Уравнение движения вязкой жидкости
Стр 1 из 3Следующая ⇒ ОГУ Орский гуманитарно-технологический институт (ФИЛИАЛ) Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения Высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» (Орский гуманитарно-технологический институт (филиал) ОГУ) Механико-технологический факультет Кафедра Теплоэнергетики и теплотехники
ОТЧЕТ по расчетно - графическому заданию
по дисциплине «Гидрогазодинамика»
_____________________________________________________________ (шифр по стандарту)
2012г 20__ СОДЕРЖАНИЕ
Уравнение движения вязкой жидкости
При обтекании тела реальной жидкостью на его поверхности появляются касательные напряжения, обусловленные внутренним трением - вязкости. Эти напряжения возникают при относительном движении (скольжении) слоев жидкостью и всегда приводят к диссипации энергии потока, термодинамической необратимости движения, связанной с переносом количества движения (импульса) от быстрых частиц жидкости к медленным.
Чтобы получить уравнения движения вязкой жидкости, необходимо ввести дополнительные члены в уравнения движения идеальной жидкости Л. Эйлера.*) Установить вид этих членов можно, обобщая закон вязкого трения Ньютона для простейшего случая слоистого течения, когда изменение скорости течения wx происходит только по одной координате z, рисунок 1.1. Рисунок 1.1 - Вязкие напряжения между слоями жидкости ___________________ *) Что касается уравнения непрерывности, то, как следует из его вывода, оно относится в равной мере к движению всякой жидкости, в том числе и вязкой. Предположим сначала, что жидкость несжимаема (r = const). В этом случае, кроме нормальных сил давления - dpdydz и объемной силы Rxrdxdydz, действующих в идеальной жидкости в направлении оси х (см. рисунок 2.1), в вязкой жидкости действует еще разность сил трения, касательных к верхней и нижней граням кубического объема жидкости (верхняя грань увлекается большей скоростью, нижняя тормозится меньшей): (h )верх - (h )нижн. С учетом этих сил уравнение второго закона Ньютона (1.1) для частицы жидкости в проекции на ось х запишется в виде: rdxdydz = - dpdxdy + Rxrdxdydz + + h[()верх - ()нижн]dxdy. Разделив последнее равенство, на rdxdydz и принимая во внимание, что h/r = n, а отношение [()верх - ()нижн]/dz = , получим: = - + Rx + n , (ср. с первым уравнением (1.11)). Учитывая возможность изменения вектора w и давления р в направлениях х и у, обобщим полученное уравнение на общей (3 - х мерный) случай течения несжимаемой (r = const) вязкой жидкости: = - + Rx + n( + + ); = - + Ry + n( + + ); = - + Rz + n( + + ) (1.2) или = -- + R i + n *) (1.21) То же в векторном виде: = -- Ñp + + nD . (1.211) Здесь D º Ñ×Ñ º + + º - дифференциальный оператор Лапласа. Полученные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости носят название уравнений Навье - Стокса (1822; 1845).
____________________ *) В последнем слагаемом индекс "к" повторяется дважды (т. к. º ), является немым и по нему предполагается суммирование. В случае сжимаемой вязкой жидкости, когда div w º ¹ 0, для касательных напряжений принимается: t iк = h( + - d iк ) + zd iк , (1.3)
называется тензорной единицей, а коэффициент (- ) выбран так, что выражение в скобках обращается в нуль при суммировании компонент с одинаковыми индексами (i = к). Коэффициент z называется вторым коэффициентом вязкости и играет заметную роль лишь при значительных изменениях плотности жидкости (например, при взрыве). Уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости получаются прибавлением производных к правой части уравнений Эйлера r = - + rR i + (1.4) или, с учетом зависимости (13.3): r = - +rR i + h + (z + h /3) (1.4!) Но º div w, º Dwi. Поэтому можно написать уравнение движения в векторном виде: r = - gradp + r R + hD w+ (z + h /3) grad div w. (1.411) Для несжимаемой жидкости div w = 0, h= 0,что приводит к уравнению (1.2).
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|