 |
Квантование сигналов по уровню
|
|
|
|
Поскольку математической моделью непрерывного сигнала является случайный процесс U(t), мгновенное значение сигнала 
представляет собой случайную величину. Диапазон ее изменения, называемый непрерывной шкалой мгновенных значений сигнала, ограничен значениями 
и 
, что отражает условие физической реализуемости сигнала. Непрерывную шкалу мгновенных значений 
сигнала разбивают на п интервалов, называемых шагами квантования. Границами шагов квантования являются значения 
. Из множества мгновенных значений, принадлежащих i -му шагу квантования 
только одно значение 
является разрешенным (i -й уровень квантования). Любое другое из указанного множества значений округляется до .Совокупность величин 
образует дискретную шкалу уровней квантования. Если эта шкала равномерна, т. е. разность значений 
постоянна на всем протяжении непрерывной шкалы мгновенных значений сигнала и, квантование называют равномерным. Если постоянство значений 
не выдерживается — квантование неравномерное. Благодаря простоте технической реализации равномерное квантование получило наиболее широкое распространение.
В результате замены мгновенного значения сигнала U соответствующим уровнем 
квантования возникает погрешность 
, которую называют ошибкой квантования. Эта погрешность является случайной величиной. Нас чаще всего интересует ее максимальное значение 
и среднеквадратическое отклонение а для всего диапазона изменения мгновенных значений сигнала. Используются также приведенные значения этих величин
Рис.4.6. Равномерное
квантование
, 
С позиций минимизации наибольшей возможной ошибки квантования непрерывную шкалу мгновенных значений сигнала целесообразно разбить на п одинаковых шагов квантования 
и уровни квантования разместить в середине каждого шага (рис. 4.6). При этом максимальная ошибка квантования не превышает 
. Если каждый уровень квантования выбран равным нижней (верхней) границе шага квантования, максимальная ошибка квантования возрастает до величины 
.
|
|
|
Среднеквадратическое отклонение ошибки квантования для i -гo шага 
зависит не только от шага 
и расположения в нем i -го уровня квантования, но и от закона распределения мгновенных значений сигнала в пределах этого шага:
, (4.36)
где 
— функция плотности вероятности мгновенных значений сигнала U.
Считая шаги квантования малыми по сравнению с диапазоном изменения сигнала, плотность в пределах каждого i -гo шага можно принять постоянной и равной некоторому среднему значению, например 
. При таких предположениях минимальная среднеквадратическая ошибка достигается при расположении уровня квантования в середине шага:
. (4.37)
Преобразовав подкоренное выражение к виду
(4.38)
отмечаем, что дисперсия ошибки квантования на i- мшаге равна 
равномерно распределенного на этом шаге сигнала, умноженной на вероятность 
попадания мгновенного значения сигнала в пределы данного шага. Дисперсия полной ошибки квантования 
для всей непрерывной шкалы мгновенных значений сигнала определяется как математическое ожидание дисперсий на отдельных шагах квантования:
. (4.39)
При одинаковых шагах квантования (
)
. (4.40)
Так как принимаем 
, то
. (4.41)
Таким образом, при квантовании с постоянным шагом и размещении уровней квантования в середине шага (равномерное квантование) среднеквадратическая ошибка квантования как для равномерного, так и для произвольного распределения мгновенных значений сигнала одинакова:
. (4.42)
Шум квантования. При квантовании сигнала по уровню случайный процесс заменяется ступенчатой зависимостью 
.Изменяющуюся во времени ошибку квантования 
, также представляющую собой случайный процесс, называют шумом квантования:
|
|
|
. (4.43)
Рис.4.7. Определение
ошибки квантования
Сохраняя ранее введенные предположения (о малости шага квантования и равномерности распределения в нем мгновенных значений сигнала) и считая случайные процессы U(t) и эргодическими, среднеквадратическую ошибку равномерного квантования 
можно определить по реализации 
(рис. 4.7). В пределах каждого шага квантования зависимость заменяется прямой 
, где 
— переменный угол наклона прямой. При размещении уровней квантования в середине каждого шага математическое ожидание ошибки квантования равно
нулю, а ее среднеквадратическое значение определяется выражением
. (4.44)
Так как 
,то ,что соответствует ранее полученному значению [см. (4.42)].
При заданной допустимой среднеквадратической ошибке квантования и отсутствии помех число уровней квантования находим из соотношения
. (4.45)
Однако при неравномерном законе распределения мгновенных значений сигнала квантование с постоянным шагом не является оптимальным по критерию минимума среднеквадратической ошибки . Квантуя участки с менее вероятными значениями сигнала с большим шагом, указанное значение среднеквадратической ошибки можно уменьшить.
Контрольные вопросы
1. В чем сущность процессов дискретизации и квантования?
2. Охарактеризуйте преимущества дискретной и цифровой передач информации.
3. Сформулируйте общую постановку задачи дискретизации.
4. Каковы основные методы получения координат сигнала?
5. Сравните интерполяционные и экстраполяционные способы востановления сигнала.
6. Что поднимает под среднеквадратическим критерием восстановления сигнала?
7. Сформулируйте теорему Котельникова.
8. Перечислите основные свойства функции отсчетов.
9. В чем трудности технической реализации способа передачи непрерывных сигналов, основанного на теореме Котельникова?
10. Укажите преимущества и недостатки адаптивной дискретизации.
11. Поясните принцип дискретизации по Железнову.
12. Как определяется шаг квантования по уровню?
13. Как определяется шаг квантования по уровню?
|
|
|
14. Что такое шум квантования?
15. Как рассчитать шаг квантования сигнала при наличии помехи?
|
|
|
