 |
Взаимное расположение линии второго порядка и прямой
|
|
|
|
Пусть относительно аффинной системы координат 
линия 
второго порядка задана уравнением
(1),
прямая 
задана параметрическими уравнениями
Пересечение прямой и линии второго порядка находится из системы уравнений (1) и (2). Подставляя (2) в (1), получим
где
Возможны случаи:
I. 
, (*) – квадратное уравнение с дискриминантом 
.
а) 
. Уравнение (*) имеет два вещественных корня и прямая 
пересекает линию 
в двух вещественных точках 
.
б) 
. Уравнение (*) имеет два одинаковых корня, прямая пересекает линию второго порядка в двух совпавших точках.
в) 
. Уравнение (*) имеет два мнимых комплексно сопряженных корня, прямая пересекает линию второго порядка в двух мнимых комплексно сопряженных точках.
II. 
, то есть 
. Уравнение (*) принимает вид 
.
а) 
. Уравнение (*) имеет единственный корень, прямая пересекает линию второго порядка в одной точке.
б) 
. Уравнение (*) не имеет корней, прямая не пересекает линию второго порядка.
в) 
. Уравнение (*) становится тождеством, то есть любая точка прямой лежит на линии второго порядка, прямая является частью линии второго порядка.
О п р е д е л е н и е. Направлением на плоскости называется семейство всех параллельных между собой прямых.
Очевидно, что направление вполне определяется направляющим вектором этих прямых.
О п р е д е л е н и е. Направление, определяемое ненулевым вектором, называется асимптотическим направлением относительно линии второго порядка, если любая прямая этого направления имеет с линией второго порядка не более одной общей точки, или является частью этой линии.
Из предыдущих рассуждений получаем, что направление, определяемое ненулевым вектором 
, является асимптотическим относительно линии второго порядка тогда и только тогда, когда 
. Таким образом, имеем условие асимптотического направления:
|
|
|
.
Сколько может быть асимптотических направлений относительно линии второго порядка?
Заметим, что для задания направления достаточно знать отношение координат вектора 
.
I. 
. В этом случае 
и из условия (А) получаем, что 
(в противном случае получаем, что 
). Из уравнения (А) получаем квадратное уравнение относительно 
, дискриминант которого 
. То есть это уравнение не имеет корней, а значит, относительно линии второго порядка нет асимптотических направлений. В этом случае линия называется линией эллиптического типа. Можно проверить, что эллипс, мнимый эллипс, пара мнимых пересекающихся прямых – линии эллиптического типа.
II. 
.
а) 
. В этом случае (А) принимает вид 
. Имеем два асимптотических направления относительно линии второго порядка, определяемые векторами 
и 
.
б) 
. Из уравнения (А) следует, что 
. Имеем квадратное уравнение 
, дискриминант которого больше нуля. То есть это уравнение имеет два различных корня, а значит, относительно линии второго порядка существует ровно два асимптотических направления. В этом случае линия называется линией гиперболического типа. Можно проверить, что гипербола, пара пересекающихся прямых – линии гиперболического типа.
III. 
. Рассмотрев случаи, когда 
равно и не равно нулю, получим, что относительно линии второго порядка существует ровно одно асимптотическое направление. В этом случае линия второго порядка называется линией параболического типа. Убедитесь, что парабола, пара параллельных, пара мнимых параллельных и пара совпавших прямых являются линиями параболического типа.
О п р е д е л е н и е. Прямая называется касательной к линии второго порядка, если она пересекает эту линию в двух совпавших точках.
Из предыдущих рассуждений следует, что прямая, задаваемая уравнением (2), является касательной к линии второго порядка 
, если 
и 
.
|
|
|
Выбрав точку касания в качестве начальной точки 
для прямой 
, получим 
. Тогда 
, то есть
.
И в качестве направляющего вектора касательной можно выбрать вектор с координатами
.
Каноническое уравнение касательной в точке 
линии второго порядка будет иметь вид
.
У п р а ж н е н и е. Найти уравнение касательной к эллипсу, гиперболе, параболе, заданным каноническими уравнениями.
|
|
|
