Уравнение движения вязкой жидкости

ОГУ

Орский гуманитарно-технологический институт (ФИЛИАЛ)

Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

Высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»

(Орский гуманитарно-технологический институт (филиал) ОГУ)

Механико-технологический факультет

Кафедра Теплоэнергетики и теплотехники

 

ОТЧЕТ

по расчетно - графическому заданию

 

по дисциплине «Гидрогазодинамика»

 

_____________________________________________________________

_{(шифр по стандарту)}

 

 

Руководитель к.т.н., доцент
	Ануфриенко О. С.
«_____» _______________20____г
Исполнитель
студент гр. _ 11TT(б) ЭОП _____
		Осадчий В.Н
(подпись)	(Ф. И. О.)

 

2012г

20__

СОДЕРЖАНИЕ

1.1 Уравнение движения вязкой жидкости…………………….
2.1 Основы теории пограничного слоя………………………….
2.2 Уравнения пограничного слоя Л. Прандтля……………….
2.3 Турбулизация пограничного слоя…………………………...
2.4 Расчет пограничного слоя по методу Кармана……………
Примеры решения задач………………………………………….
Список литературы………………………………………………..

 

 

Уравнение движения вязкой жидкости

 

При обтекании тела реальной жидкостью на его поверхности появляются касательные напряжения, обусловленные внутренним трением - вязкости. Эти напряжения возникают при относительном движении (скольжении) слоев жидкостью и всегда приводят к диссипации энергии потока, термодинамической необратимости движения, связанной с переносом количества движения (импульса) от быстрых частиц жидкости к медленным.

Чтобы получить уравнения движения вязкой жидкости, необходимо ввести дополнительные члены в уравнения движения идеальной жидкости Л. Эйлера.*⁾ Установить вид этих членов можно, обобщая закон вязкого трения Ньютона для простейшего случая слоистого течения, когда изменение скорости течения w_x происходит только по одной координате z, рисунок 1.1.

Рисунок 1.1 - Вязкие напряжения между слоями жидкости

___________________

*⁾ Что касается уравнения непрерывности, то, как следует из его вывода, оно относится в равной мере к движению всякой жидкости, в том числе и вязкой.

Предположим сначала, что жидкость несжимаема (r = const). В этом случае, кроме нормальных сил давления - dpdydz и объемной силы R_xrdxdydz, действующих в идеальной жидкости в направлении оси х (см. рисунок 2.1), в вязкой жидкости действует еще разность сил трения, касательных к верхней и нижней граням кубического объема жидкости (верхняя грань увлекается большей скоростью, нижняя тормозится меньшей):

(h )_верх - (h )_нижн.

С учетом этих сил уравнение второго закона Ньютона (1.1) для частицы жидкости в проекции на ось х запишется в виде:

rdxdydz = - dpdxdy + R_xrdxdydz +

+ h[()_верх - ()_нижн]dxdy.

Разделив последнее равенство, на rdxdydz и принимая во внимание, что h/r = n, а отношение

[()_верх - ()_нижн]/dz = ,

получим:

= - + R_x + n , (ср. с первым уравнением (1.1¹)).

Учитывая возможность изменения вектора w и давления р в направлениях х и у, обобщим полученное уравнение на общей (3 - х мерный) случай течения несжимаемой (r = const) вязкой жидкости:

= - + R_x + n( + + );

= - + R_y + n( + + );

= - + R_z + n( + + ) (1.2)

или

= -- + R _i + n *⁾ (1.2¹)

То же в векторном виде:

= -- Ñp + + nD . (1.2¹¹)

Здесь

D º Ñ×Ñ º + + º

- дифференциальный оператор Лапласа.

Полученные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости носят название уравнений Навье - Стокса (1822; 1845).

 

 

____________________

*⁾ В последнем слагаемом индекс "к" повторяется дважды (т. к. º ), является немым и по нему предполагается суммирование.

В случае сжимаемой вязкой жидкости, когда

div w º ¹ 0, для касательных напряжений принимается:

t _iк = h( + - d _iк ) + zd _iк , (1.3)

где

d iк =

{

1, при i = к 0, при i ¹ к

называется тензорной единицей, а коэффициент (- ) выбран так, что выражение в скобках обращается в нуль при суммировании компонент с одинаковыми индексами (i = к). Коэффициент z называется вторым коэффициентом вязкости и играет заметную роль лишь при значительных изменениях плотности жидкости (например, при взрыве).

Уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости получаются прибавлением производных к правой части уравнений Эйлера

r = - + rR _i + (1.4)

или, с учетом зависимости (13.3):

r = - +rR _i + h + (z + h /3) (1.4^!)

Но º div w, º Dw_i. Поэтому можно написать уравнение движения в векторном виде:

r = - gradp + r R + hD w+ (z + h /3) grad div w. (1.4¹¹)

Для несжимаемой жидкости div w = 0, h= 0,что приводит к уравнению (1.2).

 

123Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: