Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Основы теории заданных для исследования методов

Исследование основных методов решения нелинейных уравнений

 

Отчет о лабораторной работе №2

по курсу “Компьютерные технологии вычислений

в математическом моделировании”

 

ЯГТУ 220301.65-002 ЛР

 

Отчет выполнили

студенты гр. МА-34

Пестов В.Н.

Хлюпин А.А.

 

Основная задача

Проведение сравнительного анализа работоспособности и эффективности различных методов решения нелинейных уравнений на примере функций с различными свойствами.

 

Основы теории заданных для исследования методов

Метод деления пополам

 

Состоит из следующих операций: сначала вычисляют значения функции в точках, расположенных через равные интервалы по оси x. Это делают до тех пор, пока не будут найдены два последовательных значения функции и , имеющие противоположные знаки. Затем по формуле

вычисляют середину промежутка и находят значение функции . Если знак совпадает со знаком , то в дальнейшем вместо используют . Если же имеет знак, противоположный знаку , т.е. ее знак совпадает со знаком , то на заменяют это значение функции. В результате интервал, в котором заключено значение корня, сужается. Если значение достаточно близко к нулю, процесс заканчивают, в противном случае его продолжают.

 

Метод касательных

 

В основе метода лежит разложение функции в ряд Тейлора

Члены, содержащие во второй и более высоких степенях, отбрасывают; используется соотношение . Предполагается, что переход от к приближает значение функции к нулю так, что . Тогда

.

Значение соответствует точке, в которой касательная к кривой в точке пересекает ось . Так как кривая отлична от прямой, то значение функции скорее всего не будет в точности равно нулю. Поэтому всю процедуру повторяют, причем вместо используют . Счет прекращается по достижении достаточно малого значения .

 

Метод параболической аппроксимации

 

В этом методе функция заменяется параболической функцией. На первом этапе параболу строят по трем точкам: крайним и средней точкам интервала , где отделен корень. По полученному уравнению параболы находят приближенный корень, для чего решают уравнение . На втором этапе строят параболу по трем точкам: найденному приближенному корню и двум предыдущим точкам, лежащим по разные стороны оси . Такая процедура повторяется много кратно до тех пор, пока величина отрезка, внутри которого находится корень, не будет меньше - предварительно заданной погрешности.

 

Метод простой итерации

 

Для применения этого метода уравнение представляют в следующем виде:

.

Затем выбирают начальное значение и подставляют его в левую часть уравнения. Соответствующая итерационная формула имеет вид

.

 

Исходные данные

Выбрана моделирующая функция №6:

.

2.1 Параметры гладкой функции с пологим пересечением оси x:

A=1; B=1; C=1; D=15.5;

Вид функции:

Рисунок 1. Моделирующая функция

 

Интервал Xmin=-2; Xmax=2;

 

 

2.2 Параметры гладкой функции с крутым пересечением оси x:

A=6; B=1; C=12; D=1;

Вид функции:

 

Рисунок 2. Моделирующая функция

 

Интервал Xmin=-2; Xmax=2;

2.3 Параметры колебательной функции с крутым пересечением оси x:

A=5; B=1; C=10; D=1;

Вид функции:

Рисунок 3. Моделирующая функция

 

Интервал Xmin=-5; Xmax=5;

 

Результаты работы

 

 

  Модельная функция №6 Уравнение: Ax^B+Csin(x+D) Параметры: A=1; B=1; C=1; D=15.5; Интервал Xmin=-2; Xmax=2;  
Метод Погрешность по x εx=0.0001 Погрешность по y εy=0.0001
x* f(x*) I Nф x* f(x*) I Nф
Деления пополам   0.20647     -0.89063 -0.00006    
Касательных 0.3375 0.20833     -0.89053 -0.00001    
Параболической аппроксимации -0.96159 -0.04101     Метод расходится
Простой итерации -0.89044 0.00002     -0.89044 0.00002    

 

Выводы: в рассматриваемых методах наиболее предпочтительным оказался останов вычислений при достижении заданной погрешности по y, т.е. . При решении задачи метод Ньютона сошелся всего за 3 итерации, но говорить, что он наиболее эффективен нельзя, так как данный метод предполагает помимо вычисления функции определение производной на каждой итерации, что требует больших затрат памяти и машинного времени. Наиболее оптимальным является использование метода деления пополам, который обеспечивает неплохую сходимость (7 итераций), высокую точность и не требует вычисления производных.

 

  Модельная функция №6 Уравнение: Ax^B+Csin(x+D) Параметры: A=6; B=1; C=12; D=1; Интервал Xmin=-2; Xmax=2;  
Метод Погрешность по x εx=0.0001 Погрешность по y εy=0.0001
x* f(x*) I Nф x* f(x*) I Nф
Деления пополам   10.09765     -0.66242 0.00003    
Касательных -0.22987 6.97553     -0.66242      
Параболической аппроксимации -0.66242       -0.66242      
Простой итерации -0.66238 0.00014     -0.66238 0.00014    

 

Выводы: для «крутой» функции останов вычислений производят при достижении требуемой точности по y: . Из рассматриваемых методов наибольшей сходимостью обладает метод Ньютона, но в силу необходимости определения производных на каждой итерации принимаем метод простой итерации наиболее эффективным.

 

  Модельная функция №6 Уравнение: Ax^B+Csin(x+D) Параметры: A=5; B=1; C=10; D=1; Интервал Xmin=-5; Xmax=5;  
Метод Погрешность по x εx=0.0001 Погрешность по y εy=0.0001
x* f(x*) I Nф x* f(x*) I Nф
Деления пополам   8,41447     -0,66242 -0,00009    
Касательных 0,62858 13,12621     -0,66242      
Параболической аппроксимации -0,66242       -0,66242 0,00008    
Простой итерации -0,66234 0,00050     -0,66234 0,00050    

 

Выводы: для «крутой» функции останов вычислений производят при достижении требуемой точности по y: . Наиболее эффективный метод для решения данной задачи – метод параболической аппроксимации, обладающий самой высокой скоростью сходимости.

 

Поделиться:





Читайте также:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...