Частотный критерий. Критерий Найквиста

Этот критерий разработан в 1923 г. американским ученым Найквистом. Он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по поведению АФЧХ разомкнутой системы.

Вектор разомкнутой системы при изменении частоты от до меняется по величине и фазе.

Кривая, описываемая окончанием этого вектора есть АФЧХ разомкнутой системы, причем следует отметить, что вид этой характеристики симметричен относительно начала координат, т. е.

Для доказательства критерия Найквиста используют дополнительную функцию вида:

Причем в знаменателе такой функции будет записан характеристический полином разомкнутой системы, а в числителе характеристический полином замкнутой системы:

В случае замены оператора Лапласа р на , получим частотную функцию вида:

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет - правых корней и - левых корней, а характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет правых и левых корней (под правыми корнями подразумевают корни лежащие справа от мнимой оси комплексной плоскости и определяющие неустойчивость функционирования системы).

При рассмотрении этого критерия так же работает принцип аргумента, который определяет, что устойчивой система является, когда вектор повернется на соответствующий угол.

Разомкнутая система являющееся неустойчивой и имеющая правых корней будет определять, что замкнутая система устойчивая тогда и только тогда, когда АФЧХ вспомогательной функции при изменении частоты от до охватывает начало координат в положительном направлении - раз.

Найквистом было отмечено, что движение вектора вокруг начала координат равно числу оборотов вектора вокруг точки с координатами .

Критерий устойчивости Найквиста: если разомкнутая система автоматического управления неустойчива, то для того чтобы замкнутая система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от до охватывала точку с координатами в положительном направлении - раз (где число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).

При сложной форме характеристик может возникнуть затруднение при определении числа оборотов вокруг критической точки с координатами .

Для анализа поведения таких характеристик применяют «правило переходов» Ципкина. Назовем переход АФЧХ через действительную ось слева от точки при возрастании положительным (если характеристика пересекает вещественную ось сверху-вниз), а справа от точки отрицательным. Также отрицательным считается переход слева от точки , но совершённым при пересечении вещественной оси снизу-вверх. В этом случае, если АФЧХ начинается на отрезке при или заканчивается на нем при , считается, что АФЧХ совершила пол перехода.

Критерий Найквиста для рассматриваемого варианта: если разомкнутая САУ неустойчива, то для того чтобы замкнутая система стала устойчива необходимо и достаточно, чтобы разность между положительным и отрицательным переходами АФЧХ разомкнутой системы через отрезок вещественной оси при изменении от до была равна - раз.

Критерий Найквиста для случая, когда разомкнутая система устойчива имеет следующую формулировку: если САУ разомкнутая устойчива, то замкнутая система будет устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами .

Достоинство критерия Найквиста заключается в том, что его можно использовать даже если неизвестны структуры отдельных звеньев системы, достаточно получить АФЧХ. Кроме того, рассматриваемый критерий позволяет анализировать устойчивость систем обладающих запаздыванием.