 |
Выражения в математике. Равенства.
|
|
|
|
Числа в математике.
Математическое понятие число возникло в связи с потребностями счета и измерения. Что значит подсчитать? Первоначально для человека это означило определить количество каких-либо предметов материального мира, которые окружали и интересовали его. Поэтому первым методом счета был счет «на пальцах». При таком методе счета в качестве счетного предмета используется счетная палочка (при обучении детей счету используется до сих пор). Организованная таким способом система счета называется унарной. Количество палочек соответствовало самому числу. Однако, чем больше было предметов, подлежащих пересчету, тем больше палочек для этого пересчета требовалось. Процесс счета становится слишком громоздким.
С ростом потребностей в счете росли и определяемые количества. Задачи счета усложнялись. Стали возникать проблемы с фиксацией полученного результата. Получаемые числа надо было записывать и называть.
Решение этой задачи привело к появлению системысчисления. Любая система счисления основана на наборе знаков (цифр) для записи чисел и правилах, по которым эта запись производится.
Набор знаков и правила, строго говоря, может быть любыми, но в настоящее время общепринятой является десятичная система счисления.
В ней для записи используется цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Возьмем для примера число 515,35. Для любого человека знакомого с правилами составления чисел не составит труда «прочитать» эту запись: пятьсот пятнадцать целых тридцать пять сотых.
Цифровая запись рассматриваемого числа представляет собой сокращенную запись, но ее можно «развернуть»:
515,35 = 5· 10 2+ 1· 10 1+ 5 ·10 0+ 3 ·10 -1+ 5· 10 -2
Приведенная выше запись помогает понять, каким образом читается записанное число.
|
|
|
Каждое число имеет значение и формупредставления.
Значение числа задает его отношение к значениям других чисел (больше, меньше, равно) и, следовательно, порядок его расположения в ряду чисел. Проще говоря, значение – количество, которое соответствует записанному числу.
Форма представления определяет порядок записи чисел с помощью предназначенных для этого знаков.
При этом значение числа является инвариантом, т.е. не зависит от способа представления. Это означает, что число с одним и тем же значением может быть записано по-разному, т.е. между представлением числа и его значением отсутствует взаимно однозначное соответствие.
Например, 21 и XXI – две совершенно не похожие по форме записи абсолютно идентичны с точки зрения представляемого значения. Однако умения записывать и читать числа еще не достаточно для организации вычислений.
Выражения в математике. Равенства.
Чтобы определить количество студентов первого курса не обязательно считать фамилии в общем списке. Чаще всего такого общего списка просто не существует. Зато всегда известно: сколько студентов в каждой группе. Поэтому можно просто записать: 25+26+26+23+22.
В этой записи входящие в нее числа определяют количество студентов в отдельных группах и они объединены знаком соложения «+». Такие записи принято называть выражениями. В приведенном примере мы имеем дело с числовым выражением.
Если выполнить все действия, предусмотренные выражением, то получится число (в данном случае 122), которое принято называть числовымзначением выражения.
Наряду с числовыми выражениями встречаются выражения с переменными (другое название – алгебраические выражения). В алгебраические выражения кроме чисел и знаков операций (действий) включаются алгебраические величины, для записи которых используются буквы латинского алфавита.
|
|
|
Например, известное любому школьнику средней школы выражение, называемое дискриминантом, выглядит так: 
Если в выражения с алгебраическими величинами подставить конкретные числа (текущие значения), то получится числовое выражение.
Выполнив все действия, предусмотренные выражением 
, получим число (в данном случае 1), т.е. числовоезначение алгебраического выражения при определенных значенияхпеременных.
Схожим с термином алгебраическое выражение является термин формула, заимствованный от латинского formula (уменьшительное от forma – образ, вид), хотя это понятие наделено более глубоким смыслом, чем просто термин алгебраическое выражение.
В случае с формулами значение выражения всегда имеет свой смысл (оно не абстрактно). Поэтому формулы принято записывать не так как обычное алгебраическое выражение. Для числового значения формулы заранее вводится переменная, значение которой не может быть взято произвольно. Его надо определить по формуле:
Поэтому, завершив вычисления, мы запишем 
, чтогораздо понятнее, чем просто записанное число 1.
В приведенных выше записях мы имеем дело с равенством.
Равенством принято называть два выражения, соединенные знаком «
». Равенства могут быть верными (
) или неверными (
).
В ходе решения конкретных задач одни алгебраические величины, входящие в выражение (формулу), не изменяют своего первоначального значения. Такие величины принято называть постоянными. Другие величины меняют свое значение. Это – переменные величины.
Равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных, называется тождеством (
).
Определить значение выражения удается не всегда. Достаточно часто возникают ситуации, когда для некоторых значений переменных выполнение предусмотренных в выражении действий не представляется возможным.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл (другими словами выполнимы все указанные в выражении действия), называют допустимыми значениями переменных.
Выражения, в состав которого входят числа и величины, объединенные только знаками арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление), принято называть рациональными. Различают целые и дробные рациональные выражения.
|
|
|
Выражение называется иррациональным, если оно содержит переменные под знаком корня или переменные в дробной степени.
|
|
|
