Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Количественные методы описания систем




 

Количественные методы (методы формализованного представления систем) используются, прежде всего, для анализа и количественной оценки вариантов, описания законов их функционирования, установления связи показателей эффективности и основных факторов влияния, определения точности, корректности используемых моделей систем. К подобным методам относят [1, 3 – 7]:

- аналитические методы (методы классической математики, включая интегральное и дифференциальное исчисления, методы поиска экстремумов функций, вариационное исчисление и т.д.; методы математического программирования, методы многокритериальной оптимизации, методы теории игр и др.);

- статистические методы (теория вероятностей, математическая статистика, корреляционно-регрессионный и дисперсионный анализ, факторный и компонентный анализ, теория временных рядов и др.; направления прикладной математики, использующие стохастические представления – теорию массового обслуживания, методы статистических испытаний (основанные на методе Монте-Карло), методы выдвижения и проверки статистических гипотез А. Вальда и другие методы статистического имитационного моделирования);

- теоретико-множественные методы (общая теория абстрактных множеств, реляционная алгебра, теория категорий, теория нечетких множеств и т. п.);

- графические методы (теория графов, методы сетевого планирования, разнообразные методики графического отображения объектов и процессов);

- логико-математические методы (алгебра логики, теория абстрактных автоматов, методы логического анализа и вывода и др.);

- лингвистические методы (теория формальных грамматик, методы структурно- лингвистического анализа и пр.).

Теоретико-множественные, логические, лингвистические, семиотические представления основаны на методах дискретной математики и составляют теоретическую основу разработки языков моделирования, автоматизации проектирования, информационно-поисковых языков и т.п.

Приведенная классификация, выделяющая качественные и количественные методы, как и любая другая, является условной, так как методы использования опыта и активизации интуиции специалистов часто в той или иной степени используют формализованные представления (статистический анализ данных, графическое описание задачи и т. п.).

Рассмотрим подробнее, например, аналитические методы.

Аналитическими в рассматриваемой классификации названы методы, которые отображают реальные объекты и процессы в виде точек, совершающих какие-либо перемещения в пространстве или взаимодействующие между собой, т.е. сложная система преобразуется в точку, совершающую какое-то движение (или обладающую каким-то поведением), посредством оператора (функции, функционала). Причем поведение точек, их взаимодействие описывается строгими соотношениями, имеющими силу закона.

Аналитические методы используются как в классическом математическом анализе(методы исследования функций, их вида, способов представления, поиска экстремумов функций и т.д.), так и в разделах современной математики, таких как математическое программирование (линейное, нелинейное, динамическое и т.д.), теория игр (матричные игры с чистыми стратегиями, дифференциальные игры и т.д.).

Большинство из направлений математики не содержит средств постановки задачи и доказательства адекватности модели, которая чаще всего доказывается экспериментально, но это дорого и не всегда реализуемо.

Математическое же программирование содержит средства постановки задачи и методы решения слабо формализованных задач (планирования, распределения работ и ресурсов, загрузки оборудования и т.д.).

Рассмотрим пример постановки задачи математического программирования. Для изготовления различных изделий А, В и С предприятие использует три различных вида сырья. Нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида – aij, , цена одного изделия А, В и С – cj, , общее количество сырья каждого вида – bi, , которое может быть использовано предприятием, приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1 – Исходные данные задачи

Вид сырья Нормы затрат сырья (кг) на одно изделие, aij Общее количество сырья (кг), bi
А В С
S 1        
S 2        
S 3        
Цена одного изделия (руб.), cj        

 

Необходимо составить такой план производства изделий, при котором общая стоимость произведенной предприятием продукции является максимальной, учитывая, что изделия А, В и С могут производиться в любых количествах, а производство ограничено запасами сырья.

Составим математическую модель этой задачи. Пусть необходимо выпустить изделий А в количестве x 1 штук, изделий В – x 2, изделий С – x 3. Учитывая, что стоимость каждого вида изделий известна, запишем выражение целевой функции, представляющей собой общую стоимость произведенной предприятием продукции, в виде:

(4.1)

Необходимо найти максимум этой функции при ограничениях, которые запишем в виде системы неравенств, так как количество сырья каждого вида ограничено:

(4.2)

Так как количество продукции не может быть отрицательным числом, то переменные x 1, x 2 , x 3 принимают только неотрицательные значения:

x 1³0, x 2 ³0, x 3³0 (4.3)

Таким образом, приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений системы неравенств (4.2) требуется найти такое, при котором функция (4.1) принимает максимальное значение.

Рассмотренная задача относится к задачам линейного программирования и является задачей распределительного типа, суть которых заключается в следующем. Пусть рассматриваемая система характеризуется наличием п видов производственной деятельности, для осуществления которых имеются различные ресурсы с номерами . Возможный объем потребления i -го ресурса ограничен неотрицательной величиной bi,а его расход для производства единицы продукта j- говида производственной деятельности равен aij, где , причем, единица продукта j- говида производственной деятельности характеризуется величиной cj,называемой удельной прибылью.Необходимо определить объемы хj, ,производственной деятельности каждого вида, обеспечивающие максимальный суммарный доход от производственной деятельности системы в целом без нарушения ограничений, накладываемых на использование ресурсов.

Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции:

→max(min) (4.4)

при ограничениях

, (4.5)

, (4.6)

, (4.7)

где aij, bi и cj – заданные постоянные числа, причем kmln, а bi ≥ 0

При этом система линейных уравнений (4.6) и неравенств (4.5), (4.7), определяющая допустимое множество решений задачи, называется системой ограничений задачи линейного программирования, а линейная функция F (x) называется целевой функцией задачи (4.4) – (4.7) или критерием оптимальности.

Задачи линейного программирования представляют собой оптимизационные задачи из сферы планирования и управления производством. По некоторым источникам [73], 80 – 85 % всех решаемых на практике задач относятся к задачам линейного программирования.

Для решения задач линейного программирования используют симплексный метод. Процесс решения задачи линейного программирования симплекс-методом имеет итерационный характер: однотипные вычислительные процедуры в определенной последовательности повторяются до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение. Кроме определения оптимального решения, с помощью симплексного метода можно получить экономическую интерпретацию оптимального решения и провести анализ математической модели на чувствительность.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...