Стационарные и эргодические случайные процессы

Случайные процессы различаются по степени однородности протекания их во времени. В общем случае, процесс может иметь определенную тенденцию развития и характеристики, зависящие от начала отсчета времени. Такие случайные процессы называются нестационарными.

Для описания сигнала математическая модель в виде нестационарного случайного процесса подходит наилучшим образом. Но не конструктивно в силу своей чрезмерной сложности. Поэтому очень часто вводят предположения о стационарности случайного процесса. Что позволяет существенно упростить математический аппарат исследования.

Случайный процесс называют стационарным в узком смысле, если выражения для плотности и вероятности не зависят от начала отсчета t, то есть справедливо соотношение:

Где - случайная величина, отражающая значения процессов в момент времени (

Иначе говоря, стационарность процесса предполагает его существование и статистическую однородность во всем диапазоне времени (

Такое предположение противоречит физическим свойствам реальных сигналов, в частности, тому, что всякий реальный сигнал существует лишь в течение конечного отрезка времени.

Однако, аналогично установившимся детерминированным процессом, случайные процессы, протекающие в установленном режиме системы при неизменных внешних условиях на определенных отрезках времени с известными приближением, можно рассмотреть как стационарные.

При решении многих технических задач идут на дальнейшее упрощение модели, рассматривая случайный процесс стационарным в широком смысле.

Процесс U(t) принято называть стационарным в широком смысле, если выполняется условие постоянства, математического ожидания и дисперсии, а корреляционная функция не зависит от начала отсчета времени и является функция только одного аргумента

Так как условие постоянства является частным случаем, требование к корреляции функции при τ=0, то выполнение соотношений (13) и (14) достаточно, чтобы рассматривать случайный процесс как стационарный.

Случайные процессы наблюдаются в (установившихся) устойчиво работающих реальных системах, имеют конечное время корреляции. Поэтому для стационарных процессов представляющих практический интерес, справедливо соотношение:

Если для случайного процесса равенства (13) и (15) не выдерживаются, но на интересующем интервале времени не выполняются, изменением указанных параметров можно пренебречь, то такой процесс называется квазистационарным.

Среди стационарных случайных процессов многие удовлетворяют свойству эргодичности. Оно проявляется в том, что каждая реализация случайного процесса достаточной продолжительности несет практически полную информацию о свойствах всего ансамбля реализаций, что позволяет существенно упростить процедуру определения статистических характеристик, заменяя усреднение значений по ансамблю реализаций усреднением значений одной реализации за длительный интервал t времени.

Следовательно, для стационарных эргодических процессов справедливы следующие соотношения:

Где – конкретная реализация случайного процесса.

Результаты исследования случайных процессов в их временном представлении, то есть с использованием формул (17) и (18) лежат в основе корреляционной теории.

Для облегчения практического определения корреляционных функций в соответствии с (19) серийно выпускают специальные вычислительные устройства – корреляторы (коррелометры).