Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Тема 1 : Предел. Непрерывность. Частные производные




ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.1. Определение функции нескольких переменных

 

Остановимся, в основном, на случае функции двух переменных. Определения и полученные результаты легко распространить и на случай большего числа переменных.

Рассмотрим плоскость О ху - множество всех точек .

Определение 1. Множество всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству , называется -окрест-ностью точки и обозначается .

Определение 2. Областью D называется множество точек, обладающих свойствами:

1. Любая точка принадлежит ей и вместе с некоторой - окрестностью (свойство открытости);

2. Любые точки и можно соединить непрерывной линией, целиком принадлежащей D (свойство связности).

Линия, ограничивающая данную область, называется границей. Если к области отнести и точки границы, то такая область называется замкнутой.

 

 

D

 

М 1 М 2

 

 

Определение 3. Если каждой паре значений двух независимых переменных из некоторой области D соответствует по некоторому правилу или закону определённое значение величины z, то z называется функцией двух переменных в области D, и пишут .

Аналогично, как и для функции одной переменной определяется многозначная функция нескольких переменных.

Пример 1. Закон Ома: - функция двух переменных.

Пример 2. Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении: - функция трёх переменных.

Определение 4. Множество значений , при которых определена , называется областью определения функции.

Пример 3. Найти область определения функций:

1. , т.е. областью определения данной функции является круг .

2. , т.е. область определения - первая и третья координатные четверти без координатных осей.

Геометрически функцию двух переменных можно представить как поверхность, уравнение которой . Например, уравнение функции геометрически представляет параболоид.

 

1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных

 

Точка стремится к точке , если расстояние между этими точками стремится к нулю, т.е. . Это очевидно эквивалентно: .

Определение 5. Число А называется пределом функции при стремлении точки , если , для всех точек из которой выполняется неравенство , и пишут

или .

Аналогично устанавливается понятие о бесконечном пределе функции. В случае, когда или , неравенство заменяется неравенствами вида: или соответственно, где М - произвольное положительное число, и пишут

или .

Определение 6. Функция имеет пределом число А при и если , что при и пишут

.

Определение 7. Функция называется непрерывной в точке М 0, если имеет место равенство

.

Если в некоторой точке условие непрерывности не выполняется, такая точка называется точкой разрыва.

Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию в точке

Рассмотрим значения функции вдоль прямых при

.

Таким образом, функция принимает разные значения в зависимости от значения k. Точка является точкой разрыва.

Замечание. Свойства непрерывной функции двух переменных аналогичны соответствующим свойствам функции одной переменной.

 

1.3. Частные производные функции двух переменных

 

Дадим независимой переменной х приращение , тогда функция получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается

.

Аналогично определяется частное приращение z по у:

.

Если же приращение получают одновременно х и у, то приращение

называется полным.

Определение 8. Частной производной от функции по х называется предел

,

или другие обозначения: .

Аналогично, ,

или .

Из этих определений следует, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами для функции одного переменного. При этом, например, если мы вычисляем производную , то в процессе дифференцирования считаем, что

Пример 5. Найти и , если

 

1.4. Полный дифференциал функции двух переменных

 

Как известно, полное приращение функции определяется по формуле . Пусть имеет непрерывные частные производные, т.е. является дифференцируемой. Полное приращение представим в виде

.

К каждой разности применим теорему Лагранжа

,

где .

Так как в силу непрерывности существуют пределы:

; ,

то по теореме о пределе функции получим

где .

Это означает, что подчеркнутое слагаемое является б.м.в. при и тогда

,

где .

Таким образом, получаем еще одно эквивалентное определение дифференцируемой функции двух переменных.

Определение 8. Функция называется дифференцируемой в точке, если её приращение можно представить в виде суммы двух слагаемых, линейных относительно и и величины бесконечно малой. высшего порядка относительно , т.е.

При этом линейная часть называется полным дифференциалом и обозначается

Так как приращения независимых переменных называются их дифференциалами, то окончательно

а - частные дифференциалы.

 

1.5. Производная сложной функции

 

Пусть задана функция , где . В этом случае z является сложной функцией аргументов х и у. Пусть все эти функции имеют непрерывные частные производные.

Дадим переменной х приращение , тогда

где .

Разделим данное равенство на и перейдём к пределу при

Отсюда следует .

Аналогично получим .

Пример 6. Найти и , если

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...