Перевод из десятичной системы в другие системы счисления

Решение задач по теме «Системы счисления»

 

Теоретический материал

 

Системы счисления

Системой счисления называется совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью конечного набора символов, называемых цифрами.

Системы счисления бывают непозиционные и позиционные.

Система счисления называется непозиционной, если значение цифры в записи числа не зависит от позиции, которую она занимает в последовательности цифр, изображающей число. Примеры непозиционных систем счисления: римская, древнегреческая и др.

Система счисления называется позиционной, если значение цифры в записи числа зависит от позиции, которую она занимает в последовательности цифр, изображающей число. Примеры позиционных систем счисления: десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и др.

 

 

В позиционных системах счисления основание системы счисления – это количество цифр, используемых в записи числа. В таблице собраны примеры нескольких систем счисления с указанием их основания и алфавита.

Название системы	Основание	Используемые цифры
Десятичная		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Двоичная		0,1
Восьмеричная		0,1,2,3,4,5,6,7
Шестнадцатеричная		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

В следующей таблице приведены первые 17 числе нескольких систем счисления:

Основание

«10»

«2»

…

«8»

«16»

A

B

C

D

E

F

Обратите внимание, что при последовательном счете, начиная с нуля, в любой системе обязательно наступает момент, когда число становится двузначным и обозначается как «10». Появление двух знаков в изображении числа означает, что кончились знаки алфавита данной системы счисления и приходится использовать комбинацию из двух цифр.

Развернутая форма записи чисел

В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в виде: A_q = ±(a_n-1q^n-1+a_n-2q^n-2 + … + a₁q¹ + a₀q⁰ + a_-1q^-1 + a_-2q^-2 + … + a_-mq^-m) – развернутая форма числа.

Здесь:

А – само число,

q – основание системы счисления,

ai – цифры данной системы счисления (a_n-2; a_n-1 и др.),

n – число разрядов целой части числа,

m - число разрядов дробной части числа.

Пример 1. Записать в развернутом виде число А₁₀ = 5124,23

5124,23₁₀ = 5*10³ + 1*10² + 2*10¹ + 4*10⁰ + 2*10^-1 + 3*10^-2

 

Пример 2. Записать в развернутом виде число А₈ = 327,14

327,14₈ = 3*8² + 2*8¹ + 7*8⁰ + 1*8^-1 + 4*8^-2

 

Пример 3. Записать в развернутом виде число А₁₆ = 3D,2E

3D,2E ₁₆ = 3*16¹ + D*16⁰ + 2*16^-1 + E*16^-2 = 3*16¹ + 13*16⁰ + 2*16^-1 + 14*16^-2

 

Свернутой формой записи чисел называется запись в виде

A = a_n-1a_n-2…a₁a₀,a_-1a_-2…a_-m. именно такой формой записи чисел мы пользуемся в повседневной жизни.

Перевод из десятичной системы в другие системы счисления

Алгоритм перевода целых чисел из десятичной системы счисления в любую другую.

1. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, меньше делителя.

2. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления,, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

3. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.

Например, для перевода из десятичной системы в двоичную, делят на 2; для перевода в восьмеричную – на 8 и т.д.

Пример 4. 175₁₀ à x₂

 

 

Таким образом, 175₁₀ à10101111₂

 

Пример 5. 175₁₀ àх₈

Таким образом, 175₁₀ à257₈

 

Пример 6. 175₁₀ àх₁₆

 

 

Число 15 в шестнадцатеричной системе записывается как «F», а число 10 – как «А». Таким образом, 175₁₀ àAF₁₆

 

Дробную часть числа, если таковая имеется, переводят по другому алгоритму.

1. Последовательно умножить данное число и получаемые дробные части произведения на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа.

2. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

3. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример 7 0,625₁₀à x₂

0,	*2
	*2
	*2
	*2

Получаем: 0,625₁₀à 0,0001₂

Пример 8. 0,65625₁₀à x₈

0,	*8
	*8

Получаем: 0,65625₁₀à 0,52₈

 

Пример 9. 0,65625₁₀à x₁₆

0,	*16
(А)	*16

Получаем: 0,65625₁₀à 0,А8₁₆

 

Пример 10. 0,9₁₀à x₂

0,	*2
	*2
	*2
	*2
	*2
	*2

…..

Этот перевод можно продолжать бесконечно. В этом случае деление производим до тех пор, пока не получим нужную точность представления числа.

Получаем: 0,9₁₀à 0,111001₂ с точностью до семи значащих цифр после запятой.

 

Для перевода произвольных чисел, т.е. содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.

 

Пример 11. 2145,86₁₀à х₁₆. Дробную часть вычислять до пятого знака.

1) 2145₁₀à х₁₆

 

 

2145₁₀à 861₁₆

 

2) 0,86₁₀à х₁₆

0,	*16
(D)	*16
(C)	*16
	*16
(F)

Получаем: 0,86₁₀à 0,DC28F₂ с точностью до пяти значащих цифр после запятой.

 

12Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: