Карусель 9-11 классов. 17 января 2013г.

 

1. В последовательности x, y, z, t, 10, u, v,... каждый член, начиная с третьего, равен произведению двух предыдущих членов. Найдите произведение первых шести членов этой последовательности.

Ответ: 10000. Уровень: 1

Решение: произведение xyzt*10u=z*zt*10*10t=100zt*zt=100*100*100.

2. На каждой из двух параллельных прямых отметили по десять точек. Сколько существует невырожденных треугольников, все вершины которых лежат в отмеченных точках?

Ответ: 900. Уровень: 1

Решение: 2*10*C₁₀².

 

3. Михаил вычел из суммы N первых трёхзначных чисел сумму N самых больших двузначных чисел. Для какого наименьшего N разность, полученная Михаилом, является четырёхзначным числом?

Ответ: 32. Уровень: 2.

Решение: заметим, что эта разность равна разности между суммами двух последовательных групп по N чисел, следовательно, она равна N².

 

4. Найдите количество меньших 1000 натуральных чисел, квадраты которых оканчиваются двумя одинаковыми цифрами.

Ответ: 139. Уровень: 3.

Решение: изучая последние цифры и остатки по модулю 4, видим, что две последние цифры – либо 00, либо 44. В первом случае подходят все кратные 10 числа (их 99), во втором – все чётные, сравнимые с +-12 по модулю 25. Подходящих чисел вида 50k+12 и 50k+38 – по 20.

 

5. Вычислите (в градусах) наименьший угол треугольника, в котором медиана и высота, проведённые из одной вершины, делят угол треугольника на три равные части.

Ответ: 30. Уровень: 2.

Решение: если опустить из середины противоположной стороны перпендикуляр на сторону треугольника, ближайшую к медиане, то его длина составит ¼ длины противоположной стороны треугольника, поэтому соответствующий угол треугольника равен 30 градусам.

6. Дробь сократили, и получили несократимую дробь . Найдите n.

Ответ: 72. Уровень: 2.

Решение: 100! делится на 2⁹⁷ и на 3⁴⁸, то есть на 2*12⁴⁸. Поэтому после сокращения знаменатель будет 12²/2 = 72.

 

7. Город имеет форму квадрата со стороной 5 км. Улицы разделяют его на кварталы со стороной 200 м. Какую наибольшую площадь (в квадратных километрах) можно заключить внутрь замкнутого маршрута длиной 10 км по улицам этого города?

Ответ: 6,24. Уровень:3.

Решение: нужно максимизировать площадь прямоугольника с периметром 10км., сторона которого x = n/5 (n – натуральное). Площадь такого прямоугольника равна 5x-x², максимум будет достигаться в точках x = 12/5 и x = 13/5.

 

8. Точки K и L делят диагональ AC прямоугольника ABCD на три равных части. Найдите отношение площади прямоугольника ABCD к площадм четырёхугольника KBLD.

Ответ: 3. Уровень: 1.

Решение: заметим, что K – точка пересечения медиан треугольника ABD, а L – точка пересечения медиан треугольника CBD, поэтому S_KBD = 1/3 S_ABD, S_LBD = 1/3 S_CBD, и значит, S_KBLD = 1/3 S_ABCD.

 

9. Найдите хотя бы одно трёхзначное число, равное сумме факториалов своих цифр.

Ответ: подходит только 145. Уровень: 2.

 

10. Коля посчитал количество способов выбрать из чисел 1, 2, …, 100 четыре не обязательно различных числа так, чтобы сумма выбранных им чисел делилась на 5, а Миша – количество способов выбрать из чисел 1, 2, …, 100 четыре не обязательно различных числа так, чтобы произведение выбранных им чисел делилось на 5. Найдите отношение результата Миши к результату Коли. (Способы, отличающиеся лишь порядком чисел, считаются разными).

Ответ: 2.952. Уровень:2.

Решение: результат Миши равен 100⁴-80⁴, результат Коли равен 100⁴/5, их отношение равно (5⁴ - 4⁴)/(5³) = 369/125 = 2.952.

 

11. Сколько решений имеет уравнение

Ответ: 2014. Уровень: 2.

Решение: надо найти число пересечений графика модуля синуса и отрезка, соединяющего точки (0,0) и (2013π/2,1). Кроме нуля, этот отрезок пересекает каждую «полудугу» ровно по разу.

 

12. Сколько решений на отрезке [1;10] имеет уравнение 2x=[5x]-[3x]? (Здесь [a] – целая часть числа a, то есть наибольшее целое число, не превосходящее a).

Ответ: 19. Уровень: 2.

Решение: из условия ясно, что 2x – целое число. Поэтому рассмотрим два случая: x – целое и x – полуцелое. В первом случае [3x]=3x, [5x]=5x, 2x=5x-3x верно для любого x, то есть таких решений столько, сколько целых чисел в заданном отрезке, т.е. 10. Если же x = n + 0.5, где n – целое, то 3x=3n+1.5, откуда [3x]=3n+1, 5x=5n+2.5, откуда [5x]=5n+2. Уравнение примет вид 2x=(5n+2)-(3n+1)=2n+1 = 2(n+0.5), то есть снова любое такое x подходит. Таких чисел на отрезке ровно 9.

 

13. Сколько среди коэффициентов многочлена (x+1)¹⁰⁰ нечетных?

Ответ: 8. Уровень: 3.

Решение: заметим, что (1+x)^(2^k) сравнимо с 1 + x^(2^k) mod 2. Перемножая скобки (1+x)⁴, (1+x)³², (1+x)⁶⁴, получим восемь различных слагаемых.

 

14. Известно, что a,b,c – целые числа, сумма которых равна 15, и уравнение (x-a)(x-b)(x-c)-3=0 имеет целый корень. Найдите этот корень.

Ответ: 4. Уровень: 2.

Решение: если x - этот корень, то x-a, x-b, x-c – различные целые числа с произведением 3, поэтому {x-a, x-b, x-c} = {1, -1, -3},и 3x -15 = -3.

 

15. Найдите отношение площадей вписанных в одну и ту же окружность правильных шестиугольника и треугольника.

Ответ: 2. Уровень: 1.

Решение: если разместить их так, что вершины треугольника являются вершинами шестиугольника, и соединить вершины треугольника с центром окружности, то треугольник будет разрезан на 3 равных треугольника, а шестиугольник – на 6.

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: