Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Дифракция электронов

Лабораторная работа № 3

Цель работы. Изучение волновых и вероятностных свойств микрочастиц методом компьютерного моделирования. Проверка формулы де Бройля. Знакомство с электронографией как одним из методов исследования структуры вещества. Определение межплоскостных расстояний и индексов Миллера кристаллической решетки по электронограммам.

Волны де Бройля. Найдем длину волны де Бройля для электронов, ускоренных электрическим полем с разностью потенциалов V. Электроны в этом случае приобретают кинетическую энергию

. (1.34)

При нерелятивистском рассмотрении импульс электрона будет равен:

. (1.35)

Подставив (1.35) в (1.1), получаем

, (1.36)

где е и т - заряд и масса электрона. Из этой формулы следует, что для электронов с энергиями от 1 до 1000эВ длины волн де Бройля лежат в пределах от 1 до 0,01 нм, т.е. в интервале длин волн рентгеновских лучей. Поэтому волновые свойства электронов должны проявляться, например, при их рассеянии на кристаллах, т.е. в тех же условиях, при которых наблюдается дифракция рентгеновских лучей. В данном случае кристалл выступает в качестве естественной дифракционной решетки.

В данной работе исследуется дифракция электронов с энергиями в десятки килоэлектронвольт, когда их скорость становится сопоставимой со скоростью света. В таких условиях для определения импульса электрона следует пользоваться релятивистскими формулами

(1.37)

. (1.38)

Исключив из этих формул полную энергию Е и учтя соотношение (1.34), найдем

. (1.39)

Подставив (1.39) в (1.1), получим точное релятивистское выражение для длины волны де Бройля

. (1.40)

Вероятностная интерпретация волн де Бройля. Теоретическое объяснение опытов по дифракции электронов (равно как и других частиц вещества) сопряжено с трудностями принципиального характера. Их разрешение в конечном счете привело к возникновению квантовой механики, являющейся важнейшей составной частью современной физики.

Прежде всего необходимо дать ответ на вопрос: как совместить между собой существование неделимого электрона и явление дифракции? Можно было бы предположить, что интерференция и дифракция связаны с взаимодействием большого количества электронов, одновременно участвующих в процессе. Но тогда вид дифракционной картины должен был бы зависеть от интенсивности электронного пучка, и в случае достаточно малой интенсивности, когда в приборе находится не более одного электрона, дифракция вовсе исчезла бы. Однако эксперименты показали, что какова бы ни была интенсивность падающего пучка электронов, дифракционная картина остается одной и той же при условии, что время экспозиции берется достаточно большим. Это указывает на то, что каждый электрон, взятый в отдельности, участвует в явлениях интерференции. Иначе говоря, каждый электрон интерферирует сам с собой!

Волновая теория, распространенная на волны де Бройля, определяет положение светлых и темных полос в предположении, что количество электронов распределяется в пространстве пропорционально интенсивности этой волны, которая равна квадрату ее амплитуды. Поэтому, учитывая независимость процесса интерференции от количества участвующих в нем электронов, необходимо считать, что интенсивность волны де Бройля в данном месте представляет собой вероятность того, чтоэлектрон окажется именно там. Другими словами, в волне де Бройля колеблется «нечто», квадрат чего дает вероятность нахождения частицы в том или ином месте.

Особо следует подчеркнуть, что волна де Бройля и частица – это один и тот же объект. Реальность заключается в том, что частицы, созданные природой, обладают свойствами волн. Согласно общепринятой интерпретации волн де Бройля, волновым законам подчиняется некоторая величина y(x,y,z,t), описывающая состояние частицы и называемая ее волновой функцией. Волновая функция позволяет вычислить вероятность dW нахождения частицы в объеме dV возле точки с координатами x, y, z:

. (1.41)

Отсюда следует, что

, (1.42)

т.е. квадрат волновой функции имеет смысл плотности вероятности.

Импульс и энергия свободной частицы являются параметрами плоской волны де Бройля, которая в частном случае одномерного движения может быть представлена следующим образом

. (1.43)

В процессе измерения координат частица локализуется измерительным прибором, поэтому область определения волновой функции (1.43), справедливой, как отмечалось, для свободной частицы, ограничивается теперь отрезком Dx (рис. 1.10а). Изображенную на рис. 1.10а волну нельзя считать монохроматической, имеющей одно определенное значение длины волны (импульса). Такая волна представляется бесконечно большим набором волн с различными значениями импульса (рис. 1.10б), амплитуды которых определяются интегралом Фурье

, (1.44)

где

Рис. 1.10.

Квадрат модуля пси-функции определяет плотность вероятности того, что при однократном измерении будет получено соответствующее значение импульса. Многократное повторение такого измерения дает в среднем значение импульса, равное Р_0х. Из 1.13б следует, что с определенной вероятностью в результате измерения можно получить значение импульса, лежащее в некотором интервале Р_х – в окрестности Р_0х; величину Р_х можно ограничить, задавшись определенным значением вероятности. Поскольку величины х и Р связаны между собой преобразованиями Фурье, можно количественно сформулировать соотношение неопределенностей. Не вдаваясь в подробности расчетов, укажем, что для случая, изображенного на рис. 1.10, имеет место

. (1.45)

Формулировка (1.45) как неравенства обусловлена тем, что вероятность получения в результате измерения импульса, выходящего за пределы интервала , отлична от нуля. Соотношения, подобные (1.45), составляют основу квантово-механического принципа неопределенностей.

Дифракция электронов. Таким образом, электроны, подобно рентгеновским лучам, испытывают дифракцию на кристаллах. Дифракция проявляется в том, что электроны отражаются от кристалла не в любых, а в строго определенных направлениях, которые можно найти с помощью формулы Вульфа-Брэгга

2d sin Θ = n l; n = 1, 2,... (1.46)

Рис. 1.11 поясняет эту формулу. Угол Θ есть угол скольжения, т.е. угол между направлением падающего пучка электронов и кристаллографической плоскостью, d - межплоскостное расстояние, т.е. расстояние между соседними параллельными кристаллографическими плоскостями. Целое число п носит название порядка дифракции. Из рис. 1.11 видно, что отраженный пучок отклоняется от направления падающего пучка на угол 2Θ.

Существенно, что в кристалле имеется не одно, а набор разных межплоскостных расстояний, величина которых зависит от положения соответствующих кристаллoграфических плоскостей (рис. 1.11). Каждое из этих межплоскостных расстояний может проявить себя в явлении дифракции.

Будучи электрически заряженными, электроны взаимодействуют c веществом примерно в миллион раз сильнее, чем рентгеновские лучи. Поэтому образцами для наблюдения дифракции электронов обычно служат тонкие пленки толщиной 10^-6 – 10^-5 см, тогда как для наблюдения дифракции рентгеновских лучей используют образцы толщиной порядка миллиметра.

Широкое распространение получил метод наблюдения дифракции электронов, предложенный в 1927 г. Дж.П.Томсоном. Этот метод лежит в основе устройства современных приборов: электронного микроскопа и электронографа.

Рис.1.11.

Метод Томсона очень прост. Электронная пушка 1 формирует тонкий пучок электронов, ускоренных напряжением в несколько десятков киловольт (рис. 1.12), приложенным между электростатическим фокусирующим электродом 2 и анодом 3. Электронный пучок формируется с помощью диафрагм 4 и соответствующего магнитного поля, создаваемого в магнитной линзе 5. Сформированный пучок электронов пропускается через тонкую пленку исследуемого вещества 6. Взаимодействуя с веществом, электроны рассеиваются и создают дифракционную картину, которую наблюдают на флуоресцирующем экране или регистрируют на фотопластинке 7. В результате на фотопластинке образуется дифракционная картина в виде концентрических колец, которая носит название электронограммы.

Кольцевая структура электронограммы объясняется следующим образом. Чаще всего тонко-пленочный образец имеет поликристаллическую структуру, т.е. состоит из множества хаотично ориентированных микроскопических кристалликов. Электроны отражаются не от всех микрокристалликов, а лишь от тех из них, грани которых имеют некоторые определенные ориентации в пространстве - такие, чтобы выполнялось условие Вульфа-Брэгга (1.46). В результате отраженные электроны будут лететь в направлениях, которые лежат на конической поверхности с углом раскрытия 2Θ (рис. 1.13). Вдоль линии пересечения этой конической поверхности с плоскостью фотопластинки и образуется дифракционное кольцо.

Рис. 1.12.

Поскольку условие Вульфа-Брэгга может реализовываться для нескольких значений межплоскостного расстояния d и порядка дифракции п, то электронoграмма обычно содержит несколько колец. Число колец и их диаметры зависят от структуры конкретного кристалла. Легко найти соотношение, связывающее диаметр дифракционного кольца D с соответствующим межплоскостным расстоянием.

Из рис. 1.13 видно, что D/2 = L₀ tg 2 Θ, где L - расстояние от образца до фотопластинки. Обычно угол 2Θ мал, вследствие чего tg 2 Θ» sin 2 Θ» 2 Θ и D/2»L₀ 2 Θ, откуда Θ» D/4L₀. Подставив это значение угла Θ в условие Вульфа-Брэгга, получаем искомую формулу

d» n (2L₀/D) l_бр; n = 1, 2,... (1.47)

В некоторых случаях электронограммы состоят из отдельных пятен, симметрично расположенных по концентрическим окружностям. Подобные пятнистые электронограммы получаются для пленок с упорядоченным расположением микрокристалликов. Обычно такие пленки возникают при кристаллизации из пара на подогретой металлической подложке. Электронограммы от аморфных (некристаллических) пленок имеют вид сильно размытых сплошных концентрических колец.

Рис. 1.13.

Метод изучения структуры вещества, основанного на рассеянии ускоренных электронов исследуемым образцом, называется электронографией. Электронография широко применяется для изучения атомной структуры кристаллов, аморфных тел и жидкостей, а также молекул в газах и парах.

Электронографические исследования проводятся на специальных приборах - электронографах и электронных микроскопах. В них в условиях высокого вакуума электроны ускоряются электрическим полем, фокусируются в узкий интенсивный пучок, а образующиеся после прохождения через образец дифрагированные пучки либо фотографируются (давая электронограммы), либо регистрируются фотоэлектрическим устройством. Т.е. по существу в электронографах реализуется схема дифракции, приведенная на рис. 1.12.

Интенсивность и пространственное распределение дифрагированных пучков находятся в строгом соответствии с атомной структурой образца, размерами и ориентацией отдельных кристалликов и другими структурными параметрами. Вся эта информация может быть извлечена из получаемых электронограмм. Благодаря несравненно более сильному взаимодействию электронов с веществом, а также возможности создания интенсивного пучка в электронографе экспозиция для получения электронограммы обычно составляет около секунды, что позволяет исследовать структурные превращения, например, кристаллизацию. Электронография позволила изучать атомные структуры огромного числа веществ, существующих лишь в мелкокристаллическом состоянии. Она обладает также преимуществом перед рентгеновским структурным анализом в определении положения легких атомов в присутствии тяжелых.

Дифракция электронов со статистической точки зрения. Волновые свойства частиц вещества могут быть выявлены не с одной, а с многими частицами, т.е. статистически. Рассмотрим со статистической точки зрения дифракцию электронов. Пусть регистрация электронов, испытавших рассеяние на кристалле, производится с помощью фотопластинки. Отдельный электрон оставляет на фотопластинке пятнышко. Если электронов мало, то фотопластинка будет напоминать мишень, простреленную небольшим количеством пуль, а расположение пятнышек на ней не обнаружит никакой закономерности. Закономерность выявится лишь в том случае, если на фотопластинку попадет достаточное количество электронов. При этом оказывается, что пятнышки концентрируются преимущественно в тех ее местах, где должны получаться дифракционные максимумы y -волн, т.е. волн де Бройля. Совокупность пятнышек и образует дифракционную картину, наблюдаемую на опыте. Существенно, что эта картина окажется одинаковой независимо от того, образуется ли она постепенно электронами, последовательно проходящими по одному через кристалл или сразу интенсивным пучком электронов, в котором содержится то же число частиц.

Как уже отмечалось, независимость вида дифракционной картины от плотности потока электронов свидетельствует о том, что каждый отдельный электрон в результате взаимодействия с кристаллом интерферирует сам с собой. Механизм этой необычной интерференции следующий. Взаимодействие сразу со всеми частицами, входящими в кристалл, электрон осуществляет через посредство своей y -волны. Рассеянные кристаллом вторичные y -волны в некоторых направлениях усиливают, в некоторых - гасят друг друга. При этом вероятность попадания электрона в то или иное место фотопластинки пропорциональна квадрату суммы всех вторичных y -волн в данном месте.

Упражнение

Целью данного упражнения является знакомство с компьютерным моделированием дифракции электронов.Компьютерное моделирование дает возможность наблюдать проявление вероятностных свойств частиц, что в условиях учебной лаборатории практически неосуществимо при непосредственной работе с источником электронов.

В данной работе моделируется дифракция электронов на узкой щели.

Схема моделируемого опыта по дифракции электронов на узкой щели представлена на рис. 1.14а. Электроны из эмиттера А, ускоренные разностью потенциалов , движутся в направлении оси Y и проходят сквозь щель шириной в экране В; далее частицы принимают счетчиками, установленными под различными углами. В момент прохождения электроном щели плотность вероятности |j(x)|² имеет вид, изображенный на рис. 1.14б. Волновая функция j(P_x) в соответствии с преобразованиями (1.44) определяется выражением

y(P_x) = , (1.48)

график плотности вероятности |y(P_x)|² приведен на рис. 1.14в. После прохождения щели k-й электрон, вероятно, может двигаться в направлении, определяемом углом

j_k=arcsin (), (1.49)

где импульс P связан с дебройлеровской длиной волны электрона соотношением (1.1), а P_xk – случайная величина, плотность вероятности которой определяется с помощью выражения (1.48). После прохождения достаточно большого числа электронов показания счетчиков создадут дифракционную картину, подобную показанной на рис. 1.14, в.

Рис. 1.14.

Первый минимум такого распределения совпадает с первым минимумом для фраунгоферовой дифракции на щели, который определяется из соотношения

dx sin j₁_min=l. (1.50)

Здесь длина волны l задается выражением (1.1).

Порядок работы с программами освещается в инструкции (приложение 1).

12 Следующая ⇒