Пространственно-временная интерпретация формулы Даламбера
Лекция 6. Метод Даламбера В этой лекции решение задачи Коши для волнового уравнения (23)
Шаг 1. Заменим переменные (x, t) новыми переменными (ξ,η), в которых волновое уравнение примет другой вид: Такая замена выполняется по формулам (24)
Проверим это:
После подстановки этих производных в волновое уравнение, получим:
Шаг 2. Преобразованное уравнение легко решается двумя последовательными интегрированиями (сначала по переменной η, а затем по ξ):
Окончательно, общее решение U(ξ,η) имеет вид (25)
Шаг 3. Для нахождения общего решения первоначального уравнения подставим в (25) вместо ξ и η выражения (24): (26) Шаг 4. Определим функции C1 и C2, используя начальные условия из (23). После подстановки первого условия получим
Найдем производную функции U в (26) по переменной t и подставим второе условие:
В результате будем иметь систему уравнений (27) Если проинтегрировать второе уравнение системы (27) по x в пределах от xo до х, то получим следующую систему:
При сложении этих уравнений получим
Если из первого уравнения системы вычесть второе уравнение, то будем иметь
Подставим теперь полученные функции в общее решение (26): (28) Поменяем местами пределы интегрирования во втором интеграле, стоящем в скобках в (28). В результате получим решение исходной задачи Коши (29) Формула (29) называется формулой Даламбера.
Далее мы исследуем решение, определяемое по формуле Даламбера. Пространственно-временная интерпретация формулы Даламбера При исследовании формулы Даламбера будем исходить из физического смысла волнового уравнения. Рассмотрим уравнение свободных колебаний бесконечной струны (30) и начальные условия (31) Такая задача Коши с помощью замены независимой переменной сводится к задаче (23):
Решение преобразованной задачи имеет вид (см. формулу Даламбера (29):
Если теперь в эту формулу вместо τ подставить at, то получится решение исходной задачи (32) Прежде, чем перейти к физической интерпретации этой формулы, сделаем следующее замечание. Замечание. Рассмотрим в отдельности функции C1(x-at) и C2(x-at), входящие в общее решение (26) (коэффициент а в них появился потому, что нас сейчас интересует более общее уравнение (30)). Начнем с функции C1(x-at) и построим графики этой функции при возрастающих значениях t: t=to, t=t1, t=t2 и т.д. (см. рис. 8).
Рис. 8 Если по очереди проецировать эти картинки на экран (как в мультфильмах), то они «побегут» вправо. Процесс передвижения отклонения по струне называется волной. При этом коэффициент а является скоростью распространения волны. В самом деле, предположим, что параллельно оси х движется наблюдатель со скоростью а. Пусть в некоторый момент to он находился в точке xo. Тогда за промежуток наблюдатель сместится вправо на величину и окажется в точке Если в точке xo наблюдатель видел отклонение струны на величину то в момент t величина отклонения – будет точно такой же! То есть наблюдатель будет видеть форму струны не изменяющейся. Вторая функция C2(x-at) тоже представляет собой волну, но только она будет распространяться со скоростью а влево. Часто функции C1(x-at) и C2(x-at) называют, соответственно, прямой и обратной волной. Таким образом, общее решение U(x,t) (формула (26)) волнового уравнения является суперпозицией прямой и обратной волны.
Теперь дадим интерпретацию формулы Даламбера для двух частных случаев. СЛУЧАЙ 1. Предположим, что начальное отклонение отлично от нуля, а начальная скорость равна нулю. Это означает, что начальные условия имеют вид
При таких начальных условиях получается решение задачи Коши, которое называется волной отклонения. Уравнение волны отклонения определяется формулой Даламбера
Рис. 9
Значение U равно среднему арифметическому значений начальной функции φ в точках (xo - ato) и (xo + ato). На рис. 9 изображена плоскость xOt, которая называется фазовой плоскостью. На оси х указаны точки (xo - ato, 0) и (xo + ato, 0), в которых начальные отклонения струны определяют величину отклонения струны в точке xo в момент времени to. Эти точки являются точками пересечения прямых x - at = xo - ato и x + at = xo + ato с осью х. Указанные прямые называются характеристиками волнового уравнения. Треугольник с вершиной в точке (хo, to) и основанием, которое получается при пересечении характеристик с осью х (см. рис. 9), называется характеристическим треугольником. Используя такую интерпретацию формулы Даламбера, изобразим фазовую картину решения следующей задачи:
Замечание. На самом деле начальные отклонения струны не могут быть разрывными в точках х = -1 и х = 1, ведь струна не разрывается. Однако мы не слишком сильно погрешим против истинной картины распространения колебаний, если будем считать их кусочно постоянными. Дело в том, что, во-первых, рассматриваются очень малые колебания струны, и, во-вторых, малые изменения начальных значений незначительно влияют на решение задачи. На рисунке 10 изображена фазовая плоскость x0t. Решение U(x,t) задачи отлично от нуля только в заштрихованных областях, причем начальное отклонение распространяется с одинаковой скоростью в двух противоположных направлениях – возникает прямая и обратная волны. Границы этих областей – это характеристики волнового уравнения: x - at = -1, x - at = 1, x + at = -1, x + at = 1.
Рис. 10
Если рассмотреть процесс колебания некоторой фиксированной точки струны x = xo, то нетрудно заметить, что она колеблется только в конечный промежуток времени: от момента до момента , то есть В остальное время точка xo находится в покое. Говорят, что в момент t1 через точку x = xo проходит передний фронт волны, а в момент t2 - задний фронт волны. Вообще, фронтом волны называется граница между возмущенной (колеблющейся) и невозмущенной областями среды (точками струны). Для прямой волны уравнение переднего фронта x - at = 1, а заднего фронта x - at = -1. Для обратной волны, соответственно, x + at = -1 - уравнение переднего фронта, а x + at = 1 - заднего фронта. Рассмотрим теперь СЛУЧАЙ 2. Пусть начальное отклонение равно нулю, а начальная скорость отлична от нуля. Это означает, что начальные условия имеют вид
В этом случае решение задачи Коши называют волной импульса. Оно имеет вид (см. формулу Даламбера)
Рис. 11
На рис. 11 изображена фазовая плоскость x0t. Точки (xo - ato, 0) и (xo + ato, 0) являются точками пересечения характеристик x - at = xo - ato и x + at = xo + ato с осью х. В качестве примера приведем фазовую картину решения следующей задачи:
Рис. 12
Рис. 12 описывает процесс колебания струны, которой сообщается начальная единичная скорость на отрезке -1<x<1. В этом случае вся верхняя половина фазовой плоскости характеристиками разбивается на шесть областей. В каждой из этих областей решение U(x,t) легко находится по формуле Даламбера: 1. В области 1 (так же, как и в области 5) функция
При вычислении интеграла всегда удобно представить себе характеристический треугольник с вершиной в точке, лежащей в соответствующей области (см. рис 12). Тогда значение U(x,t) будет определяться значениями начальной функции ψ(x) в основании характеристического треугольника.
2. В области 2 функция
3. В области 3 функция
4. В области 4 функция
5. В области 6 функция
Это решение в различные моменты времени можно изобразить на плоскости x0U (см. рис 13). Здесь для простоты положим a=1.
Рис. 13
Графики функции U(x,t), изображенные на рис. 13, задают форму струны в различные моменты времени.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|