого является вектор .

 

Рис. 22

Из рис. 22 ясно, что:

 

.

 

Векторы ,  и  являются составляющими вектора . Представив составляющие с помощью произведения проекции на единичный вектор, получим

 

, , .

 

Обозначив

 

, , ,

 

будем иметь

 

.

 

Полученная формула называется разложением вектора на составляющие по координатным осям. Числа  называются прямоугольными декартовыми координатами вектора . Координаты вектора будем записывать в виде

 

.

 

Вектор  с началом в начале координат и концом в точке  называется радиус-вектором  точки . Координаты радиус-вектора  совпадают с координатами точки :

 

или .

 

Пусть  и  – произвольные точки пространства. Координаты вектора  вычисляются по формуле

 

 

или

 

.

 

Для получения координат вектора из координаты конца нужно вычитать соответствующие координаты начала.

 

Если известны координаты вектора, то линейные операции над векторами можно заменить соответствующими арифметическими операциями над координатами.

Пусть , . Тогда

 

;

 

;

 

.

 

Если векторы заданы в виде

 

, ,

 

то линейные операции выполняются так:

 

 

 

.

 

8. Длина вектора. Расстояние между двумя точками

8. 1. Длина вектора

Пусть  – произвольный вектор. Длина вектора  вычисляется по формуле:

 

.

 

8. 2. Расстояние между двумя точками

Пусть  и  – произвольные точки пространства. Расстояние между точками  и  вычисляется по формуле:

 

.

 

9. Направляющие косинусы вектора

Направление вектора в пространстве можно задать углами ,  и , которые составляет данный вектор с осями координат. Косинусы этих углов: ,  и  называются направляющими косинусами вектора.

 

 

Рис. 23

Пусть  – произвольный вектор. Согласно формуле проекции вектора на ось будем иметь

 

,

 

,

 

.

 

Отсюда получим значения направляющих косинусов:

 

или

,

 

,

 

.

Из полученных равенств вытекает следующее тождество

 

.

 

Полученное тождество означает, что среди углов ,  и  независимыми являются только два, а третий определяется из тождества (с точностью до знака).

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...