 |
Обработка данных наблюдений с помощью
|
|
|
|
Метода наименьших квадратов
Пусть в результате наблюдений получена таблица значений параметра 
при изменении другого параметра 
в заданных пределах. Требуется установить зависимость 
. Для этого наносят на плоскость Y0X точки, координаты которых соответствуют значениям данных наблюдений, и проводят кривую, как можно ближе расположенную ко всем точкам. По внешнему виду этой кривой записывают ее аналитическое выражение в общем виде, т.е. в виде функции 
.
Вматематикезамена истинной зависимости 
некоторой приближенной , при которой отклонение от на рассматриваемом отрезке было бы возможно малым, называется аппроксимацией. Функция называется аппроксимирующей функцией. Следовательно, задача сводится к установлению аппроксимирующей функции . Для аппроксимации абсолютных частот (пример 4.4) принимаем функцию вида:
(4.1)
Возникает задача определения коэффициентов 
наилучшим образом, т.е. установления таких значений этих параметров, при которых построенная по формуле (4.1) кривая имела бы минимальные отклонения от всех точек наблюдений.
Существует много методов определения параметров аппроксимирующей функции, но чаще всего используют метод наименьших квадратов. Рассмотрим суть этого метода.
Запишем разность между значениями аппроксимирующей функции 
и таблично заданной функцией 
для каждого таблично заданного 
:
(4.2)
Эта разность называется отклонением аппроксимирующей функции от соответствующего табличного значения. В методе наименьших квадратов сводят к минимуму сумму квадратов отклонений, т.е.
(4.3)
где n - количество данных наблюдений.
Условие минимума суммы самих отклонений, а не их квадратов, не решает проблемы, так как сумма отклонений 
может быть очень малой и тогда, когда отдельные отклонения очень велики, но имеют разные знаки и взаимно компенсируют друг друга.
|
|
|
Так как 
и 
известны, то сумма (4.3) есть функция параметров 
Обозначим ее через 
Эта сумма всегда положительна и имеет минимум. Для рассматриваемого случая сумма имеет вид:
(4.4)
Выражение (4.4) представляет собой математическую запись метода наименьших квадратов.
Для оценки согласованности полученной функции с данными наблюдений используют среднеквадратичную ошибку
(4.5)
Если 
, то аппроксимирующая функция согласуется с данными наблюдений. Здесь 
- допустимая погрешность аппроксимации.
Следовательно, задача аппроксимации относится к оптимизационным задачам: в качестве целевой функции выступает сумма квадратов отклонений; ограничений и граничных условий для определяемых параметров нет, так как 
могут принимать любые значения. Для ее решения целесообразно использовать надстройку «Поиск решения» приложения Excel.
Размещение информации приведено в таблице 4.9.
Расчетные формулы:
С4 - =$a$2*EXP(-$b$2*a4);
D2 - =СУММКВРАЗН(c4:c10;b4:b10);
D4 - =b4-c4; E4 - =d4^2; E11 - =CУММ(e4:e10);
E12 - =КОРЕНЬ(e11/175), где 175 – объем выборки.
Следовательно, аппроксимирующая функция имеет вид:
(4.6)
Среднеквадратичная погрешность 
значительно меньше значений абсолютных частот статистического ряда, т.е. можно считать, что аппроксимирующая функция подобрана удачно.
Таблица 4.9. Размещение информации на рабочем листе ЭТ
Технология подбора теоретической кривой
Путем построения линии тренда
1. Построить точечную диаграмму по данным статистического ряда, размещенного в диапазоне ячеек А3:В10 таблицы 4.9, в виде функции 
с помощью мастера диаграмм.
2. Щелкнуть мышью на любой точке диаграммы. Все точки выделятся квадратиками (рис.4.9).
Рис.4.9. Точечная диаграмма
3. Войти в меню Диаграмма и выбрать операцию Добавить линию тренда.
|
|
|
4. Откроется диалоговое окно Линии тренда (рис.4.10). Из предлагаемых видов аппроксимирующих функций выбрать Экспоненциальная.
5. Для получения на графике аналитического выражения аппроксимирующей функции необходимо в этом же окне (рис.4.10) щелкнуть на вкладке Параметры и в открывшемся окне (рис.4.11) установить флажки в поле Показывать уравнение на диаграмме и Показывать на диаграмме величину достоверности аппроксимации. Щелкнуть на кнопке ОК.
Рис. 4.10. Диалоговое окно Линии тренда
Рис.4.11. Диалоговое окно Параметры/Линия тренда
В итоге на графике (рис.4.12) появится уравнение аппроксимирующей функции, получаемое по методу наименьших квадратов, и значение достоверности аппроксимации 
. Чем ближе это значение к единице, тем точнее аппроксимация.
Рис.4.12. Линия тренда
Сравнивая уравнение линии тренда на диаграмме с уравнением (4.6) отмечаем, что аппроксимирующая функция может быть не единственной. Поэтому для решения задач оптимизации определяют среднее значение параметра 
показательного закона распределения. Для рассматриваемого примера 
, 
и 
Следовательно, 
|
|
|
