Графическое решение векторных уравнений
Рассмотренные выше векторные уравнения могут быть решены аналитически или графически. В инженерных расчетах более наглядными и простыми являются графические решения векторных уравнений. Графическое решение векторных уравнений сводится к построению планов скоростей точек механизма, определению их модулей и расчету угловых скоростей звеньев. Планы скоростей шатуна шарнирного четырехзвенника
Рассмотрим уравнение
Если известна скорость vB полюса В и направление относительной скорости νсв (рис. 6), то для определения скорости vc нужно знать ее направление. Это и будет линия действия скорости νсв. Вектор скорости vc будет замыкающим двух векторов νв и νсв, поэтому он должен выходить из полюса V. Проводим из полюса V линию Vc || (у - у) до пересечения с линией bc в точке с. В результате получим векторный треугольник Vbc, который соответствует векторному уравнению. Стрелку скорости vB ставим к точке b. Стрелку скорости νсв направляем к точке c, т.к. происходит сложение векторов νв и νсв. Стрелку скорости vC направляем к точке С, т.к. вектор vc является замыкающим, т.е. геометрической суммой векторов νв и νсв. Длина каждого вектора в миллиметрах на плане скоростей выражает его модуль. Определим числовые значения скоростей
v CB = μV · bc
Если вектор νсв перенести в точку С, то шатун 3 будет вращаться против часовой стрелки относительно полюса В. Направляем стрелку вектора ω 3 влево (рис. 9) Числовое значение угловых скоростей(рад/с.) определяем по формуле
ω 3 = vcb / l3
ω4 = vC / l4
Для определения скорости точки Е шатуна 3, лежащей в его средине, нужно вектор ее на плане скоростей разделить тоже пополам и его середину е соединить с полюсом. Вектор Ve = vE, а его числовое значение
vE = μV ·Ve
Рисунок 9
Рассмотрим графическое решение векторного уравнения. На рис. 9 изображено звено 3 (ВС), а тонкими линиями звенья 2 (АВ) и 4 (CD). Точку В выбираем в качестве полюса, т.к. о ней мы имеем полную информацию: задана угловая скорость звена 2 -ω2 и радиус кривошипа АВ, равный r2. По формуле определяем скорость νсв. Проводим из точки В вектор скорости νв АВ. Через точку С проводим пунктирную линию (х - x) BC, соответствующую направлению скорости νсв, и (у - y) CD, соответствующую направлению скорости vC. План скоростей – это векторный многоугольник скоростей. Вначале анализируется исходное уравнение:
У вектора νв известны модуль и направление (подчёркнут двумя чертами), у вектора νсв известно только направление (подчёркнут одной чертой). У вектора vc известно тоже только направление. Построение плана скоростей начнем с выбора длины вектора скорости νв и масштабного коэффициента скорости μV. Если νв=3,3 м/с, а длина вектора νв = 70 мм, то
μV= v B (м/с) / vB (мм) = 3,3 / 70 = 0,047 0,05 (м/с)/мм.
Так как масштабный коэффициент округлили, то необходимо уточнить длину отрезка вектора скорости. На плане скоростей (рис.9) выбираем произвольно положение полюса V и из него перпендикулярно АВ откладываем вектор vB Получаем точку в в конце вектора. Согласно векторному уравнению к вектору vB пристраиваем вектор vCB, о котором знаем только направление. Для этого через точку в проводим линию вс || (х - х) в обе стороны от точки в. Вектор скорости будет замыкающим этих двух векторов и выходить из полюса. Из полюса перпендикулярно СД проводим линию до пересечения ее с линией вс в точке с. В результате получим векторный треугольник. Длина каждого вектора в миллиметрах на плане скоростей выражает его модуль. Числовые значения скоростей
vcb= μV •вс
vc= μV •Vс
Для определения направления угловой скорости звена 3 необходимо перенести вектор vcb в точку С. Его направление и покажет направление угловой скорости звена. Числовые значения угловых скоростей определяются по формулам:
ω 3 = vcb / l3
ω4 = vC / l4
Для определения скорости точки Е, лежащей в середине шатуна, нужно в соответствии с теоремой подобия вектор ВС на плане скоростей также разделить пополам и его середину е соединить с полюсом. Теорема подобия для планов скоростей звеньев: Отрезки прямых линий, соединяющие точки одного и того же звена на планах механизма, и отрезки прямых линий, соединяющих концы векторов скоростей этих точек на планах скоростей, образуют подобные и сходственно расположенные фигуры.
Планы скоростей кулисного камня
Рассмотрим уравнение:
Полюсом является точка В (рис. 7и 10),принадлежащая камню 3. Требуется определить скорость точки В4. Известны угловая скорость кривошипа 2 и все геометрические размеры механизма. Скорость точки В определяется по формуле
. Направлен вектор скорости перпендикулярно к АВ в сторону вращения кривошипа 2. Модуль относительной скорости неизвестен, а направлена она вдоль направляющей кулисы х – х Модуль искомой скорости также неизвестен, а направлена она перпендикулярно к оси кулисы х-х вдоль у -у. Таким образом, в векторном уравнении неизвестны два модуля и . Векторное уравнение с двумя неизвестными решается графически.
(у -у) ║ ║ (х - х).
Две черточки обозначают, что известен модуль и направление вектора. Одна черточка- известно только направление вектора х-х или у - у. Построение плана скоростей начнем с выбора масштабного коэффициента и длины вектора .
= (м/с) / (мм) (м/с) / мм.
Длина отрезка на чертеже обычно берется в пределах 50….70 мм. После уточнения длины вектора скорости
Vв = /
выбираем положение полюса V, из него откладываем вектор перпендикулярно АВ. Получаем точку В в конце вектора. Согласно векторному уравнению к вектору пристраиваем линию действия вектора . Вектор есть замыкающий векторов и , поэтому из полюса V проводим линию действия вектора параллельную (у- y) до пересечения с х - х в точке В4. В результате получаем векторный треугольник Vвв4, который соответствует векторному уравнению Стрелки скоростей и направляем к точке в4.
Рисунок 10
Построение плана скоростей начнем с выбора длины вектора скорости vB и масштабного коэффициента скорости μV. Если νв=4,8 м/с, а длина вектора v B = 70 мм, то
μV= v B (м/с) / vB (мм) = 4,8 / 70 = 0,0686 0,07 (м/с)/мм.
Окончательно после округления масштабного коэффициента длина вектора скорости
Vв =vB /μV = 68,5 мм.
Рисунок 11
На плане скоростей (рис.11) выбираем положение полюса V, из него откладываем вектор , направленный перпендикулярно АВ. Согласно векторному уравнению к вектору пристраиваем линию действия вектора . Вектор есть замыкающий векторов и , поэтому из полюса V проводим линию действия вектора (y - y) до пересечения с х - х в точке в4. В результате получаем векторный треугольник Vвв4, который соответствует векторному уравнению Стрелки скоростей и направляем к точке в4. Длина каждого вектора на плане скоростей (мм) выражает его модуль. Предположим, что отрезки вв4 и Vв4, снятые с планов скоростей составляют 55 и 38 мм. Определим числовые значения скоростей:
м/с;
м /с.
Если вектор перенести в точку (рис. 10), то он покажет, что кулиса 4 вращается по часовой стрелке, а числовое значение угловой скорости, рад/с
;
,
где ,м; , м.
Планы скоростей камня синусного механизма
Синусный механизм отличается от кулисного тем, что кулиса 4 совершает поступательное движение (рис.7, б). Векторное уравнение скорости соответствует уравнению
, где ║ (у - у) - абсолютная скорость точки В4 (т.е. кулисы), которая равна по величине и направлению скорости ползуна 4 (рис.7,б); ║ (х -х) - относительная скорость, как и в кулисном механизме.
Рисунок 12 Известны величина и направление вектора , а также направление векторов и . В результате анализа получаем векторное уравнение с двумя неизвестными
(у - у) ║ ║(х-х).
Построение плана скоростей аналогично кулисному механизму (рис.13), но в плане скоростей направление (х - х) всегда вертикально, а направление (у - у) везде горизонтально (рис.13). Определим числовые значения скоростей:
.
.
В синусном механизме вращается только кривошип 2, а кулиса, ползун 4 и кулисный камень 3 движутся поступательно.
Рисунок 13
Планы скоростей кривошипно-ползунного механизма Рассмотрим уравнение:
,
где ║ (х - х) - скорость абсолютная точки С (т.е. ползуна 4, см. рис. 13); ВС - относительная скорость как в шарнирном четырехзвенном механизме (см. рис.9). Таким образом, в векторном уравнении (рис 12) два неизвестных модуля и .Такое уравнение решается графически
(х - х)║ = + ВС.
Выбираем на плане скоростей полюс V и откладываем вектор . Из точки в, плана скоростей проводим линию действия относительной скорости СВ. Из полюса V проводим линию действия вектора ║(х -х) до пересечения в точке с. Полученный векторный треугольник соответствует векторному уравнению.
Рисунок 14
Числовые значения скоростей определим по формуле
, м/с; , м/с.
Определить числовые значения угловых скоростей:
, рад/с; , рад/с. 4 Варианты схем механизмов
Варианты схем механизмов приведены в Приложении А. Эти варианты общие для данной лабораторной работы и лабораторной работы «Построение планов положений механизмов»
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|