Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Задание к лабораторной работе № 1




ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ И ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ЛИНЕЙНЫХ САУ

Цель работы: изучение основных характеристик и параметров линейных систем автоматического управления (САУ).

Теоретическая часть

Линейной САУ называется динамическая система, поведение которой во времени описывается линейным дифференциальным уравнением n-степени:

 

a ny (n) + a (n-1)y (n-1) + … + a 1y (1) + a 0y = b mx (m) + b (m-1)x (m-1) + … + b 1x (1) + b 0x,

 

где a 0, b 0, …, a n, b n – постоянные коэффициенты уравнения;

y – регулируемая переменная (выходная функция САУ);

х – входная переменная (функция) САУ;

y (i) = di y (t) / d t ii -я производная функции у, (i = 1, …, n);

x j = dj x (t) / d t j – j-я производная функции x (j = 1, …, m).

Так, например, подлежащие исследованию две линейные САУ описываются следующими дифференциальными уравнениями, соответственно, второй и третьей степени:

1) а 2у (2) + а 1у (1) = b 0x;

2) a 3y (3) + а 2у (2) = b 0x.

Представленные выше уравнения запишем в стандартной форме записи этих уравнений:

1) Т 22у (2) + Т 1у (1) = Кx;

2) Т 33y (3) + Т 22у (2) = Кx,

где К = b 0 – статический коэффициент усиления САУ;

Т 33 = а 3, Т 22 = а 2, Т 1 = а 1 – постоянные времени САУ, характеризующие ее динамические свойства.

Дифференциальные уравнения можно представить в операторной форме путем замены в них знака производной d/d t оператором Лапласа р:

1) Т 22р 2у + Т 1р∙у = [(Т 2р)2 + Т 1р ]∙ у = Кx;

2) Т 33р 3у + Т 22р 2у = [(Т 3р)3 + (Т 2р)2]∙ у = Кx.

Отношение выходной величины у к входной переменной x в операторной форме есть передаточная функция W (p) САУ:

1) W (p) = y / x = К / [(Т 2р)2 + Т 1р ];

2) W (p) = y / x = К / [(Т 3р)3 + (Т 2р)2].

Для формализованного описания динамических свойств САУ наряду с дифференциальными уравнениями и передаточной функцией W (p)используются следующие способы:

временные функции, характеризующие изменение во времени выходного сигнала определенного вида;

частотные характеристики, устанавливающие зависимость между амплитудой и фазой входного и выходного гармонических сигналов при изменении частоты входного сигнала.

К временным характеристикам динамических звеньев относят переходную и весовую функции.

Переходная функция h (t) определяет характер изменения во времени выходного сигнала звена, если входной сигнал является единичной ступенчатой функцией x (t) = 1(t): y (t) = h (t)∙1(t) = h (t).

Весовая функция g (t) (импульсная переходная функция) определяет характер изменения во времени выходного сигнала звена, если входной сигнал является импульсной функцией x (t) = δ (t) = 1′(t), которая представляет собой производную от единичной ступенчатой функции, т.е. ее кривая на плоскости охватывает площадь, равную 1:

y (t) = g (t)∙ δ (t) = g (t)∙1′(t)

Весовая функция является производной от переходной функции. Следовательно, переходную функцию h (t) можно определить путем аналитического и графоаналитического интегрирования весовой функции g (t):

g (t) = d h (t)/d t; h (t) = ∫ g (t) ∙ d t.

Изображением весовой функции L [ g (t)], т.е. представлением ее в операторной форме, является передаточная функция W (p):

1) L [ g (t)] = W (p) = K / [(T 2р)2 + Т 1р ];

2) L [ g (t)] = W (p) = К / [(Т 3р)3 + (Т 2р)2].

С целью упрощения нахождения оригинала L -1[ W (p)] функции g (t), представленной в операторной форме, относительно сложное изображение W (p) можно разложить на сумму изображений более простых функций в виде элементарных дробей, воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов:

1) ;

2) .

Приведя правую часть полученных выражений к общему знаменателю, получим:

1) ;

2) .

Так знаменатели левой и правой частей выражений равны, то, соответственно, равны и их числители, т.е.:

1) ;

2) .

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях оператора Лапласа р левой и правой частей полученных формул:

1) К = АТ 1; 0 = АТ 22 + В;

2) К = ВТ 22; 0 = АТ 22 + ВТ 33; 0 = АТ 33 + С.

Решая систему уравнений (1) и (2), получим:

1) А = К / Т 1; В = - АТ 22 = - КТ 22 / Т 1;

2) В = К / Т 22; А = - ВТ 33 / Т 22 = - КТ 33 / (Т 22)2;

С = - АТ 33 = К ∙(Т 33 / Т 22)2.

Подставляя значения коэффициентов А, В и С в соответствующие исходные формулы, получим:

1) =

= ;

2) =

= = .

Оригиналы изображений элементарных функций имеют следующий вид:

.

Заменяя в формулах 1) и 2) соответствующие изображения элементарных функций на их оригиналы, получим следующие выражения для весовых функций линейных САУ:

1) g (t) = ; 2) g (t) = .

Так как переходная функция h (t) есть интеграл от весовой функции g (t), то найти ее можно либо путем непосредственного интегрирования функции g (t), либо путем нахождения сначала изображения L [ h (t)] функции h (t), а затем ее оригинала. Изображение переходной функции можно получить путем умножения передаточной функции (изображения L [ g (t)] весовой функции) на передаточную функцию идеального интегрирующего звена со статическим коэффициентом усиления, равным 1. Рассмотрим в качестве примера САУ с передаточной функцией W (p) = К / [(Т 2р)2 + Т 1р ]:

L [ h (t)] = W (p)∙ = .

Разложим полученное изображение передаточной функции на сумму изображений более простых функций в виде элементарных дробей, воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов по аналогии с ранее рассмотренными примерами:

L [ h (t)] = = .

Найдем значения коэффициентов А, В и С:

.

Находим оригиналы элементарных функций:

L -1(1/ p) = 1; L -1(1/ p 2) = t; L -1[(T 1 / T 22) / (p + T 1 / T 22)] = [(T 1 / T 22)∙ .

Используя полученные выражения, находим оригинал искомой передаточной функции:

h (t) = + + = .

 

Частотные характеристики САУ характеризуют реакцию системы на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме.

К частотным характеристикам относятся:

АФЧХ - амплитудно-фазовая частотная характеристика;

АЧХ – амплитудно-частотная характеристика;

ФЧХ – фазовая частотная характеристика;

ЛАЧХ – логарифмическая АЧХ;

ЛФЧХ – логарифмическая ФЧХ.

АФЧХ представляет собой частотную передаточную функцию W (), которая получается путем замены в передаточной функции W (p) оператора Лапласа p на комплексную переменную . АФЧХ W () можно представить в виде вектора на комплексной плоскости с координатами [ M (ω), N (ω)] или в полярных координатах Н(ω) и φ(ω), которые являются соответственно АЧХ и ФЧХ:

W () = N (ω) + jM (ω) = Н (ω)∙ е(ω ). (1)

Здесь: Н (ω) – АЧХ, которая представляет собой зависимость значения модуля вектора W () от круговой частоты ω;

φ (ω) – ФЧХ, которая представляет собой зависимость аргумента вектора W () от круговой частоты ω;

N (ω) = Н (ω)∙ cosφ (ω) – проекция вектора W () на вещественную ось комплексной плоскости;

M (ω) = Н (ω)∙ sinφ (ω) – проекция вектора W () на мнимую ось комплексной плоскости;

При изменении частоты ω от нуля до бесконечности конец вектора W () вычерчивает кривую в комплексной плоскости, которая называется годографом АФЧХ.

Определим в качестве примера частотную передаточную функцию для САУ с передаточной функцией в операторной форме W (p) = К / [(Т 2р)2 + Т 1р ], которую для удобства дальнейших преобразований представим в виде:

W (p) = К / [(Т 2р)2 + Т 1р ] = К 1 / [(T∙p + 1)∙ p ],

где К 1 = К / Т 1; Т = (Т 2)2 / Т 1.

Произведя замену оператора Лапласа р на комплексную переменную , получим:

W () = К 1 / [(jωT + 1)∙ ] = =

= . (2)

Из выражения (2) получаем формулы для нахождения модуля Н (ω) и аргумента φ (ω) вектора АФЧХ, а также его проекций на вещественную N (ω) и мнимую М (ω) оси:

Н (ω) = ; φ (ω) = - [90o + arctg (ω∙T)];

 

N (ω) = ; М (ω) = . (3)

Фазовую частотную характеристику φ (ω) можно найти также из следующего соотношения: φ (ω) = arctg [ М (ω) / N (ω)] = -[180o - arctg (1/ ω∙T)].

 

Задание к лабораторной работе № 1

1. Используя метод неопределенных коэффициентов, найти аналитические выражения для весовой g (t) и переходной h (t) функций САУ, состоящей из двух последовательно соединенных элементарных динамических звеньев: апериодического и идеального интегрирующего звена.

2. Построить при помощи компьютерной программы MATLAB и вывести на печать графики найденных при выполнении п. 1 задания временных зависимостей g (t) и h (t).

3. Вывести аналитические выражения для частотных характеристик САУ по пункту 1: АФЧХ, АЧХ и ФЧХ.

4. Задаваясь характерными точками на оси частот построить примерные графики полученных при выполнении п. 3 задания частотных зависимостей.

5. При вычислениях следует использовать варианты параметров динамических звеньев, заданные табл. 1, в соответствии с последней цифрой шифра студента.

Примечание: тип 1 соответствует апериодическому звену;

тип 2 соответствует идеальному интегрирующему звену.

6. По результатам выполнения задания необходимо оформить отчет.

Таблица 1

Тип звена Параметры звена Номер варианта
                   
  К 1           0,5 0,2 0,1 0,4  
Т 1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,05
  К 2 0,8 0,4 0,5   0,5          

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...