 |
Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями
|
|
|
|
Пусть на значения случайной величины X оказывают влияние два фактора A и B, причем эти факторы взаимодействуют друг с другом, влияют на математическое ожидание величины X и не влияют на её дисперсию.
Имеется выборка { xijk, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, l, k = 1, 2, …, q } значений признака X, полученных при уровнях Ai и Bj факторов A и B. Каждой паре (Ai, Bj) значений факторов A и B соответствует q значений признака xijk, k = 1, 2, …, q.
Необходимо проверить три гипотезы:
Фактор A не влияет на значение признака X;
Фактор B не влияет на значение признака X;
Взаимодействие факторов A и B не влияет на значение признака X.
Пример 4. При выращивании помидоров на тридцати участках применялись пять видов удобрений и шесть технологий выращивания. Каждый участок был разбит на четыре делянки, т.е. каждой паре уровней факторов (вид удобрений, технология выращивания) соответствуют четыре значения показателя урожайности (табл.4). Влияют ли факторы (вид удобрений и технология выращивания) на урожайность продукции?
Таблица 4
| Технология 1 | Технология 2 | Технология 3 | Технология 4 | Технология 5 | Технология 6 | |
| Вид А | ||||||
| Вид Б | ||||||
| Вид В | ||||||
| Вид Г | ||||||
| Вид Д | ||||||
|
|
|
Решение. Введите данные из табл.4 в программе Excel, как показано на рис.6.
Рис.6
Выполните команду меню «Сервис—Анализ данных», выберите процедуру «Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями», и в открывшемся окне (рис.7) введите в строке «Входной интервал» диапазон А1:G21, в строке «Число строк для выборки» введите число 4, выберите в строке «Альфа» уровень значимости 0,05 и нажмите «Ок».
Рис.7
Результаты приведены в таблице 5.
Таблица 5
| A | B | C | D | E | F | G | H | |
| Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями | ||||||||
| ИТОГИ | Технология 1 | Технология 2 | Технология 3 | Технология 4 | Технология 5 | Технология 6 | Итого | |
| Вид А | ||||||||
| Счет | ||||||||
| Сумма | ||||||||
| Среднее | 136,25 | 136,75 | 138,25 | 141,75 | 137,5 | |||
| Дисперсия | 64,92 | 70,00 | 76,92 | 22,67 | 40,25 | 26,92 | 44,09 | |
| Вид Б | ||||||||
| Счет | ||||||||
| Сумма | ||||||||
| Среднее | 134,5 | 125,5 | 128,75 | 128,25 | ||||
| Дисперсия | 4,67 | 61,33 | 158,33 | 1,67 | 108,92 | 46,92 | 59,22 | |
| Вид В | ||||||||
| Счет | ||||||||
| Сумма | ||||||||
| Среднее | 128,50 | 135,75 | 137,25 | 134,25 | 130,00 | 134,75 | 133,42 | |
| Дисперсия | 43,00 | 127,58 | 124,25 | 70,25 | 127,33 | 116,25 | 89,56 | |
| Вид Г | ||||||||
| Счет | ||||||||
| Сумма | ||||||||
| Среднее | 132,50 | 134,50 | 130,00 | 128,75 | 132,25 | 128,25 | 131,04 | |
| Дисперсия | 51,67 | 25,67 | 103,33 | 140,92 | 66,25 | 51,58 | 62,48 | |
| Вид Д | ||||||||
| Счет | ||||||||
| Сумма | ||||||||
| Среднее | 137,25 | 141,75 | 130,75 | 133,00 | 133,50 | 135,00 | 135,21 | |
| Дисперсия | 70,92 | 84,92 | 127,58 | 59,33 | 32,33 | 56,00 | 69,22 | |
| Итого | ||||||||
| Счет | ||||||||
| Сумма | ||||||||
| Среднее | 132,9 | 133,85 | 131,7 | 132,55 | 133,6 | |||
| Дисперсия | 49,36 | 67,89 | 102,66 | 64,12 | 70,68 | 73,73 | ||
| Дисперсионный анализ | ||||||||
| Источник вариации | SS | df | MS | F | P-Значение | F критическое | ||
| Выборка | 892,72 | 223,1792 | 3,0959 | 0,0195 | 2,4729 | |||
| Столбцы | 217,17 | 43,4333 | 0,6025 | 0,6981 | 2,3157 | |||
| Взаимодействие | 759,58 | 37,9792 | 0,5268 | 0,9479 | 1,6883 | |||
| Внутри | 72,0889 | |||||||
| Итого | 8357,5 |
|
|
|
Вывод. Сравнивая наблюденные значения F (ячейки F43:F45) с критическими (ячейки Н43:Н45), мы видим, что вид удобрений влияет на урожайность, а технология выращивания и взаимодействие этих факторов не влияют.
Задания для самостоятельной работы
1. Определить с уровнем α = 0,05 значимость различия производительности труда в двух бригадах рабочих за десять дней работы (табл. 6, за каждый день приведено среднее число изготовленных за час деталей на одного рабочего и число работавших в этот день рабочих в бригаде).
Таблица 6
| Вариант 1 | ||||||||||
| День | ||||||||||
| 1-я бригада | ||||||||||
| Число работавших | ||||||||||
| 2-я бригада | ||||||||||
| Число работавших | ||||||||||
| Вариант 2 | ||||||||||
| День | ||||||||||
| 1-я бригада | ||||||||||
| Число работавших | ||||||||||
| 2-я бригада | ||||||||||
| Число работавших | ||||||||||
| Вариант 3 | ||||||||||
| День | ||||||||||
| 1-я бригада | ||||||||||
| Число работавших | ||||||||||
| 2-я бригада | ||||||||||
| Число работавших | ||||||||||
| Вариант 4 | ||||||||||
| День | ||||||||||
| 1-я бригада | ||||||||||
| Число работавших | ||||||||||
| 2-я бригада | ||||||||||
| Число работавших | ||||||||||
| Вариант 5 | ||||||||||
| День | ||||||||||
| 1-я бригада | ||||||||||
| Число работавших | ||||||||||
| 2-я бригада | ||||||||||
| Число работавших | ||||||||||
| Вариант 6 | ||||||||||
| День | ||||||||||
| 1-я бригада | ||||||||||
| Число работавших | ||||||||||
| 2-я бригада | ||||||||||
| Число работавших | ||||||||||
| Вариант 7 | ||||||||||
| День | ||||||||||
| 1-я бригада | ||||||||||
| Число работавших | ||||||||||
| 2-я бригада | ||||||||||
| Число работавших | ||||||||||
| Вариант 8 | ||||||||||
| День | ||||||||||
| 1-я бригада | ||||||||||
| Число работавших | ||||||||||
| 2-я бригада | ||||||||||
| Число работавших | ||||||||||
| Вариант 9 | ||||||||||
| День | ||||||||||
| 1-я бригада | ||||||||||
| Число работавших | ||||||||||
| 2-я бригада | ||||||||||
| Число работавших | ||||||||||
| Вариант 10 | ||||||||||
| День | ||||||||||
| 1-я бригада | ||||||||||
| Число работавших | ||||||||||
| 2-я бригада | ||||||||||
| Число работавших |
|
|
|
|
|
|
2. Определить с уровнем α = 0,05 значимость различия производительности труда в трех бригадах рабочих-токарей за десять дней работы (табл. 7, за каждый день приведено среднее число изготовленных за час деталей на одного рабочего).
Таблица 7
| Вариант 1 | ||||||||||
| День | ||||||||||
| 1-я бригада | ||||||||||
| 2-я бригада | ||||||||||
| 3-я бригада | ||||||||||
| Вариант 2 | ||||||||||
| День | ||||||||||
| 1-я бригада | ||||||||||
| 2-я бригада | ||||||||||
| 3-я бригада | ||||||||||
| Вариант 3 | ||||||||||
| День | ||||||||||
| 1-я бригада | ||||||||||
| 2-я бригада | ||||||||||
| 3-я бригада | ||||||||||
| Вариант 4 | ||||||||||
| День | ||||||||||
| 1-я бригада | ||||||||||
| 2-я бригада | ||||||||||
| 3-я бригада | ||||||||||
| Вариант 5 | ||||||||||
| День | ||||||||||
| 1-я бригада | ||||||||||
| 2-я бригада | ||||||||||
| 3-я бригада | ||||||||||
| Вариант 6 | ||||||||||
| День | ||||||||||
| 1-я бригада | ||||||||||
| 2-я бригада | ||||||||||
| 3-я бригада | ||||||||||
| Вариант 7 | ||||||||||
| День | ||||||||||
| 1-я бригада | ||||||||||
| 2-я бригада | ||||||||||
| 3-я бригада | ||||||||||
| Вариант 8 | ||||||||||
| День | ||||||||||
| 1-я бригада | ||||||||||
| 2-я бригада | ||||||||||
| 3-я бригада | ||||||||||
| Вариант 9 | ||||||||||
| День | ||||||||||
| 1-я бригада | ||||||||||
| 2-я бригада | ||||||||||
| 3-я бригада | ||||||||||
| Вариант 10 | ||||||||||
| День | ||||||||||
| 1-я бригада | ||||||||||
| 2-я бригада | ||||||||||
| 3-я бригада |
|
|
|
3. При подготовке к соревнованиям двадцати спортсменов-многоборцев, имевших близкие спортивные результаты, применялись четыре рациона питания и четыре методики тренировок. В табл.7 приведены показатели в баллах, полученные спортсменами на соревнованиях. Влияют ли факторы (рацион питания и методика тренировок) на достижения спортсменов?
Таблица 7
| Вариант 1 | ||||
| методика 1 | методика 2 | методика 3 | методика 4 | |
| рацион А | ||||
| рацион Б | ||||
| рацион В | ||||
| рацион Г | ||||
| Вариант 2 | ||||
| методика 1 | методика 2 | методика 3 | методика 4 | |
| рацион А | ||||
| рацион Б | ||||
| рацион В | ||||
| рацион Г | ||||
| Вариант 3 | ||||
| методика 1 | методика 2 | методика 3 | методика 4 | |
| рацион А | ||||
| рацион Б | ||||
| рацион В | ||||
| рацион Г | ||||
| Вариант 4 | ||||
| методика 1 | методика 2 | методика 3 | методика 4 | |
| рацион А | ||||
| рацион Б | ||||
| рацион В | ||||
| рацион Г | ||||
| Вариант 5 | ||||
| методика 1 | методика 2 | методика 3 | методика 4 | |
| рацион А | ||||
| рацион Б | ||||
| рацион В | ||||
| рацион Г | ||||
| Вариант 6 | ||||
| методика 1 | методика 2 | методика 3 | методика 4 | |
| рацион А | ||||
| рацион Б | ||||
| рацион В | ||||
| рацион Г | ||||
| Вариант 7 | ||||
| методика 1 | методика 2 | методика 3 | методика 4 | |
| рацион А | ||||
| рацион Б | ||||
| рацион В | ||||
| рацион Г | ||||
| Вариант 8 | ||||
| методика 1 | методика 2 | методика 3 | методика 4 | |
| рацион А | ||||
| рацион Б | ||||
| рацион В | ||||
| рацион Г | ||||
| Вариант 9 | ||||
| методика 1 | методика 2 | методика 3 | методика 4 | |
| рацион А | ||||
| рацион Б | ||||
| рацион В | ||||
| рацион Г | ||||
| Вариант 10 | ||||
| методика 1 | методика 2 | методика 3 | методика 4 | |
| рацион А | ||||
| рацион Б | ||||
| рацион В | ||||
| рацион Г |
4. При подготовке к соревнованиям спортсменов-многоборцев, имевших близкие спортивные результаты, применялись два рациона питания и пять методик тренировок, причем каждой паре (рацион питания, методика тренировок) соответствует четыре спортсмена. В табл.8 приведены показатели в баллах, полученные спортсменами на соревнованиях. Влияют ли факторы (рацион питания и методика тренировок) на достижения спортсменов?
Таблица 8
| Вариант 1 | |||||
| методика 1 | методика 2 | методика 3 | методика 4 | методика 5 | |
| рацион А | |||||
| рацион Б | |||||
| Вариант 2 | |||||
| методика 1 | методика 2 | методика 3 | методика 4 | методика 5 | |
| рацион А | |||||
| рацион Б | |||||
| Вариант 3 | |||||
| методика 1 | методика 2 | методика 3 | методика 4 | методика 5 | |
| рацион А | |||||
| рацион Б | |||||
| Вариант 1 | |||||
| методика 1 | методика 2 | методика 3 | методика 4 | методика 5 | |
| рацион А | |||||
| рацион Б | |||||
| Вариант 4 | |||||
| методика 1 | методика 2 | методика 3 | методика 4 | методика 5 | |
| рацион А | |||||
| рацион Б | |||||
| Вариант 5 | |||||
| методика 1 | методика 2 | методика 3 | методика 4 | методика 5 | |
| рацион А | |||||
| рацион Б | |||||
| Вариант 6 | |||||
| методика 1 | методика 2 | методика 3 | методика 4 | методика 5 | |
| рацион А | |||||
| рацион Б | |||||
| Вариант 7 | |||||
| методика 1 | методика 2 | методика 3 | методика 4 | методика 5 | |
| рацион А | |||||
| рацион Б | |||||
| Вариант 8 | |||||
| методика 1 | методика 2 | методика 3 | методика 4 | методика 5 | |
| рацион А | |||||
| рацион Б | |||||
| Вариант 9 | |||||
| методика 1 | методика 2 | методика 3 | методика 4 | методика 5 | |
| рацион А |
|
|
|
