Перестановки с повторением.

Так как цифры в числе переставляли, то логически следует назвать этот тип задач – перестановкой

*Любое упорядоченное множество, состоящее из n элементов, называют перестановкой из n элементов.

Внимание:

1. Количество элементов данного и полученного множества совпадает.

2. Важен порядок в множестве.

a) Факториал и его свойства.

Например: 4!=1*2*3*4=24.

6!/3! = (1*2*3)*4*5*6/3! = 3! * 4*5*6/3! = 4*5*6 = 120.

(k! – (k+1)!)/k! = (k! – k!(k+1))/k! = k!(1-k-1)/k! = -k

б) Перестановки.

Задача. Сколькими способами можно рассадить 5 гостей вокруг стола, если стоят 5 стульев?

Решение

Количество гостей совпадает с количеством стульев. Каждый гость садится на определённое место, т.е. в множестве важен порядок значит, это перестановка из 5 элементов. P₅=5!=1*2*3*4*5=120

Задачи.

1. a) n!/(n+1)!; б) n!/(n-2)!; в) (n+1)!/(n-2)!; г) n!/(n-k)!, n>k

2. Упростите:

а) 1/(n+1)! – 1/(n+2)!; б) n!/(n+1)! – (n-1)!/n!

3. Сократите:

а) (n-1)!/n! б) n!/(n-3)! в) (n-2)!/(n-4)! г) (n+1)!/(n-k+1)!, n>k

4. Упростите:

а) 1/k! – 1/(k+1)! б) (n-2)!/n! – n!/(n+1)!

5. Решите уравнение.

а) (n+2)!/n! = 72 б) (n+1)!/(n-1)! = 30

6. Вычислите:

а) (P₅+P₄)/P₃ б) (P₁₀ - P₉)/9P₈ в) P_3k/P_(3k-2)

7. Вычислите:

а) (P₆+P₅)/P₄ б) (P₁₂ – P₁₁)/11P₁₀ в) P_(3k+2)/P_(3k+1)

8. Сколькими способами можно составить список из 5 учеников?(ответ: P₅ = 5!)

9. В школе 17 классов и 17 классных руководителей. Сколькими способами можно распределить классное руководство между учителями?(ответ: P₁₇ = 17!)

10. Сколько разных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0;2;4;6, если каждую из них использовать только один раз(ВНО).

Решение:

Цифр – 4; составить 4-х значных, значит в полученном множестве всех цифр – 4 => всех 4!. Но среди чисел не может быть четырехзначных с первой цифрой “0”, т.е. это – трёхзначные числа. Из полученного множества – убрать 3! (ответ: 4! – 3!)

11. Сколькими способами можно расставить 6 книжек на книжной полке? (ответ: P₆ = 6!)

12. На танцевальной площадке собрались n юношей и n девушек. Сколькими способами они могут образовать пары для участия в очередном танце? (ответ P_n = n!)

13. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0;1;3;5;7, если каждую из них использовать только один раз? (ответ 5!-4!)

14. Сколькими способами можно 8 учеников построить в колону по одному? (ответ P₈ )

15. Есть 10 книг, из которых 4 – учебники. Сколькими способами можно поставить эти книги на полку так, чтобы все учебники стояли рядом?(ВНО)

Решение:

Пусть все 4 учебника как 1 книга. Тогда на полке надо расставить не 10 книг, а 7, т.е.

P₇ = 7! В каждом таком наборе книг 4 учебника можно переставлять между собой P₄ способами, т.е. P₄ = 4!. Значит, P₇ * P₄ = 7!*4!

16. В шкафу в ряд висят 10 платьев и 3 блузки. Сколькими способами можно развесить всю одежду так, чтобы блузки висели рядом? (ответ: 11! * 3!)

17. На полке в ряд лежат 5 тюбиков с кремом и 2 тюбика с зубной пастой. Сколькими способами можно разложить все предметы так, чтобы тюбики с кремом лежали в ряд? (ответ 3! * 5!)

18. На пляже в ряд загорают 20 человек, среди них – 8 детей. Сколькими способами можно распределить загорающих так, чтобы дети лежали рядом? (ответ: 13!*8!)

19. Сколькими способами можно 4 мужчин расположить на 4 местной лодке? (ответ: 4!)

20. Курьер должен разнести пакеты 7 разных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?(ответ: 7!)

21. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5,7,8, но забыла в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется набрать, чтобы дозвонится подруге? (ответ: 3!)

22. Сколько 6 значных чисел(без повтора цифр) можно составить из цифр:

а) 1,2,5,6,7,8 б)0,2,5,6,7,8

(ответ: а) 6! б)6!-5!)

23. В расписании на понедельник 6 уроков: алгебра, геометрия, иностранный язык, история, физ-ра, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы 2 урока математики стояли рядом?

Решение:

5! * 2!(т.к. алгебра и геометрия считаются одним предметом, всего 5 предметов; и между собой алгебра и геометрия – т.е. 2 варианта) (ответ: 5! * 2!)

24. Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10? (ответ: 10!)

25. Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять места в театре, если мальчики будут сидеть на нечётных местах, девочки – на чётных? (ответ: 5! * 5!).

Комбинаторный закон умножения

Если элемент а можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора элемент b можно выбрать k способами, то пару элементов (a и b) можно выбрать m*k способами.

Задача 1. В вазе 10 конфет и 5 шоколадок. Сколькими способами можно выбрать 1 конфету и 1 шоколадку.

Решение: Возьмем 1 конфету, после этого 1 шоколадку можно выбрать 5 способами. Конфет 10, значит всех способов в 10 раз больше! 5*10 = 50 (способов)

Задача 2. Даны цифры 0,1,2,3,4. Сколько пятизначных чисел можно составить из данных цифр. Цифры в числе могут повторятся.

Решение: На первом месте может быть любое число, кроме “0” => для 1 места существует 4 способа. После этого рассматриваем 2ую позицию – может быть любое из 5 чисел, значит 5 способов; 3 – позиция: 5 способов; 4ая – 5 способов; 5я – 5 способов.

4 * 5 * 5 * 5 * 5 = 4 * 5⁴ (способов).

Комбинаторный закон сложения

Если элемент a можно выбрать m способов, а элемент b – k способами и любой выбор элемента a отличен от выбора b, то элементы a или b можно выбрать m+k способами.

Задача В вазе лежат 10 конфет и 5 шоколадок. Сколькими способами можно выбрать одну сладость?

Решение Конфету или шоколадку? “или” означает “+”, => 10+5 = 15 (способов).

Задачи.

26. Есть 5 видов конвертов без марки и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для письма? (ответ 5 * 4 = 20)

27. На полке стоят книги: 100 художественных и 35 учебных. Сколькими способами можно выбрать: a) 1 книгу б) 1 художественную и 1 учебную?

28. Сколько чётных чисел можно составить из цифр 0;1;3;6.

Решение: 1 позиция 0 3 способа(без нуля); 2 позиция – 4 способа, 3 и 4 – 4 способа.

3 * 4 * 4 = 48 (чисел)

29. Сколько четырёхзначных чисел, кратных 5 можно составить из всех цифр 0,1 … 9?

Решение: всех цифр – 10;

1ая позиция – 9 цифр (без 0)

2, 3 позиция – 10 цифр

4 позиция – 2 цифры (0;5)

9*10*10*2(числа)

30. Сколько 5 значных нечётных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7?

(ответ: 5*6*6*6*3)

Перестановки с повторением.

Перестановкой с повторением состава n=k₁+ k₂ + … + k_m из m элементов a₁ , a₂ , …, a_m некоторого множества M называется любая конечная последовательность, состоящая из n элементов, в которую a₁ входит k₁ раз, a₂ входит k₂ раз, …, a_m входит k_m раз.

P_n = n!/(k₁!+ k₂ !+ … + k_m!); где, k₁+ k₂ + … + k_m = n.

Задача 1. Количество различных 6-значных чисел, которые можно составить из трёх двоек, двух семёрок и одной пятёрки, равно: P₆=6!/3!*2!*1!=720/6*2*1=60(чисел)

Задача 2. Сколько различных слов можно составить из букв слова математика?

Решение. М-2 буквы, а – 3 буквы, Т-2буквы, всего 10 букв. P₁₀=10!/2!*3!*2! (слов)

Задача 3 Найти количество разных четырёхзначных чисел, которые могут получиться при перестановке 1,1,4,4. Ответ: P₄ = 4!/2!*2! = 6.

Задачи.

31. Сколько различных 5-значных чисел можно составить при перестановке цифр 2,2,3,3,5. (ответ: 5!/2!*3!*1!)

32. Сколько 6-значных чисел можно составить: 1)из двух цифр 5 и четырёх цифр 7

2)из трёх цифр 5 и трёх цифр 7? (ответ: 1) 6!/2!*4! 2) 6!/3!*3!)

33. Сколькими способами можно разложить 28 предметов в 4 разных ящика так, чтобы в каждом ящике было 7 предметов? (ответ 28!/7!)

34. Сколько различных слов можно получить переставляя буквы слова: 1) лицей 2) галушка 3) шаровары 4) мама 5) папа 6) панама

Сочетания.

Сочетанием из n элементов по k называют k – элементное подмножество

n – элементного множества.

Главное: 1) кол-во элементов множеств – разное, причём k ≤ n. 2) порядок не важен

C_n^k = n!/k!(n-k)!

Свойства:

1. С₀⁰ = 1; C_n⁰ = 1; C_nⁿ = 1

2) C_n^k = C_n^n-k

3) C_n^k + C_n^k+1 = C_n+1^k+1

Задача Сколькими способами можно выбрать двух дежурных из 25 учащихся класса?

Решение. 2≠25. Дежурные – равнозначные. => C₂₅² = 25!/2!(25-2)! = 25!/2!*23! =

= 24*25/2 = 300 (способов)

Задачи.

35. В классе 7 учащихся занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать двух из них для участия в математической олимпиаде? (ответ C₇²)

36. В магазине продаются 8 разных наборов марок на спортивную тему. Сколькими способами можно выбрать 3 набора? (ответ C₈³)

37. Ученикам дали список из 10 книг, которые рекомендуют прочитать на каникулах. Сколькими способами можно выбрать 6 из них? (ответ C₁₀⁶)

38. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории нужно выделить 4 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами это можно сделать?(Ответ C₁₆⁴ * C₁₂³)

39. На плоскости даны 25 точек так, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Решение. Так как n=25, k = 3 и порядок вершин неважен, то C₂₅³

40. У одного мальчика – 10 марок для обмена, а у другого – 8. Сколькими способами они могут обменять 2 марки одного на 2 марки другого? (ответ C₁₀² * C₈²)

41. На одной из параллельных прямых отмечены 7 точек, на другой – 12. Сколько существует четырёхугольников с вершинами в этих точках?

Решение. По 2 точки (вершины) должны лежать на каждой из прямых.(ответ: C₇² * C₁₂²)

42. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды(52 карты) 10 карт так, чтобы среди них было 3 туза?

Решение. 3 туза из 4х тузов: C₄³. Остальные 7 карт – не тузы. 52-4=48: C₄₈⁷.

Ответ: C₄³ * C₄₈⁷.

43. Вычислить: 1) C₈⁴ 2) C₇⁶

44. Решить уравнение: 1) C_x² = 153 2)C_x+2³ = 8(x+1) 3) C_x+1²/C_x³ = 4/5

Ответ: 1)18; 2)6; 3)7;

45. Решить уравнение: 1)C_x^x-2 = 45; 2)3C_2x^x+1 = 2C_2x+1^x-1; 3) 11C_2x^x = 6C_2x+1^x+1;

46. Решить уравнение: 1)C_x¹⁵ = C_x⁶; 2)C₃₀⁷+C₃₀⁶ = C₃₁^x; 3)C₁₉⁸+C₁₉^x = C₂₀⁸ ; 4)C_x² = 120;

5)C_x+2³ = 7(x+2); 6)C_x^x-2 = 66; 7)C_x+1³/C_x⁴ = 6/5; 8)13C_2x^x+1 = 7C_2x+1^x-1;

9) 17C_2x-1^x=9C_2x^x-1

47. На бригаду рабочих из 8 человек выделили всего 3 путёвки в санаторий. Сколькими способами можно сформировать группу обиженных?(ответ C₈⁵)

48. На плоскости расположены 20 точек так, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Сколько существует прямых проходящих через эти точки? (ответ C₂₀²)

49. Сколькими способами группу туристов из 10 человек можно разместить в 4х местной и 6 местной палатке? (ответ C₁₀⁴)

50. В отряде 7 офицеров и 20 рядовых. Сколькими способами можно сформировать отряд разведчиков, в который входят 3 офицера и 12 рядовых? (ответ C₇³ * C₂₀¹²)

51. В футбольной команде 11 основных игроков и 8 запасных. Сколькими способами можно сделать замену сразу двух игроков? (ответ C₁₁² * C₈²)

52. На одной параллельной прямой – 7 точке, на другой – 12. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках? (ответ С₇² * С₁₂¹ + С₇¹ * С₁₂²)

53. Сколькими способами можно выбрать из колоды(36 карт) 6 карт так, чтобы среди них было 2 дамы? (ответ C₄² * C₃₂⁴)

54. В лотерее разыгрываются 5 предметов. Первый, кто подошёл к урне, вынимает 5 билетов из неё. Сколькими способами он может их вынуть, чтобы 3 из них были выигрышными, если в урне 100 билетов. (ответ: C₅³ * C₉₅²)

55. На собрании 30 человек, среди которых 2 женщины, избрали 4 сотрудника для работы на участке. Сколько может быть случаев, когда среди избранных – 2 женщины?

56. 16 экскурсантов разделились на 2 равные группы для поиска пропавшего туриста. Среди них 4 человека знакомы с местностью. Сколькими способами они могут разделится так, чтобы в каждую группу вошли 2 человека, знающие местность. (ответ: C₄² * C₁₂⁶)

57. Доказать: C_n^m+1 + C_n^m-1 + 2C_n^m = C_n+2^m+1

58. Строительная организация выделила в помощь детскому дому бригаду из 5 рабочих. В организации работают 20 рабочих, в том числе 5 каменщиков, 4 плотника и 2 штукатурщика. Сколькими способами можно укомплектовать бригаду, чтобы в её состав входили рабочие всех специальностей по одному?

Решение. С

59. Между четырьмя игроками в домино распределяют 28 костей. Сколькими способами (N) можно распределить кости? В ответ запишите N:10⁹ и округлите, до единиц.

Решение: 1 игрок может выбрать кости C₂₈⁷ способами, 2 ой игрок: C₂₁⁷ , третий C₁₄⁷ , четвертый: C₇⁷ .

N = C₂₈⁷ * C₂₁⁷ * C₁₄⁷ * C₇⁷ = 21478.

60. Сколькими способами из группы (20 человек) можно выбрать 4 делегата на конференцию?(C₂₀⁴ .)

61. Сколькими способами можно составить букет из 3 роз, в котором находится 2 красных и 1 белая розы, если цветы выбирают из 6 белых и 7 красных?(ответ: C₇² * C₆¹ ).

Сочетание с повторениями

Пусть дано n – элементное множество, то сочетанием с повторением из n элементов по k называются наборы, в каждый из которых входит k заданных элементов(не обязательно разных), отличающихся только составом элементов(хотя бы одним элементом)

C_n^k = C_n+k-1^k

Задача. В почтовом отделении продаются открытки пяти видов. Найти количество способов покупки 7 открыток.

Решение. При выборе открыток порядок их следования не учитывают. По условию не запрещается покупать одинаковые открытки.

C₅⁷ = C_5+7-1⁷ = 330.

62. Сколько существует треугольников длины сторон которых принимают любые из 3 следующих значений: 4,5,6,7. (ответ: C₄³)

63. В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить в отделении: а) 12 открыток; б) 8 открыток.

(ответ: а) C₁₀¹²; б) C₁₀⁸)

64. Сколькими способами можно построить прямоугольных параллелепипедов, длины рёбер которых выраженные натур числами от 1 до 10? (ответ C₁₀³)

65. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают любые 3 из данных значений: 4;5;6;7 (ответ C₄³)

Размещения

Размещением из n элементов по k называют любое упорядоченное множество из k элементов множества. A_n^k = n!/(n-k)!

Характеристика:

1) Количество элементов разное

2) Важен порядок во множестве.

Задача. Для дежурства по школе из 10 учащихся выделили 2 учащихся: старшего дежурного и его заместителя. Сколькими способами?

Решение. Выбор старшего дежурного из 10 возможен 10 способами. После 1 выбора осталось 9 человек. Из 9 человек выбираем заместителя. Значит, 10*9 = 90. Или

A₁₀² = 10!/8! = 9*10 = 90.

Задача 2. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6, если цифры не повторяются.

Решение: n = 6, k = 3; n ≠ k. Порядок – важен. Тогда A₆³ = 120.

Задачи.

65. Даны 6 цифр 0,1,2,3,4,5. Сколько трёхзначных чисел можно составить из данных цифр(без повторения цифр)? (ответ: n = A₆³ – A₆² = 100)

66. Сколькими способами можно составить расписание на 1 день из 15 предметов, если в течении дня должно быть 7 уроков? (ответ А₁₅⁷)

67. На соревнования по лёгкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них победит в эстафете 4х100 м на каждом из 4х этапов. (ответ А₁₂⁴)

68. Сколько 3 значных чисел можно образовать из цифр 1,2,3,4,5,6 (ответ А₆³)

69. Сколькими способами можно расположить ….. из 3 человек в 4-х местной ……., если других пассажиров нет.

70. Из 25 учащихся надо выбрать председателя, заместителя и секретаря.

71. Сколькими способами можно изготовить трёхцветный флаг с горизонтальными полосами, если есть материал 7 разных цветов? (ответ А₇³)

72. Сколькими способами организаторы конкурса могут определить призёров из 15 учениц? (ответ А₁₅³)

73. Для полёта в космос необходимо укомплектовать экипаж, помощников, 2х бортинженеров и 1 врача. Тройка руководителей полёта выбираются из 25 лётчиков бортинженеры – из 20 специалистов а врачи из 8 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж? В ответ записать N:10⁶ и округлить до единиц.

Решение. Т.к. в выборе команды состава важен порядок, то командира и 2х его помощников можно выбрать А₂₅³ способов. Бортинженеры равноценны(II состав), порядок их выбора не важен, тогда С₂₀² врачи С₈¹. N = А₂₅³ * С₂₀² * С₈¹ = 2097600.

N:10⁶ = 21.

74. Решите уравнение.

1) A_x⁴/A_x² = 6; 2) A_x² + C_x¹; 3) A_x²=20; 4) 3C_x+1² - 2 A_x² = x; 5) A_x+1³ + C_x+1^x-1 = 14(x+1);

75. Сколькими способами в команде спортсменов из 10 человек можно распределить 3 призовых места? (ответ A₁₀³)

76. Вычислить:

1) A₁₃³/(A₁₄⁴ – A₁₃⁴); 2) A₁₅¹²/(A₁₆³ * P₁₂);

77. Решить уравнение: 1)A_x² = 42; 2) A_x² = 182; 3) A_x-1² - C_x¹ = 79; 4) 3C_x+1² +2x = 4A_x²

5) A_x-2² + C_x^x-2 = 101

78. Сколько существует 3х значных чисел, все цифры которых чётные, различные, не содержат “0”?

79. Сколько существует правильных дробей, числитель и знаменатель которых различны и не содержат “0”?

Размещения с повторениями

Размещением с повторением из n по k называется конечная последовательность из k элементов ( a₁, a₂, …, a_k) некоторого n – множества.

Главное: n и k – любые. Порядок – важен, могут быть как и незанятые места, так и на одно место несколько элементов.

A_n^k = n^k

Задача. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр: 1,2,3,4,5,6, если цифры могут повторятся.

Решение: A₆³ = 6³ = 216

Задачи.

80. Шестерых студентов необходимо распределить по трём разным группам. Сколькими способами это можно сделать? (A₃⁹ = 3⁹)

81. Найти количество 3х значных чисел, которые можно составить из цифр 3,4,5,6,7,8,9 если а) цифры в числе не повторяются; б) цифры в 1 числе могут повторится.

(Ответ а)A₇³; б) A₇³)

82. Найти количество 3х значных чисел, которое можно составить из цифр 3,4,5,6,7,8,0 если а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторятся.

Решение. а) A₇³ – A₆²; б) на 1 место можно поставить все цифры кроме “0”; т.е. 6 способов, а на любое другое место – 7 способов. 6*7*7 = 294 (чисел)

83. Сколько существует 7 – значных телефонных номеров, у которых первая цифра 70.

Решение. Всего цифр 10. На 1 место – 9 цифр(кроме нуля), на 2ое – 10. (9 * 10⁶)

84. Сколько разных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 так, чтобы полученные числа были а) четными; б) кратные 5.

Решение. а) 5 * 5 * 2 = 50(чисел) так как на 1 и 2 место можно поставить любое из 5 чисел, а на последние только 2. Числа из данных – 2 и 4.

б) 5*5*1 = 25.

86. Сколькими способами можно размешать 12 разных деталей по 3 ящикам? (A₃¹² )

87. Сколько существует 5-значных номеров 1) составленных из цифр 2,3,5,7; 2) который не содержит цифру 8; 3) которые не содержат цифру 0 и 8.

Решение. 1) A₄⁵ ; 2) A₈⁵ ; 3) A₉⁵ – A₈⁴

88. Имеем набор из 16 карточек на 4х буква А, на 4х буква Б, на 4х – В; на 4х – Г. Сколько разных наборов можно получить, выбирая из набора 4 карточки и складывая их в определенном порядке? (4⁴ )

Решение задач.

89. Сколькими способами можно расставить 6 книг на книжной полке? (6!)

90. На бригаду рабочих из 8 человек выделили всего 3 путёвки в санатороий. Сколькими способами можно сформировать группу: a) счастливчиков (С₈³ ); б)неудачников (С₈⁵ )

91. В классе изучают 16 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на 1 день из 7 уроков, если все уроки – различные предметы (A₁₆⁷)

92. Сколько существует четырехзначных чисел, все цифры кот. Различны и четны?

(A₅⁴ - A₄³ )

93. Сколько различных 5 значных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если цифру в числе можно использовать только 1 раз? (5! – 4!)

94. В отряде 7 офицеров и 20 рядовых. Сколькими способами можно сформировать отряд разведчиков, в который входят 3 офицера 12 рядовых? (C₇³ * C₂₀¹²)

95. Сколько различных слов можно получить переставляя буквы слова: a)школа (5!); б)литература (ответ: 10!/(2! * 2! * 2!))

96. Сколько существует треугольников с сторонами 5см, 6см, 7см, 8см, если:

а) треугольники – разносторонние (С₄³); б) любые (С₆³)

97. Сколькими способами можно выбрать из колоды(36 карт) 6 карт так, чтобы среди них было 2 туза? (С₄² * С₃₂⁴)

98. Сколькими способами можно разложить 20 мячей по 5 корзинам (A₅²⁰)

99. Сколько существует 5 значных номеров телефонов составленных из 4 цифр 1,2,3,8. (ответ: A₄⁵)

100. В урне лежат 8 красных, 4 синих, 3 желтых шара. Сколькими способами можно вытянуть: а) 1 красный, 1 желтый, 1 синий шар (ответ: 8*4*3); б) 2 красных, 3 синих, 2 жёлтых (С₈² * С₄³ * С₃²).

101. Сколькими способами можно заполнить карточки спортлото (зачеркнуть 6 из 49)?

(ответ С₄₉⁶)

102. В каких случаях из 6 выбранных номеров игры спортлото 6 из 49 после тиража

а)3 будет угаданы правильно. (С₆³ * С₄₃³); б) 4 – правильно (С₆⁴ * С₄₃²); в) 5 – правильно (С₆⁵ * С₄₃¹); г) 6 – правильно (С₆⁶ * С₄₃⁰)

103. Сколько четырёхзначных чисел можно получить из числа 2226 (P₄ = 4!/(3!*1!) = 4)

104. Сколькими способами можно разложить 28 предметов в 4 разных ящика по 7 предметов? (28!/(7!*7!*7!*7!)

105. Сколькими способами можно разложить 28 предметов в 4 разных ящика? (С₄²⁸)

106. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 так, чтобы полученные числа были: а) чётными (5*5*2); б) кратные 5 (5*5*1)

107. Сколькими способами на полке можно расставить 10 книг, среди которых 3 – научно – популярные, чтобы научно-популярные стояли рядом. (11!*3!)

108. В шкафу вряд висят 6 пиджаков и 10 платьев. Сколькими способами можно развесить одежду так, чтобы пиджаки висели рядом? (11! * 6!)

109. В шеренге на уроке физкультуры в ряд стоят 15 девочек и 6 мальчиков. Сколькими способами ребята могут выстроится снова так, чтобы мальчики были рядом?

110. На полке в магазине в ряд лежат 20 булок белого хлеба и 10 – серого. Сколькими способами можно разложить хлеб так, чтобы булки серого хлеба были рядом? (21!*10!)

111. Сколько слов можно составить из слова переставляя его буквы: а) кружка (6!);

б) казак (5!/2!)

112. Даны цифры 1,2,7,8,9. Сколькими способами можно составить из данных цифр:

а) 5 значное число без повторения цифр(5!); б) 5 значное число с повторением цифр(5*5*5*5*5); в) трёхзначное число без повторения цифр (A₅³); г) трёхзначное число с повторением цифр (5*5*5); д) чётное трехзначное число (5*5*2); е) нечетное четырёхзначное число (5*5*5*3); ж) трёхзначное число, все цифры которого – чётные (2*2*2); з) четырёхзначное число, все цифры которого – нечетны(3*3*3*3)

113. В лотерее спортлото вычёркивают 5 из 36 чисел. а) сколькими способами это можно сделать? (С₃₆⁵); б) сколько существует способов, чтобы выиграло 3 номера (С₅³ * С₃₁²); 4 номера (С₅⁴ * С₃₁¹); 5 номеров (С₅⁵ * С₃₁⁰ = 1)

114. В сказочном королевстве нетдвух людей с одинаковым набором зубов. Каково максимальное количество жителей в королевстве, если у человека 32 зуба.

Решение. пронумеруем зубы от 1 до 32. Если зуб есть, то обозначим его “1”, если нет – “0”; например если у человека есть все 32 зуба, то его набор зубов – 1,1,1,…,1 – 32 цифры. Если у него нет только второго зуба то: 1,0,1,1,…,1; если у него нет 2-го и 3-го зуба,

то 1,0,0,1,1,…,1 и так далее. Поэтому всех жителей: С₂³² = 2³² = 4*10⁹

115. В инопланетном городе инопланетяне различаются хоботками. Максимальное количество хоботков на одном – 20, нет 2х одинаковых инопланетян с одинаковым набором хоботков. Сколько всего жителей в городе? (A₂²⁰ = 2²⁰ = 4096 жителей)

116. Из урны вынимают 5 белых, 4 чёрных шара. Сколькими способами можно выбрать:

а) 1 белый и 1 чёрный шар(5*4); б) 2 белых и 3 черных шара (С₅² * С₄³)

117. В колоде 36 карт. 6 участников игры берут по очереди по 6 карт. Сколькими способами они могут это сделать? (С₃₆⁶ * С₃₀⁶ * С₂₄⁶ * С₁₈⁶ * С₁₂⁶ * С₆⁶)

118. На полке 20 книг, из них 5 по математике. Сколькими способами можно расставить книги так, чтобы 5 книг по математике стояли рядом?

119. Есть 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для письма? (5 * 4)

120. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную из слова “паркет” (2*4)

121. Сколькими способами можно указать на шахматной доске а)белый и черный квадрат?

(ответ: 32² = 1024) б) пару белых квадратов (32*31/2)

122. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, которые не лежат на одной горизонтали или на одной вертикали.

Решение. Белый квадрат можно выбрать на которой лежит квадрат, останется 64-14 = 48 (квадратов), из них – 24 чёрных, по правилу произведения n = 32*24.

123. Из 3 учебников алгебры, 7 учебников геометрии и 3 учебников физики надо собрать комплект, содержащий по 1 учебнику каждого вида. Сколькими способами можно это сделать? (3*7*6)

124. В корзине 12 яблок, 10 апельсинов. Иван берёт себе яблоко или апельсин, после этого Надя берет из фруктов что остались и яблоко и апельсин. Сколько возможностей такого выбора?

Решение. Если Иван взял яблоко, то выбор – 12 способов, то Надя – 11*10, после выбора Ивана. Если Иван взял апельсин – 10 способов, то Надя – 12*9 способов.

Всего 12*11*10 + 12*10*9.

125. Сколькими способами можно обтянуть 6 стульев тканью 6 разных цветов? (6!)

126. Сколькими способами можно сшить трёхцветный полосатый флаг, если есть ткан 5 различных цветов? (A₅³)

127. Сколькими способами можно сшить трёхцветный полосатый флаг, если есть ткан 5 различных цветов, но одна из полос должна быть обязательно красной? (3A₄²)

128. Есть 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трём из них изготовление трёх разных деталей(по одной на каждого) (A₈³)

129. В профком выбрали 9 человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя, секретаря и культорга. Сколькими способами это можно сделать? (A₉⁴)

130. Сколькими способами можно бросить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик можно бросить не более 1 письма? (A₁₁⁵)

131. На совещании должны выступить 5 человек: А,Б,В,Г,Д. Сколькими способами их можно разместить в списке выступающих так, чтобы

а) Б не выступал перед А

б) Б должен выступить сразу за А.

Решение.

а) Общее количество всевозможных списков 5! = 120. В половине списков Б выступает за А. n = 60.

б) А, Б соораторов одного выступления 4! = 24.

132. Из 10 разных книг выбирают 4 для посылки. Сколькими способами? (C₁₀⁴)

133. Сколькими способами можно выбрать 5 делегатов на конференцию, на которой присутствует 15 человек? (C₁₅⁵)

134. Сколькими способами можно поставить 8 шашек на чёрные поля доски? (C₃₂⁸)

135. Сколькими способами можно поставить на чёрные поля доски 12 белых и 12 чёрных шашек? (C₃₂¹² * C₂₀¹²)

136. У одного человека есть 11 книг по математике, а у другого – 15. Сколькими способами они могут выбрать по 3 книги для обмена? (C₁₁³ * C₁₅³)

137. В вещевой лотерее разыгрывается 5 предметов. Первый, кто подходит к урне, вынимает из неё 5 билетов. Сколькими способами он может их взять, чтобы 3 из их оказались выигрышными, если в урне 100 билетов? (C₅³ * C₉₇²)

138. 16 экскурсантов разделились на 2 равные группы для поиска заблудившегося товарища. Среди них 4 человека знакомы с местностью. Сколькими способами они могут распределится так, чтобы в каждую группу попало по 2 человека знающих местность?

(ответ C₄² * C₁₂⁶)

139. На собрании присутствует 30 человек, среди которых 2 женщины. На избирательный участок выбрали 4 сотрудников. Сколько может быть способов, чтобы в числе выбранных было 2 женщины? (C₂² * C₂₈²)

140. Строительная организация выделила для помощи детскому саду бригаду из 5 рабочих. В организации 20 работников, в том числе 5 маляров, 4 столяра и 2 штукатура. Сколькими способами можно укомплектовать бригаду, чтобы она состояла из работников всех специальностей по одному? (5*4*2*C₉²)

141. 20 пассажиров собираются ехать поездом. В кассе 12 билетов на нижнюю полку и 8 на верхнюю. При этом 4 пассажира не желают ехать снизу, а 5 пассажиров – сверху. Сколькими способами их можно разместить в поезде если:

а) порядок размещения пассажиров снизу и сверху не учитывается.

Решение. 4 – верхних, 5 нижних – для требовательных пассажиров. Осталось 11 мест.

n = C₁₁⁷

б) порядок размещения учитывается и снизу и сверху.

Решение. Каждому из C₁₁⁷ способов нетребовательных пассажиров на группы верхних и нижних соответственно P₁₂ сверху и P₈ – снизу, n = P₁₂ * P8 * C₁₁⁷

в) учитывается порядок размещения внизу. (n = P₁₂ * C₁₁⁷)

142. Сколько 6 значных чисел можно составить из цифр 1,2,3,…,9, если каждое число должно быть сложено из 3 чётных и 3 нечётных чисел, причём никакие 2 цифры в нём не повторяются? (P₆ * C₄³ * C₅³)

143. Докажите, что 77 телефонов не могут быть связаны друг с другом так, чтобы каждый из них был связан ровно с 15 другими. (n = 77*15/2)

144. Сколько нужно взять элементов чтобы P_n = 5040? (ответ 7)

145. В 11 классе 35 учеников. Они обменялись фотографиями. Сколько всего фотографий роздано? (35*34)

146. Сколько разных прямых можно провести через 10 точек плоскости, причем никакие 3 из них не лежат на одной прямой (10*9/2 = 45)

147. Сколькими способами можно разместить 12 разных деталей по 3 ящикам? (A₃¹² = 3¹² )

148. Сколько существует 5-значных номеров:

а) составленных из цифр 2,3,5,7 (4⁵ )

б) не содержащие цифру 8 (8⁵)

в) не содержащие цифр 0 и 8 (9⁵ – 8⁴)

149. Имеется набор из 16 карточек. На 4х написана буква А, на 4х – Б, на 4х – В, на 4х – Г. Сколько разных наборов можно получить, выбирая 4 карточки и раскладывая их в ряд в некотором порядке? (4⁴)

150. Сколько слов можно получить из слова, переставляя буквы: а) парабола (8!/3!);

б) математика (10!/(2!*2!*3!)); в) метаморфоза (11!/(2!*2!*2!).

151. -----

152. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из значений 4,5,6,7 см? (C₄³)

153. Сколько можно построить прямоугольных параллелепипедов, длины рёбер которых выражены натуральными числами от 1 до 100.

Решение. Параллелепипед имеет 3 измерения – a, b, c. Тогда n = C₁₀³

154. а)Сколькими способами 9 пассажиров можно разместить по 3 вагонам? (A₃⁹)

б) сколько способов для размещения в первый вагон 3 пассажира. (C₉³ * A₃⁶)

в) сколько размещений в каждый вагон по 3 человека? (C₉³ * C₆³ * 3!)

г) Сколько способов для размещения в 1 вагон – 4 пассажира, во 2 вагон – 3 пассажира, в третий – 2 пассажира. (C₉⁴ * C₅³ * 3!)

155. Сократить дробь.

а) n!/(n+1)!; б) n!(n-2)!; в) (n+1)!/(n-2)!; г) n!/(n-k)!

156. Упростите:

а) 1/(n+1)! – 1/(n+2)!; б) n!/(n+1)! – (n-1)!/n!

157. Вычислить:

а) (P₅ + P₄)/P₃; б) (P₁₀ – P₉)/9P₈; в) P_3k/P_3k-2

158. Решить уравнение: (n+1)!/(n-1)! = 30

159. Вычислите: C₈⁴; C₇⁶; C₆² + C₆⁰; C₂₇¹; C₁₉₉₉¹⁹⁹⁹ + C₁₉₉₉¹;

160. Решить уравнение:

а) C_x¹⁹ = C_x⁶; б) C₂₇⁸ + C₂₇⁷ = C₂₈^x; в) C₂₃⁹ + C₂₃^x = C₂₄⁹

161. Решить уравнение:

а) C_x² = 153; б) C_x+2³ = 8(x+1); в) C_x^x-2 = 45; г) C_x+1²/ C_x³ = 4/5 д) 3C_2x^x+1 = 2C_2x+1^x-1

е) 11C_2x^x = 6C_2x+1^x+1;

162. Вычислить а) (A₁₅⁴ + A₁₄⁵)/A₁₅³; б) A₁₂⁴ * P₇/A₁₁⁹

163. Сократить: а) (n-1)!/n!; б) n!/(n-3)!; в) (n-2)!/(n-4)!; г) (n+1)!/(n-k+1)!; (n>k)

164. Упростить: а) 1/k! – 1/(k+1)!; б) (n-2)!/n! – n!/(n+1)!;

165. Вычислить: а) (P₆ + P₆)/P₄; б) (P₁₂ – P₁₁)/11P₁₀; в) P_3k+2/P_3k+1;

166. Решить уравнение:

а) (n+2)!/n! = 72; б) C_x¹⁵ = C_x⁶; в) C₃₀⁷ + C₃₀⁶ = C₃₁^x; г) C₁₉⁸ + C₁₉^x = C₂₀⁸; д) C_x² = 120;

е) C_x+2³ = 7(x+2); ж) C_x^x-2 = 66; з) C_x+1³/C_x⁴ = 6/5; и) 17C_2x-1^x = 9C_2x^x-1;

к) 13C_2x^x+1 = 7C_2x+1^x-1

167. Вычислить: а) A₁₃³/(A₁₄⁴ - A₁₃⁴); б) A₁₅¹²/(A₁₆³ * P₁₂)

168. Решить уравнение: а) A_x² = 42; б) A_x² = 182; в) A_x-1² - С_x¹ = 79; г) 3С_x+1² + 2x = 4A_x² д) A_x-2² + С_x^x-2 = 101;