Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Числовые характеристики случайных величин




Выше мы познакомились с исчерпывающими характеристиками случайных величин.

Для дискретной случайной величины это:

1) функция распределения;

2) ряд распределения (графически – многоугольник распределения).

Для непрерывной случайной величины это:

1) функция распределения;

2) плотность распределения (графически - кривая распределения).

На практике зачастую нет возможности или необходимости характеризовать случайную величину полностью. Достаточно указать только отдельные числовые параметры, характеризующие основные черты распределения случайных величин: например, какое-то среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины; какое-либо число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего. Такие характеристики называются числовыми характеристиками случайной величины. Важнейшими числовыми характеристиками являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина X принимает n возможных значений. Тогда её математическое ожидание M(X) равно

(9)

Если дискретная случайная величина X принимает счетное множество значений, то

, (10)

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства (10) сходится абсолютно.

Можно показать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Для непрерывной случайной величины с плотностью f(x) математическое ожидание выражается уже не суммой, а интегралом.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется интеграл

, (11)

где f(x)- плотность распределения величины Х.

Отклонением случайной величины X называется разность между случайной величиной и её математическим ожиданием: Х - М (Х).

Дисперсия случайной величины – это характеристика рассеивания значений случайной величины около её математического ожидания, определяемая по формуле

, (12)

то есть дисперсия равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Для непрерывной случайной величины имеем:

. (13)

Дисперсию часто вычисляют по формуле

(14)

- дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом её математического ожидания.

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины, в то время как математическое ожидание имеет размерность самой случайной величины. Для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученную величину называют среднеквадратическим отклонением случайной величины:

(15)

Основные распределения дискретных случайных величин

Распределение Бернулли

Производится один опыт (или наблюдение), в котором может произойти или не произойти событие А. Вероятность того, что событие А произойдет, равна числу p. Один такой опыт, в котором возможны лишь два исхода («успех» и «неудача»), называют испытанием Бернулли.

Пусть случайная величина X характеризует появление события А в данном опыте, то есть

Тогда p{X = 1} = p(A) = p; p{X = 0} = p() = 1 – p = q. Говорят, что случайная величина X распределена по Бернулли. Функция распределения такой величины имеет вид

(16)

Такая величина может возникнуть, например, при бросании монеты (событие А – выпадение орла, р(А) = 0,5, р() = 0,5), при бросании игральной кости (событие А - выпадение пяти очков, р(А) = 1/6, р() = 5/6).

Запишем ряд распределения и найдём числовые характеристики распределения Бернулли:

 

X    
p p 1-p

 

 

X 2 12 02
p p 1-p

 

.

Тогда .

(17)

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...