 |
Предельное состояние статически определимых
|
|
|
|
Лекция 23
«Расчет конструкций по методу предельного равновесия»
Основные положения
Расчет конструкций в упругой постановке задачи, как известно, проводится по методу допускаемых напряжений. Данный подход при расчете статически определимых и статически неопределимых систем не позволяет найти их истинный запас прочности, так как исчерпание несущей способности конструкции сопровождается появлением в ней пластических деформаций. Для выявления истинного запаса несущей способности конструкции необходимо проводить расчет с учетом упруго-пластических деформаций. Однако сложность аппарата теории пластичности не позволяет решать широкий круг очень важных инженерных задач. В этом отношении расчет конструкций по методу предельного равновесия, позволяет дополнить существующий пробел по данному вопросу. Поэтому, метод расчета конструкций по предельным состояниям, по сравнению с упругим расчетом, является важным этапом для оценки истинных запасов прочности конструкции. При этом следует отметить, что расчет конструкций по методу предельных состояний является приближенным в том контексте, что, в отличии от упруго-пластического расчета, не позволяет описать процесс перехода от упругого к предельному состоянию.
Если при проектировании инженерных сооружений необходимо знать процесс формирования напряженно-деформированного состояния вплоть до исчерпания несущей способности конструкций, метод предельного равновесия неприменим. Однако, в тех случаях, когда необходимо определить только несущую способность конструкции этот метод является очень эффективным и имеет важное практическое значение.
При расчете конструкций по допускаемым напряжениям в упругой постановке задачи, как известно, предельной нагрузкой считается та, при которой наибольшее напряжение s max, хотя бы в одной точке опасного сечения достигает величины 
. При этом вводится понятие о допускаемом напряжении, определяемом по формуле 
, где n - коэффициент запаса.
|
|
|
При расчете конструкций по методу предельного равновесия предполагается двухстадийный характер деформирования материала: в первой стадии материал подчиняется закону Гука, пока напряжения не достигнут предела текучести; а затем во второй стадии, предполагая, что в нем в определенной стадии нагружения в опасных сечениях беспредельно развиваются пластические деформации при постоянном напряжении. Диаграмма зависимости напряжения от деформации для идеально упруго-пластического материала имеет вид (см. рис.22.3, в).
Суть метода состоит в том, что конструкция рассматривается в момент, непосредственно предшествующий ее разрушению, когда еще выполняются условия равновесия для внутренних и внешних сил, достигающих предельных значений. Отсюда и произошло название метода предельного равновесия.
Реальные конструкции представляют собой в большинстве случаев многократно статически неопределимые системы, материал которых обладает свойством пластичности. Благодаря этому конструкции обладают дополнительными резервами несущей способности. После того, как в наиболее опасных сечениях напряжения достигают предела текучести, в отличие от статически определимых систем, статически неопределимые системы могут нести дополнительные нагрузки за счет перераспределения внутренних сил.
Для наглядности ниже рассмотрим наиболее представительные примеры расчета конструкций по методу предельного равновесия.
Определение предельного состояния системы
При растяжении-сжатии
Для статически определимой системы, в элементах которой возникают лишь продольные усилия, расчеты на прочность по допускаемым напряжениям и по предельным нагрузкам дают один и тот же результат. Результаты аналогичных расчетов статически неопределимой системы различны.
|
|
|
В качестве примера рассмотрим систему, представляющую собой абсолютно жесткую балку, с одним концом шарнирно опертую, и подвешенную на трех одинаковых идеально упруго-пластических подвесках, длиной l, площадью поперечного сечения F, модулем упругости материала Е, при заданной схеме нагружения силой Р (рис.23.1, а). Заданная система дважды статически неопределима.
По мере роста силы P, подвески 1, 2, 3 поэтапно будут переходить в пластическое состояние, причем напряжения в каждой подвеске не могут превышать .
Выделим следующие стадии деформирования заданной системы.
Первая стадия: все подвески работают упруго. Для определения реакций в подвесках составляем уравнения равновесия:
. (23.1)
Для определения величин усилий в подвесках N 1, N 2 и N 3 необходимо составить еще два уравнения совместности. Учитывая, что балка абсолютно жесткая и деформации в подвесках пропорциональны возникающим в них усилиям, то из условия подобия треугольников ADD', ACC' и ABB' (рис.23.1), имеем:
откуда
(23.2)
Тогда из (23.1) с учетом (23.2) определяются реакции во всех подвесках:
(23.3)
Вторая стадия: при некотором значении P, как это следует из (23.3), сначала наиболее нагруженная первая подвеска, переходит в пластическое состояние, то есть 
(рис.23.1, б). При этом из (23.2) можно установить, что в остальных подвесках усилия будут равны:
; 
. (23.4)
Подставляя значения усилий в уравнение равновесия (23.1), получим:
,
откуда и определим величину внешней силы Р, при котором система переходит во второе состояние:
. (23.5)
Рис.23.1
Третья стадия: при дальнейшем росте значения силы P, как это следует из (23.3), и вторая подвеска переходит в пластическое состояние, то есть N 1 = N 2 = 
(рис.23.1, в). При этом, из третьего соотношения (23.3), значение усилия в третьей подвеске будет равно:
. (23.6)
Из уравнения равновесия (23.1), с учетом значения усилий в подвесках в третьем состоянии, получим:
. (23.7)
Четвертая стадия - предельное состояние: в этом состоянии усилия во всех трех подвесках равны своему предельному значению, т.е. (рис.23.1, г). Уравнение равновесия (23.1), при этом принимает вид:
|
|
|
, (23.8)
откуда и определяется предельная величина внешней силы:
. (23.9)
Далее определим перемещение fi балки в точке приложения внешней силы P в различных стадиях работы заданной системы.
При переходе заданной системы от первого стадии деформирования ко второму, имеем:
; 
.
При переходе заданной системы от второй стадии к третьей, имеем:
; 
.
И наконец, при переходе системы от третьей стадии к предельному состоянию, получим:
.
Рис.23.2
Зависимость f от P показана на рис.23.2. Она изображается ломаной линией, которая после предельного равновесного состояния становится горизонтальной, то есть после того, как напряжения достигнут предела текучести во всех трех подвесках. Откуда следует, что при постоянной 
, перемещение f беспредельно возрастает, т.е. происходит разрушение системы.
Как видно из приведенного примера, расчет даже для такой простой системы оказывается довольно громоздким, хотя он дает возможность находить не только предельную силу, но и описать поведение конструкции в процессе ее нагружения. На практике, при расчете систем с учетом пластических деформаций рассматривают только предельное состояние.
Предельное состояние статически определимых
Систем при изгибе
Для систем, работающих преимущественно на изгиб, разрушение сечения определяется в основном величиной изгибающего момента.
Рассмотрим предельное состояние балки с двумя шарнирно опертыми концами, от действия силы P, приложенной в середине пролета. В статически определимой балке (рис.23.3), как известно, нормальные напряжения в поперечных сечениях в упругой стадии, изменяются по высоте сечения по линейному закону и пропорциональны величине изгибающего момента.
Рис.23.3
В опасном сечении при достижении напряжений в крайних волокнах величины , заканчивается упругий стадия работы и величина изгибающего момента по теории допускаемых напряжений будет определяться следующими известными соотношениями:
|
|
|
, (23.10)
откуда допускаемое значение внешней силы вычисляется по:
, (23.11)
где W - момент сопротивления поперечного сечения балки. Для прямоугольного сечения 
где b, h - размеры поперечного сечения (рис.23.3, б).
Таким образом, при расчете балки (рис.23.3, а) по теории допускаемых напряжений, допускаемое значение внешней силы, определяется по:
. (23.12)
Однако, очевидно, что при 
, вычисленной по формуле (23.12), заданная балка далеко не исчерпала свою несущую способность. При увеличении нагрузки, пластические деформации проникают вглубь сечения, вплоть до появления в нем пластического шарнира, т.е. состояния сечения, при котором все ее точки перешли в пластическое состояние. В пластическом шарнире момент достигает предельной величины, когда эпюра нормальных напряжений во всех точках в опасном сечении принимает значение (рис.23.3, б).
Рис.23.4
Согласно диаграмме деформирования материала по Прандтлю, продольные волокна балки в этом сечении испытывают беспредельно возрастающие деформации. В этих условиях можно говорить о формировании пластического шарнира в сечении, который превращает данную балку в механизм (рис.23.4). Это означает, что с возникновением пластического шарнира происходит полное исчерпание несущей способности балки, т.е. заданная система разрушается. Величину силы, вызывающую образование в балке пластического шарнира, называют предельной силой метода предельного состояния.
Значение предельной силы определяется из условия равенства моментов внутренних и внешних сил для опасного срединного сечения балки:
; 
, (23.13)
откуда получим:
. (23.14)
Величина 
называется пластическим моментом сопротивления, значения которого в случае прямоугольного сечения было определено в п.22.3.
Если сравнить величину предельной силы, определенной по методу допускаемых напряжений и по методу предельного равновесия, то получим, что 
.
Из приведенного примера следует, что для расчета изгибаемых элементов по методу предельного состояния, необходимо предварительно определить пластический момент сопротивления в сечениях пластических шарниров.
В таблице 23.1 приведены значения отношения 
для некоторых стандартных форм сечений.
Таблица 23.1
| Форма сечения | 
| 
| 
| 
| 
|
|
| 1,16 | 1,27 | 1,50 | 1,70 | 2,00 |
|
|
|
