 |
Алгорим метода решения.
|
|
|
|
Лабораторная работа
Задачи управления запасами.
Управление запасами при случайном спросе.
1.Цель работы:приобретение практических навыков по обоснованию и применению теоретических положений задачи управления запасами по ёё формализации и решения с применением ЭВМ.
2.Общие положения.
Постановка задачи и основные особенности.
Задачи управления запасами в общем случае формулируются следующим образом. Имеется потребность в создаании и обеспечении некоторых запасов для обеспечения работоспособности механизмов, предприятий и т. д. Затраты на их доставку, хранение, сортировку и т.д. являются функцией (линейной или нелинейной) их величины. Требуется определить оптимальный размер поставки, частоту и сроки поступления, оптимальное количество их для хранения, чтобы суммарные издержки, включая и потери от недовыпуска продукции, были минимальными.
В данной работе рассматривается одна из известных задач управления запасами при случайном спросе.
Для предприятия целесообразно иметь запасные части в виде валов одинаковой конструкции и типоразмера и оптимального количества N* при потребности замены n - валов.
Известно, что вероятность поломки количества валов n, работающих в различных станках и механизмах, равна P(n i).
 |
Вероятность одновременной поломки n валов равна P(n) и при этом:
(2.1)
Затраты на приобретение одного вала С1, убытки в случае поломки и отсутствия запасного вала равны С2.
Требуется определить оптимальное количество запасных валов N* - такое, чтобы суммарные затраты приобретения и средние затраты (убытки) из-за нехватки запасных валов при поломке были минимальны.
|
|
|
В данной задаче возможны два случая:
· n £ N - запас перекрывает спрос на запасные валы;
· n > N - имеется недостаток запасных валов.
Дополнительные затраты возникают, когда приобретается валов больше, чем это необходимо (N - n) > 0, или, когда предприятие терпит убытки из-за недостатка запасных валов (n - N) > 0. Хранение этих валов не предусмотрено и затраты на это не учитываются.
Построение математической модели и критерий оптимизации.
Исходя из условия задачи суммарные затраты на приобретение n - количества валов, при вероятности их поломки P(n), и затраты из-за нехватки запчастей при поломки валов (убытки) составляют:
Y(N*) = C1 
+C2 
(2.2)
Согласно постановке задачи требуется оптимизировать:
Y(N*) ® min (2.3)
Оптимальное количество валов N будет соответствовать значению целевой функции Ymin между затратами:
Y(N - 1) > Ymin(N*) < Y(N+1) (2.4)
Алгорим метода решения.
2.3.1.Для случая дискретных значений P(n) определим значение затрат для (N+1):
Y(N+1) = C1 
C2 
изменив пределы суммирования и преобразовав, получим:
Y(N+1)=C1 
C1 
+C2 
C2 
(2.5)
Первое и третье слогаемые образуют значение Y(N) вида (2.2).
На основании условия (2.1) можно записать:
(2.6)
В результате выражение (2.5) будет:
Y(N+1) = Y(N) + (C1+C2) 
C2 (2.7)
Аналогично получим для:
Y(N-1) = Y(N) – C1+C2 
C2 (2.8)
Условие (2.4) представим в виде:
Y(N-1) > Ymin(N*)
Y(N+1) > Ymin(N*) (2.9)
Подставим в (2.9) значения из (2.7) и (2.8) и получим:
(C1+C2) 
C2 > 0
- (C1+C2) 
C2 > 0
последнее выражение преобразуем:
(C1+C2) C2 > 0
(C1+C2) C2 < 0 (2.10)
а затем (2.10) представим в виде:
> 
(2.11)
<
Анализируя (2.11) можно получить такое N*, для которого будут выполняться эти неравенства, т.е.:
< < 
(2.13)
2.3.2.Для случая представления распределения вероятностей в виде плотности распределения вероятностей f(n) - непрерывной величины, математическая модель (2.2)будет иметь вид:
|
|
|
(2.13)
Для определение оптимального значения N* - количества валов запаса, возьмём производную выражения (2.13):
(2.14)
Аналогично с (2.1) записывают равенство:
(2.15)
а анологично с (2.6) запишем:
(2.16)
В результате, с учётом приведенных (2.15) и (2.16), выражение (2.14) будет:
(2.17)
Приравняв его нулю определим N*:
(2.18)
(2.19)
т.е. зная функцию распределения f(n) определяют значения левой части выражения (2.19), а затем и собственно N* с учётом правой части.
2.3.3.Закон распределения вероятностей случайной величины f(n), которым можно аппроксимировать заданный ряд распределения вероятностей P(n) поломки валов выбирают следующим образом.
По данным P(n) строят гистограмму, где по оси абсцис откладывают анализируемые значения количества валов (n = 1,2,3,…,n), а по оси ординат откладывают значение вероятностей их поломки, при этом середины горизонтальных участков гистограммы соответствует значениям n. Пример построения гистограммы приведен на рис. 2.1.
предполагаемое
теоретическое
распределение
По виду гистограммы, например рис.2.1, подбирают наиболее близкий закон распределения из известных законов:
¨ показательное распределение:
(2.20)
где параметр 
¨ расспределение Пуассона:
(2.21)
где параметр 
¨ равновероятное распределение:
(2.22)
где 
, 
- начальное и конечноезначение n;
(2.23)
¨ нормальное распределение:
(2.24)
- среднее и средне - квадратическое отклонение статистической выборки значений.
Количественную оценку сходимости статистического (заданного, по виду гистограммы) и теоретического распределений выполняют по известным критериям согласия: Колмогорова, Пирсона и т. д. Например, наиболее часто употребимый критерий Пирсона - 
. Его применения основано на подсчёте сумм квадратов разностей Pj - теоретической вероятностью поподания случайной величины в заданный интервал и Pj* - анологичной статистической (эксперементальной) вероятностью:
(2.24)
Чем меньше сумма разности, найденная по формуле (2.24), тем более обоснованым является применение принятого закона распределения. Согласно метода Романовского для обоснованности применения используют условие:
|
|
|
(2.25)
k - число разрядов статистического ряда (гистограммы).
S - число наложенных связей, в качестве которых могут быть:
1) 
2) 
3) 
Первое условие учитывается всегда. Второе и третье условие требует равенства теоретических величин и аналогичных статистических значений 
, 
. Могут накладываться и другие ограничения.
|
|
|
