 |
Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы
|
|
|
|
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания
для подготовки к аудиторной контрольной работе
студентов заочной формы получения высшего образования
по учебной дисциплине «Высшая математика»
в трех частях
Часть II
Могилев 2014
УДК 519.21
ББК 22.1
Рассмотрено и рекомендовано к изданию
на заседании кафедры высшей математики
Протокол № 4 от 20. 11. 2014 г.
Составители:
к.ф.-м. н., доцент В.Э.Гарист
старший преподаватель Л.И.Рыдевская
ассистент Ю.М.Гребенцов
Рецензент
д.ф.-м. н., доцент А.М.Гальмак
УДК 51
ББК 22.1
© Учреждение образования «Могилевский
государственный университет продовольствия», 2014
Тема 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
1. Уметь определять порядок дифференциального уравнения.
2. Знать определение общего и частного решения дифференциального уравнения.
3. Знать определение дифференциального уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными, однородного, линейного и уметь решать их.
4. Знать определение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
5. Определять вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
Задания для самостоятельного выполнения
1. Определить порядок дифференциального уравнения:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
2. Показать, что функция 
есть общее решение дифференциального уравнения 
. Найти частное решение, удовлетворяющее условию 
.
3. Решить дифференциальные уравнения:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
4. Найти общее решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:
|
|
|
а) 
;
б) 
;
в) 
.
5. Указать вид частного решения данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
.
Образцы решения заданий
Задание 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка
Решение. Преобразуем данное уравнение. Слагаемые с множителем dx перенесем в левую часть равенства, а слагаемые с dy – в правую часть. Имеем:
.
Вынесем общие множители за скобки:
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
.
Интегрируем обе части последнего равенства:
,
,
,
.
Следовательно, общим интегралом исходного уравнения является
.
Задание 2. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка
.
Решение. Так как уравнение линейное, то решаем его с помощью подстановки Бернулли:
, где 
.
Имеем: 
. Подставив в исходное уравнение выражения для 
и 
, получим уравнение
,
которое преобразуем к виду
.
Так как только произведение 
должно удовлетворять исходному уравнению, то одну из неизвестных функций, например 
, можно выбрать произвольно. Выбираем в качестве любое частное решение 
уравнения 
.
Тогда 
. Разделим переменные, имеем:
.
Интегрируя, получим:
, 
.
Полагая 
, выбираем частное решение 
. Далее найдем общее решение из уравнения 
, где . Имеем:
, 
, 
.
Общее решение исходного уравнения
.
Задание 3.
а) Найти общее решение уравнения
(1. 1)
Решение. Данное уравнение относится к уравнениям вида 
Понизив его порядок с помощью подстановки 
где 
. Тогда 
. Подставив в уравнение (1. 1) вместо 
и 
их выражения, получим
(1. 2)
Это однородное уравнение первого порядка относительно функции 
. Уравнение (1. 2) решим с помощью подстановки 
Подставив это в уравнение (1. 2), получим
Разделив переменные и проинтегрировав, получим
,
,
.
Проинтегрировав, получим
|
|
|
б) Найти общее решение уравнения
. (1. 3)
Решение. Данное дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, относится к уравнениям вида Порядок такого уравнения понижается подстановкой 
, где 
Тогда
Подставляя вместо и их выражения в уравнение (1. 3), получим
или
– линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно искомой функции 
Решаем подстановкой 
,
. (1. 4)
Функцию 
выберем так, чтобы коэффициент при 
был равен нулю.
или 
Подставляя 
в уравнение (1. 4), получим
.
Тогда 
или
Разделив переменные и проинтегрировав, получим
– общий интеграл данного уравнения при 
Если 
т.е. 
то 
Ответ: 
.
Задание 4. Найти частное решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее начальным условиям 
Решение. Составим и решим характеристическое уравнение
Так как корни характеристического уравнения действительные и разные, то общее решение 
имеет вид
.
Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее начальным условиям 
В нашем случае 
а 
или 
, 
или 
.
Теперь решаем систему уравнений
Откуда 
.
Следовательно, 
– искомое частное решение.
Задание 5. Найти частное решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее начальным условиям 
Решение. Общее решение данного уравнения состоит из суммы общего решения 
соответствующего однородного уравнения и частного решения 
неоднородного уравнения, т.е. 
Решим сначала однородное уравнение
.
Составим и решим характеристическое уравнение
Так как корни характеристического уравнения действительные и разные, то общее решение 
будет иметь вид
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде 
.
В нашем случае 
так как 
встречается один раз среди корней характеристического уравнения.
Итак, 
, где 
это многочлен нулевой степени.
(Если 
то 
при 
и т.д.).
Чтобы найти коэффициент А, найдем 
и подставим в первоначальное уравнение.
;
.
.
Приведя подобные и сократив на 
, получим
откуда 
и частное решение имеет вид 
.
Общее решение данного уравнения:
Найдем 
и поставим начальные условия, откуда найдем 
и 
.
откуда 
.
И частное решение будет иметь вид
Задание 6. Найти частное решение соответствующего однородного уравнения 
, удовлетворяющее заданным начальным условиям 
, и указать вид частного решения неоднородного уравнения.
|
|
|
Решение. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения 
. Составим характеристическое уравнение
.
Это квадратное уравнение имеет корни k 1 = – 1, k 2 = 6. По теореме о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения решение запишем в виде
.
Следовательно, 
.
Для нахождения частного решения однородного уравнения найдем производную 
и решим систему
, откуда 
.
Следовательно, частное решение однородного уравнения имеет вид
.
Теперь укажем вид частного решения заданного в условии неоднородного уравнения.
Правая часть уравнения – функция 
имеет специальный вид, что позволяет установить вид частного решения. Частное решение для такой правой части ищем в виде 
, где по условию 
; 
– число корней характеристического уравнения совпадающих с числом 
. Так как один из корней характеристического уравнения 
и совпадает с числом 
, то частное решение 
ищем в виде
.
Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы
1. Знать определение двойного интеграла и его свойства.
2. Уметь вычислять повторный интеграл.
3. Уметь расставлять пределы интегрирования в двойном интеграле.
4. Уметь вычислять площадь фигур с помощью двойного интеграла.
5. Знать определение криволинейного интеграла первого рода и его свойства.
6. Уметь вычислять криволинейный интеграл первого рода.
7. Знать определение криволинейного интеграла второго рода и его свойства.
8. Уметь вычислять криволинейный интеграл второго рода.
9. Знать и уметь применять формулу Грина.
|
|
|
