Существование решения первой начально-краевой задачи для волнового уравнения.

Лекция 5. Обоснование метода Фурье

Оценка коэффициентов Фурье.
Почленное дифференцирование рядов Фурье.

Рассмотрим периодическую функцию f(x) с периодом T=2π. Предположим, что ее можно представить в виде ряда Фурье

 

где коэффициенты вычисляются по формулам

 

Теорема 1. Пусть f(x) - периодическая функция с периодом T=2π. Пусть существует f ^(k)(x) - непрерывная для любого x; и выполняется оценка . Тогда коэффициенты Фурье удовлетворяют неравенствам

 

Доказательство. Формулы для коэффициентов Фурье проинтегрируем по частям:

 

следовательно,

 

При k≥2 формулы для коэффицентов Фурье последовательно интегрируем по частям k раз и используем свойство периодичности функций f ^(s)(-π)=f ^(s)(π) для любого s < k.

Оценка для коэффициентов b_n получается аналогично.

Теорема 2. Если коэффициенты Фурье удовлетворяют неравенствам

 

то сумма ряда Фурье f(x) - непрерывная периодическая функция с периодом T=2π, которая имеет производную f^(k-2)(x) - непрерывную, и f ^(k-2) (x) может быть получена почленным дифференцированием ряда (k-2) раз.

Доказательство. По теореме Вейерштрасса, если ряд Фурье

 

мажорируется сходящимся числовым рядом то ряд Фурье сходится равномерно для любого x, сумма ряда f(x) - непрерывная периодическая функция. Формально продифференцируем ряд Фурье (k-2) раз

 

(Знаки и вид тригонометрических множителей зависят от порядка производной).

Полученный ряд мажорируется числовым рядом

 

Следовательно, ряд из производных (k-2) порядка равномерно сходится. Поэтому его можно почленно дифференцировать и производная f^(k-2)(x) получается дифференцированием (k-2) раза ряда Фурье.

Замечание. В случае тригонометрических рядов для периодических функций с периодом T=2l также справедливы теоремы 1 и 2.

 

Существование решения первой начально-краевой задачи для волнового уравнения.

Теорема 3. Если φ С²[0,l];ψ C¹[0,l] и φ, φ”, ψ обращаются в нуль в точках x=0 и x=l,то ряд

(21)

c коэффициентами

 

сходится равномерно в полуполосе 0 ≤ x ≤ l, t ≥0, к функции U(x,t) C², удовлетворяющей волновому уравнению, краевым условиям U(0,t) = U(l,t) = 0 и начальным условиям U(x,0) = φ(x); U_t(x,0) = ψ(x).

Доказательство теоремы проведем при более сильных условиях на функции φ(x) и ψ(x). Пусть φ(x) C⁴[0, l ], ψ(x) C³[0,l]; φ(x) и ψ(x) и их производные соответствующих порядков обращаются в нуль в точках x=0 и x=l.

Тогда φ(x) и ψ(x) продолжаются нечетным образом на [-l,0] и далее периодически при всех x. Причем φ(x) C⁴(R), ψ(x) C³(R). В этом случае по теореме 1 коэффициенты Следовательно, в силу теоремы 2, ряд (21) сходится равномерно к функции U(x,t) C², допускает почленное дифференцирование по x и по t два раза, является решением волнового уравнения и удовлетворяет краевым и начальным условиям.

 

Единственность решения первой начально-краевой задачи для волнового уравнения.

Теорема 4. Возможно только одно решение волнового уравнения, удовлетворяющее краевым условиям и начальным условиям

Доказательство. Допустим, что задача может иметь два различных решения Тогда функция удовлетворяет уравнению

однородным краевым и начальным условиям

Докажем, что в этом случае .

Введём функцию

Покажем, что функция не зависит от переменной t. В самом деле, дифференцируя , получим

 

В нашем случае дифференцирование можно проводить под знаком интеграла, так как по условию .
Интегрируя по частям первое слагаемое в правой части, будем иметь

 

(21*)

Из краевых условий следует, что внеинтегральный член в (21*) равен нулю:

 

Второе слагаемое в правой части (21*) в силу уравнения преобразуется к виду

 

.

Поэтому производная и, следовательно, .

Учитывая нулевые начальные условия, получим

 

отсюда следует, что, то есть . В силу нулевого первого начального условия функция . Это означает, что
Получили противоречие.

Замечание. Функция в случае задачи о колебании струны представляет собой полную энергию струны в момент времени t.

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: