 |
Введём ряд определений. Одна из причин применения теории множеств в теории вероятностей заключается в том, что для множеств определены важные преобразования, которые имеют простое геометрическое представление и облегчают понимание смысла этих преобразован
|
|
|
|
Введём ряд определений.
Совместные (несовместные) события – такие события, появление одного из которых не исключает (исключает) возможности появления другого.
Зависимые (независимые) события – такие события, появление одного из которых влияет (не влияет) на появление другого события.
Противоположное событие относительно некоторого выбранного события А – событие, состоящее в не появлении этого выбранного события
(обозначается А ).
Полная группа событий – такая совокупность событий, при которой в результате опыта должно произойти хотя бы одно из событий этой совокупности. Очевидно, что события А и 
составляют полную группу событий.
Одна из причин применения теории множеств в теории вероятностей заключается в том, что для множеств определены важные преобразования, которые имеют простое геометрическое представление и облегчают понимание смысла этих преобразований. 5. 2. Аксиомы теории вероятностей
Сопоставим каждому событию А число, называемое, как и прежде, его вероятностью и обозначаемое P(A) или P{A}. Вероятность выбирают так, чтобы она удовлетворяла следующим условиям или аксиомам:
P( ) = 1; P( ) = 0. (1)
P( ) P(A) P( ). (2)
Если Ai и Aj несовместные события, т. е. Ai 
Aj = ( - Аi несовместно с Аj ), то пишем
P(Ai Aj) = P(Ai) + P(Aj) ( - не зависит) (3)
Приведенные аксиомы постулируются, и попытка доказать их лишена смысла. Единственным критерием справедливости является степень, с которой теория, построенная на их основе, отражает реальный мир.
Аксиому (3) можно обобщить на любое конечное число несовместных событий { Аi }n , i=1:
|
|
|
(4)
С помощью аксиом можно вычислить вероятности любых событий (подмножеств пространства 
), используя вероятности элементарных событий. Вопрос о том, как определить вероятности элементарных событий, является риторическим. На практике они определяются либо из соображений, связанных с возможными исходами опыта (например, в случае бросания монеты естественно считать вероятности выпадения орла или решки одинаковыми), или на основе опытных данных (частот).
Последний подход широко распространен в прикладных инженерных задачах, поскольку позволяет косвенно соотнести результаты анализа с физической реальностью.
Предположим, что в опыте пространство можно представить в виде полной группы несовместных и равновозможных событий А1, А2, …, Аn. Согласно (3) их сумма представляет достоверное событие:
= 
., (5)
так как события А1, А2, …, Аn несовместны, то согласно аксиомам (1) и
(3):
= P( 
) = 1. (6)
Поскольку события А1, А2, …, Аn равновозможны, то вероятность каждого из них одинакова и равна
Отсюда непосредственно получается частотное определение вероятности любого события A:
(7)
как отношение числа случаев (mA), благоприятных появлению события
А, к общему числу случаев (возможному числу исходов опыта) n.
Совершенно очевидно, что частотная оценка вероятности есть не что иное как следствие аксиомы сложения вероятностей. Представив, что число n неограниченно возрастает, можно наблюдать явление, называемое статистическим упорядочением, когда частота события А все меньше изменяется и приближается к какому-то постоянному значению, которое и представляет вероятность события А.
5. 3. Основные правила теории вероятностей
Вероятности сложных событий можно вычислять с помощью вероятностей более простых, пользуясь основными правилами (теоремами):
|
|
|
сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей.
Если А1, А2, …, Аn - несовместные события и А – сумма этих событий, то вероятность события А равна сумме вероятностей событий А1, А2, …, Аn:
(8)
Эта теорема непосредственно следует из аксиомы сложения вероятностей (3).
В частности, поскольку два противоположных события А и несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей
P(A) + P( 
) = 1 (9)
|
|
|
