 |
Задачи к контрольной работе № 3 Электромагнетизм
|
|
|
|
Электромагнетизм, колебания и волны, волновая оптика, элементы квантовой физики, атом, ядро
Методическое пособие для выполнения
контрольных работ №3, 4 и №5
Архангельск
Составители:
В.Э.Махин, ст. преп.;
Н.В. Шабунина, доцент;
О.Н. Оруджова, доцент;
Е.А. Косилова, ассистент
Рецензент
А.В. Соловьёв,
канд. техн. наук, доцент кафедры медицинской и биологической физики Северного государственного медицинского университета
УДК 535
Махин В.Э. Физика: Электромагнетизм, колебания и волны, волновая оптика, элементы квантовой физики, атом, ядро / В.Э. Махин,
Н.В. Шабунина, О.Н. Оруджова, Е.А. Косилова. – Архангельск: Изд-во С(А)ФУ им. М.В. Ломоносова, 2016. – 106с.
Подготовлены кафедрой физики С(А)ФУ им. М.В. Ломоносова.
В методических указаниях изложены основы электрических и магнитных взаимодействий, колебательных и волновых процессов, основ волновой оптики, элементов квантовой физики и физики атома и атомного ядра, необходимые для выполнения расчётно-графических работ, приведены примеры решения задач, варианты контрольных заданий, а также необходимый справочный материал.
Предназначены для студентов очной формы обучения института строительства и архитектуры (08.03.01 «Строительство») и института математики, информационных и космических технологий (09.03.01 «Информатика и вычислительная техника», 09.03.02 «Информационные системы и технологии», 09.03.03 «Прикладная информатика»).
Ил. 78. Табл. 3. Библиогр. 6 назв.
Ó Северный (Арктический) федеральный
университет имени М.В. Ломоносова, 2016
Ó В.Э. Махин, Н. В. Шабунина,
О.Н. Оруджова, Е.А. Косилова, 2016
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
|
|
|
Для успешного решения задач необходимо:
1) проработать конспект лекций и учебник по соответствующему разделу курса физики и изучить раздел, основные теоретические сведения данной работы;
2) внимательно прочитать и уяснить условие и произвести краткую запись исходных данных задачи в одной и той же системе единиц;
3) математически (с помощью системы уравнений) описать состояния рассматриваемой системы, происходящий процесс; установить связь между состояниями одной системы или нескольких систем на основании физических законов и определений;
4) проверить размерность искомой величины;
5) произвести числовой расчет искомой величины, используя правила действий с приближенными числами;
6) критически оценить полученный результат.
2. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 “ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ”
Основные теоретические положения
Учение об электричестве и магнетизме включает три группы физических понятий и представлений. К первой группе относятся основные понятия и общие принципы, определяющие электрические и магнитные явления; ко второй – электрические и магнитные свойства веществ; к третьей – практическое применение электромагнетизма.
Опыты показывают, что между электрически заряженными и намагниченными телами действуют силы, называемые электромагнитными или электродинамическими. С позиции современных представлений о природе этих сил принято считать, что электромагнитные взаимодействия передаются через силовое поле, называемое электромагнитным. В физике строго научное развитие электромагнетизма началось в CIC веке, в основном благодаря трудам Майкла Фарадея (1791-1867) и Джеймса К. Максвелла (1831-1879). В этих трудах были заложены основы физической теории электромагнитного поля.
Теория Фарадея и Максвелла базировалась на том, что действие одного тела на другое может либо осуществляться непосредственным контактом, либо передаваться через силовое поле (так называемая теория близкодействия). Причём, если Фарадей давал преимущественно качественный анализ электромагнитных явлений, то Максвелл дал их физико-математический анализ и в 60-х годах CIC века сформулировал систему уравнений, содержащую в краткой форме все количественные законы классической электродинамики. При изучении электромагнитных явлений принято выделять две стороны - электрическую и магнитную. В соответствии с этим выделяют и две стороны электромагнитного поля – электрическое и магнитное поля.
|
|
|
Электрическое поле – это составляющая электромагнитного поля, обусловленная электрическими зарядами и изменением магнитного поля, оказывающая силовое воздействие на неподвижные заряженные тела и частицы.
Магнитное поле – это составляющая электромагнитного поля, обусловленная движущимися электрическими зарядами и изменением электрического поля, оказывающая силовое воздействие на движущиеся заряженные тела и частицы.
2.1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Закон Кулона. Напряжённость электрического поля
| + |
| - |
|
| q 1 |
| q 2 |
|
| + |
взаимодействия между двумя точечными зарядами (рис. 1):
Рис. 1
· в векторной форме: 
· в скалярной форме: 
где q 1и q 2 – взаимодействующие заряды; 
– расстояние между зарядами; e0 – электрическая постоянная; e – диэлектрическая проницаемость среды, k – постоянная в законе Кулона.
Как показали эксперименты e0 = 8,85×10-12 Ф/м, k = 
=
= 9×109 (Н×м2)/Кл2.
Вектор напряжённости 
является силовой характеристикой электрического поля:
или 
,
где 
– сила, действующая на пробный положительный заряд q ¢ со стороны электрического поля; q ¢ – пробный положительный точечный неподвижный заряд, помещённый в рассматриваемую точку поля.
Примеры расчёта напряжённостей электрических полей
Напряжённость электрического поля точечного заряда:
· в векторной форме 
· в скалярной форме 
где q – заряд, создающий электрическое поле; r – расстояние от заряда q до рассматриваемой точки.
Принцип суперпозиции напряжённости электрических полей (принцип независимости действия электрических полей):
,
где 
– напряжённость результирующего поля, создаваемого N точечными зарядами; 
– напряжённость поля одного точечного заряда.
|
|
|
Напряжённость электрического поля, созданного бесконечно длинным прямолинейным равномерно заряженным проводником:
,
где t – линейная плотность заряда (t = q / 
); x – расстояние от проводника до рассматриваемой точки.
Напряжённость электрического поля, созданного бесконечной равномерно заряженной плоскостью:
,
где s – поверхностная плотность заряда (s = q / S).
| r 1 |
| R |
| r 2 |
| q |
| 1) при r 1< R заряд внутри сферы q = 0, E 1=0; |
2) при r 2 > R  ;
|
3) при r 3 = R  .
|
Рис. 2
Потенциал электростатического поля. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле
Потенциал электростатического поля является его энергетической характеристикой и определяется выражением
,
где 
– потенциальная энергия, которой обладает пробный точечный положительный заряд q ¢, помещённый в рассматриваемую точку поля.
Потенциал поля точечного заряда
,
где q – заряд, создающий электрическое поле; r – расстояние от заряда q до рассматриваемой точки.
Принцип суперпозиции для потенциала:
,
где j – потенциал результирующего поля, создаваемого N точечными зарядами; j i – потенциал поля одного точечного заряда (потенциал поля положительного заряда – положителен, поля отрицательного заряда – отрицателен).
Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов
где 
и 
– взаимодействующие заряды; r – расстояние между зарядами.
Работа по перемещению точечного заряда q ¢ в электростатическом поле
;
,
где Dj = j2 – j1 – разность потенциалов между двумя точками поля; U – электрическое напряжение или падение потенциала.
Связь между напряжённостью и потенциалом:
.
Электроёмкость. Конденсаторы. Энергия электрического поля
Электроёмкость – физическая величина, численно равная заряду, который необходимо сообщить рассматриваемому проводнику для изменения его потенциала на единицу.
Электроёмкость уединённого (удалённого от других тел) проводника
|
|
|
C = q /j,
где q – заряд проводника; j – потенциал проводника.
Электроёмкость заряженной сферы
C = 4pee0 R,
где где e – диэлектрическая проницаемость среды; R – радиус сферы.
Конденсатор – электрический прибор, состоящий из двух проводников (называемых обкладками), расположенных так, что поле в основном сосредоточено между этими проводниками, разделённых слоем диэлектрика. Служит для накопления электростатической энергии.
Электроёмкость конденсатора
C = q / U,
где q – заряд одной обкладки конденсатора; U = j1 – j2 – напряжение конденсатора.
Электроёмкость плоского конденсатора
,
где S – площадь пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами конденсатора; e – диэлектрическая проницаемость среды между обкладками конденсатора.
Электроёмкость цилиндрического конденсатора
,
где L – длина конденсатора; R 1 и R 2 – радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора соответственно.
Электроёмкость сферического конденсатора
,
где R 1 и R 2 – радиусы, внутренней и внешней обкладок конденсатора соответственно.
Соединение конденсаторов в батарею:
·
| С 1 |
| С 2 |
q = q1= q2; U=U1+U2; 
;
Рис. 3
·
| C 2 |
| C 1 |
q = q1+ q2; U=U1=U2; C = C1+C2.
Рис. 4
Энергия системы зарядов
,
где j i – потенциал поля, создаваемый в той точке, где находится заряд qi, всеми зарядами, кроме i -го.
Энергия заряженного уединённого проводника
.
Энергия заряженного конденсатора
.
Объёмная плотность энергии однородного электрического поля
,
где E – напряжённость электрического поля в объёме V.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Два точечных заряда 4 Q и – Q закреплены на расстоянии 0,10 м друг от друга. Определить положение точечного положительного заряда Q 1 по отношению к заряду – Q, при котором заряд Q 1 будет находиться в равновесии. Силами гравитационного взаимодействия пренебречь.
Дано: 4 Q; – Q; Q 1; a = 0,10 м.
Найти: x.
| 4 Q |
| – Q |
| Q 1 |
| 4Q |
| -Q |
| Q1 |
|
|
| + |
| + |
| – |
| I |
| II |
| III |
| a |
Рис. 5
На участке I (рис.5) на заряд Q 1 действуют две противоположно направленные силы: 
и 
. Сила 
, действующая со стороны заряда 4 Q, в любой точке этого участка будет больше, чем сила 
, действующая со стороны заряда – Q, так как больший (по модулю) заряд 4 Q находится ближе к заряду Q 1, чем меньший заряд – Q. Следовательно, равновесие на этом участке невозможно.
|
|
|
| 4 Q |
| – Q |
| Q 1 |
| 4Q |
| -Q |
| Q1 |
|
|
| – |
| + |
| + |
Рис. 6
| 4 Q |
| – Q |
| Q 1 |
| 4Q |
| -Q |
| Q1 |
|
|
| – |
| + |
| + |
| О |
| x |
и 
направлены в одну сторону к заряду – Q. Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно.
Рис. 7
На участке III (см. рис.7) силы 
и 
направлены в противоположные стороны, так же как и на участке I, но в отличие от него меньший (по модулю) заряд – Q находится ближе к заряду Q 1, чем больший заряд 4 Q. Таким образом, на участке III можно найти такую точку на прямой, где силы 
и 
будут одинаковы по модулю, то есть
| 
| = | 
|.
Проведём ось x через заряды. Начало отсчёта выберем в точке, где расположен заряд 4 Q.
Пусть искомое расстояние от меньшего заряда до заряда Q 1 равно х,тогда расстояние от большего заряда будет, а + х. Выразим F 1, и F 2, используя закон Кулона:
.
Решая это уравнение, найдем:
x 1 = a и x 2 = – a /3.
Корень x 2 не удовлетворяет условию задачи (в этой точке силы F 1 и F 2 хотя и равны по модулю, но расположены в области II).
Окончательно получаем
x = a, тогда x = 0,1 м.
Ответ: x = 0,1 м.
Пример 2. Два точечных заряда 0,20 нКл и –0,30 нКл находятся на расстоянии 0,50 м друг от друга в вакууме. Найти напряжённость и потенциал результирующего электростатического поля в точке, находящейся на расстоянии 0,40 м от первого заряда и 0,20 м от второго.
Дано: q 1 = 0,20 нКл; q 2 = – 0,30 нКл; a = 0,50 м; r 1 = 0,40 м;
r 2 = 0,20 м.
Найти: E; j.
Решение: Напряжённость и потенциал результирующего электростатического поля, создаваемого зарядами, рассчитаем по принципу суперпозиции:
| q 2 |
| r1 |
|
|
| а |
| + |
| – |
| q 1 |
| a |
| a |
| r 1 |
| r 2 |
|
| b |
и j = j1 + j2.
Рис. 8
Учитывая, что напряжённость электростатического поля является векторной величиной, рассчитаем модуль вектора 
по теореме косинусов (рис.8)
. (1)
Угол a = 180 – b. Согласно формулам приведения тригонометрии cosa = cos(180 – b) = – cosb. По теореме косинусов
.
Тогда 
. (2)
В данном случае во избежание громоздких записей вычислим отдельно значение cosa. По формуле (2) найдём
.
Модули напряжённостей полей, создаваемых точечными зарядами q 1 и q 2, определяются по формулам:
; 
. (3)
Потенциалы полей, создаваемых точечными зарядами q 1 и q 2, в заданной точке определяются по формулам:
; 
. (4)
С учётом зависимостей (1), (3) и (4) получаем конечные формулы для вычисления величин Е и j:
.
Произведём вычисления напряжённости результирующего поля, учитывая, что k = 
= 9×109 (Н×м2)/Кл2:
= 82,1 В/м.
Произведём вычисления потенциала результирующего поля
Ответ: Е = 82,1 Н/Кл; j = – 9 В.
Пример 3. Электростатическое поле создаётся нитью заряженной с линейной плотностью заряда t = 1,00 мкКл/м. Длина нити равна 0,13 м. Определить модуль напряжённости данного поля в точке, находящейся на расстоянии 0,12 м от одного и 0,05 м от другого конца нити.
Дано: t = 1,00×10–6 Кл; ℓ = 0,13 м; a = 0,12 м; b = 0,05 м.
Найти: E.
| α1 |
.
| α2 |
| a |
|
|
|
|
| О |
| d q |
| y |
| x |
| d y |
| a |
| a |
| b |
| ℓ |
Заряд участка d y определяется уравнением:
.
Вектор напряжённости 
разложим на две составляющие
.
Величины этих составляющих определяются по формулам
d E ^=d E 
; d E ||=d E 
.
Модуль напряжённости поля заряда dq можно рассчитать по формуле для точечного заряда. Тогда:
.
Напряжённость поля всей нити (по принципу суперпозиции) рассчитывается по формуле
.
Составляющие всех элементов d y направлены вдоль одной прямой, а составляющие 
всех элементов d y сонаправлены (рис. 17). Тогда векторное интегрирование можно заменить скалярным
Выполним тригонометрические преобразования:
Окончательно получаем:
Треугольник, образованный сторонами ℓ, a, b является «пифагоровым», из геометрии рисунка высота, проведенная из вершины прямого угла, определяется формулой:
.
Получаем
.
Напряженность поля нити определяем по теореме Пифагора
Произведём вычисления:
.
Ответ: Е = 3,21 МВ/м.
Пример 4. Рассчитать напряженность и потенциал электростатического поля на оси равномерно заряженного кольца. Заряд кольца 10,00 мкКл, радиус 0,01 м. Расстояние от оси кольца до рассматриваемой точки 0,20 м.
Дано: q = 10×10– 6Кл; R = 0,01 м; x 0 = 0,20 м.
Найти: j.
Решение:
Для нахождения напряженности электрического поля воспользуемся принципом суперпозиции электростатических полей. Так как кольцо не точечный заряд, то проведём расчёт искомой величины методом дифференцирования. Для этого разобьем нить на бесконечно малые участки длиной d y (см. рис. 10). Каждый такой участок имеет заряд d q и создаёт в точке О электростатическое поле с напряжённостью .
| O’ |
| q |
d 
|
| R |
| x 0 |
| O |
| d q |
|
| Рис. 10 |
|
|
|
|
|
|
Заряд участка d ℓ определяется уравнением:
,
где t – линейная плотность заряда (t = q / 
).
Вектор напряжённости разложим на две составляющие
.
Величины этих составляющих определяются по формулам
d E ^=d E ; d E ||=d E .
Модуль напряжённости поля заряда dq можно рассчитать по формуле для точечного заряда. Тогда:
.
Напряжённость поля всей нити (по принципу суперпозиции) рассчитывается по формуле
,
где второе слагаемое обращается в ноль из соображений симметрии, а в первом необходимо учесть, что составляющие всех элементов d ℓ сонаправлены (рис. 18).
Тогда векторное интегрирование можно заменить скалярным
Потенциал dj электростатического поля, создаваемого элементов d ℓ можно определить по формуле:
Для расчёта потенциала поля всего кольца используем принцип суперпозиции. Для этого проинтегрируем выражение (1), учитывая, что x 0= const; r=const
.
Произведём вычисления:
.
Ответ: E = 0,141 МВ/м, j = 0,45 МВ.
Пример 5. Рассчитатьпотенциал электростатического поля на оси равномерно заряженного диска. Заряд диска 10,00 мкКл, радиус 0,01 м. Расстояние от центра диска до рассматриваемой точки 0,20 м.
Дано: q = 10,00 мкКл = 10×10–6 Кл; R = 0,01 м; x 0 = 0,20 м.
Найти: j.
Решение: Используем для решения этой задачи результаты, полученные в примере 4. Мысленно выделим на диске кольцо, внутренний радиус которого равен r, а наружный – r + d r (рис. 11).
| O |
| r |
|
| x 0 |
|
| R |
| d r |
| d q |
| r |
| q |
Рис. 11
Заряд такого кольца 
,
где 
– поверхностная плотность заряда; 
– площадь поверхности кольца.
Тогда
. (1)
Согласно принципу суперпозиции искомый потенциал в точке 
. (2)
Подставим выражение (1) в (2) и проинтегрируем:
.
Произведём вычисления:
Ответ: j = 0,45 МВ.
Пример 6. В вакууме из бесконечности движутся два электрона навстречу друг другу, вдоль одной прямой. Определить минимальное расстояние, на которое частицы смогут приблизиться, если их начальные скорости равны 105м/с и 2∙105м/с. Гравитационным взаимодействием пренебречь.
Дано: qe =1,6×10–19 Кл; me = 9,1×10–31 кг; 
= 105 м/с; 
=2∙105 м/с.
Найти: r min.
Решение: Запишем закон сохранения энергии для ситуаций, когда частицы находятся на бесконечном удалении и на минимальном расстоянии друг от друга.
На бесконечном удалении электроны не взаимодействуют друг с другом, поэтому энергия системы приходится на начальные кинетические энергии зарядов
.
При сближении электроны начинают взаимодействовать так. Это приведёт к торможению зарядов. Электрон, обладающий меньшей скоростью, остановится и начнёт движение в обратном направлении. Второй электрон продолжит движение в прежнем направлении. Частицы продолжают сближаться, при этом скорость первой частицы возрастает, второй – убывает. В соответствии с теоремой о движении центра масс, сближение зарядов будет происходить до тех пор, пока их скорости не станут одинаковыми. В этом состоянии полная энергия системы приходится на потенциальную энергию электростатического взаимодействия и кинетические энергии движения частиц (которые одинаковы). Тогда
.
где 
– конечная скорость, с которой частицы будут двигаться в одном направлении равномерно и прямолинейно.
Запишем закон сохранения энергии
, (1)
Запишем закон сохранения импульса для этих же ситуаций
. (2)
Решаем совместно уравнения (1) и (2), учитывая, что 
. В результате получаем:
.
Произведём вычисления:
.
Ответ: r min = 1,12×10–2 м.
Пример 7. Электрон, предварительно ускоренный разностью потенциалов 0,10 кВ, влетел в середину плоского воздушного конденсатора параллельно его пластинам. Расстояние между пластинами конденсатора 0,04 м, длина пластин 0,10 м. Определить минимальное напряжение, которое необходимо приложить к конденсатору, чтобы электрон из него не вылетел. Доказать, что частица движется в конденсаторе по параболической траектории. Действием силы тяжести пренебречь.
Дано: qe =1,6×10–19Кл; me = 9,1×10–31 кг; U 1 = 0,10кВ; d = 0,04м;
b = 0,10м.
Найти: U 2.
Решение: В ускоряющем электростатическом поле над электроном совершается работа, которая приводит к приращению его кинетической энергии. По закону сохранения энергии можно записать
,
где 
– скорость, с которой частица влетает в электростатическое поле конденсатора.
Можно рассматривать движение электрона в конденсаторе как независимое наложение двух движений (рис. 22):
- равномерное движение вдоль оси X со скоростью 
;
- равнопеременное движение вдоль оси Y с ускорением, сообщаемым силой электростатического поля конденсатора (
).
Вычислим ускорение частицы с помощью второго закона Ньютона
.
Здесь мы использовали связь между напряжением U и напряжённостью E в однородном электростатическом поле:
U = E d.
Координаты x и y электрона изменяются по законам:
x = 
0 t; (1)
y = aу t 2/2 = qеU 2 t 2/2 me. (2)
Электрон не вылетит из конденсатора, если попадёт в точку А, находящуюся на краю пластины (см. рис. 12).
| d |
| b |
| X |
| Y |
|
|
| _ _ _ _ _ _ _ |
| + + + + + + А |
Рис. 12
Для точки А x = b; y = d /2.
Подставим эти значения в (1) и (2) и, решая уравнения совместно, найдём напряжение U 2:
U 2 = 
.
Произведём вычисления:
.
Для доказательства того, что движение электрона происходит по параболической траектории, получим уравнение его траектории. Используя формулы (1) и (2), получаем
.
Так как ускорение ау и скорость 
являются константами, то получаем:
y = const x 2 (уравнение параболы).
Ответ: U 2 = 32 В; электрон движется в конденсаторе по параболической траектории.
Пример 9. Плоский воздушный конденсатор электроёмкостью С заполняют наполовину диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e = 2, как показано на рис. 13. Определить, во сколько раз изменится электроёмкость конденсатора.
| а) |
| б) |
| 1. |
| 2. |
Рис. 13
Дано: e = 2.
Найти: С посл./ С .; С пар./ С.
Решение: 1. Исходный конденсатор имеет электроёмкость, которая рассчитывается по формуле
где e = 1, т.к. конденсатор воздушный.
Тогда 
Рассмотрим конденсатор, наполовину заполненный диэлектриком первым способом (рис. 13 (а)). Такой конденсатор можно рассматривать как два конденсатора с ёмкостями 
и 
, соединённые последовательно (рис. 14).
Рис. 14
Электроёмкость С посл. двух последовательно соединённых конденсаторов равна
,
где 
так как у этих конденсаторов расстояние между обкладками уменьшилось по сравнению с исходным в 2 раза, а диэлектрическая проницаемость диэлектрика второго конденсатора e = 2.
Для общей ёмкости получим
