Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Организация работы с теоремой.




Рассмотрим работу над теоремой в двух аспектах. Один из них связан с изучением теоремы начинающим учителем по учебнику, другой - с изучением этой же теоремы с учащимися в классе. Ниже приведена таблица, в которой представлены основные этапы такой работы.

 

 


  №   Этапы работы над математическим содержанием теоремы   № Этапы работы над методическим обеспечением доказательства теоремы на уроке
1. Анализ формулировки теоремы: выделение условия и заключения. Выявление существенности основных элементов формулировки. 1.1. 1.2. 1.3. Разработка средств, способствующих самостоятельному открытию учащимися математического факта, сформулированного в теореме. Иллюстрация существенности основных элементов формулировки, учёт возможных ошибок, подготовка соответствующих контрпримеров. Оформление чертежа, записи условия и заключения теоремы в форме «дано», «доказать».
2. Выяснение проблемы, приводящей к необходимости доказательства теоремы, значения теоремы и её приложений в системе теорем раздела и всего курса. 2. Обоснование (мотивировка) необходимости изучения теоремы. Характеристика роли теоремы.
3. Выявление метода, идеи, приёма доказательства теоремы. 3. Сообщение метода, идеи, приёма доказательства теоремы.
4. Изучение доказательства. Составление плана (алгоритма доказательства). 4.1. 4.2. 4.3. Разработка средств, способствующих самостоятельному отысканию доказательства учащимися. Составление алгоритма доказательства. Оформление записи доказательства.
5. Выявление математического содержания (понятий, аксиом, теорем), на которых основано доказательство теоремы. 5. Подготовка дидактических материалов, способствующих актуализации необходимых для усвоения теоремы знаний учащихся.
6. Исследование математической ситуации, возникающей при доказательстве теоремы. Рассмотрение всех возможных случаев. 6. Подготовка средств (вопросов, заданий, чертежей), способствующих исследованию математической ситуации.
7. Рассмотрение других способов доказательства теоремы 7. Обсуждение других способов доказательства теоремы.
8. Составление комплекса учебных задач, способствующих усвоению теоремы. 8. Решение комплекса учебных задач, способствующих усвоению теоремы.

Рассмотрим методическое обеспечение на примере доказательства первого признака равенства треугольников по учебнику А.В. Погорелова.

1.1 Для самостоятельного открытия факта, сформулированного в теореме, учащимся предварительно может быть предложена практическая работа.

1 вариант.

Используя чертёжный треугольник с углом 60°, постройте треугольник АВС, такой что АВ=10 см, АС=12 см, ÐА=60°.

2 вариант.

Используя чертёжный треугольник с углом 60°, постройте треугольник А1В1С1, такой что А1В1=10 см, А1С1=12 см, ÐА1=60°.

На уроке, измеряя стороны и углы, учащиеся придут к выводу о равенстве этих треугольников по определению.

1.2. В формулировке теоремы существенно, что угол лежит между равными сторонами. Проиллюстрируем это на примере треугольников.

Данные треугольники имеют общую сторону АВ, АС=BD и равные углы С и В. Не выполнено существенное условие теоремы: равные углы не лежат между равными сторонами. Очевидно, что треугольники не равны.

1.3.

В1
Дано: DАВС и DА1В1С1.

АВ = А1В1, АС =А1С1,

ÐА=ÐА1.

Доказать: DАВС = DА1В1С1.

 

2. По определению равенство треугольников предполагает наличие трёх пар равных элементов, признак сокращает их в 2 раза: до трёх пар равных элементов. Теорема играет важнейшую роль в курсе планиметрии, так как доказательство равенства треугольников станет основным методом доказательства.

3. Метод доказательства состоит в рассмотрении третьего треугольника

А2В2С2, равного треугольнику АВС и совпадающего с треугольником А1В1С1.

4.1. Самостоятельное доказательство теоремы учащимися в данном случае невозможно в связи с полным отсутствием опыта и сложностью метода доказательства.

4.2. Алгоритм доказательства:

1. Утверждаем существование треугольника А2В2С2 равного треугольнику АВС и определённым образом расположенного относительно треугольника А1В1С1.

2. Доказываем совпадение треугольников А2В2С2 и А1В1С1.

3. Делаем вывод о равенстве треугольников АВС и А1В1С1

4.3. Доказательство

1) По аксиоме VIII существует 2В2С2=DАВС:

вершина А2 совпадает с вершиной А1;

вершина С2 принадлежит лучу А1С1;

вершина В2 лежит в одной полуплоскости с вершиной В1 относительно прямой А1С1.

 
 
В1

 

 


2) Докажем, что вершины С1 и С2 совпадают.

А1С1 = АС (по условию),

АС=А2С2 (так как DА2В2С2=DАВС).

---------------------------------------------------

А1С12С2.

Следовательно, по аксиоме откладывания отрезков точки С1 и С2 совпадают.

Коррекция чертежа.

3) Докажем, что лучи А1В1 и А2В2 совпадают.

ÐА=ÐА1 (по условию),

ÐА=ÐА2 (так как DА2В2С2=DАВС).

------------------------------------------------------

ÐА1=ÐА2.

Следовательно, по аксиоме откладывания углов лучи А1В1 и А2В2 совпадают.

Коррекция чертежа.

4) Докажем, что вершины В1 и В2 совпадают.

Доказательство аналогично пункту (1)

Коррекция чертежа.

5) Вывод. По аксиоме о о единственности прямой, проходящей через две точки, треугольники А2В2С2 и А1В1С1 совпали. По сути это два имени одного и того же треугольника. Так как DА2В2С2=DАВС, то и А1В1С1=DАВС. Что и требовалось доказать.

5. Вдоказательстве теоремы используется:

· аксиома откладывания отрезков (VI);

· аксиома откладывания углов (VII);

· определение равных треугольников.

· аксиома существования треугольника, равного данному (VIII);

· аксиома о единственности прямой, проходящей через две точки (I).

В соответствии с приведённым списком учащимся могут быть предложены следующие задания на актуализацию знаний.

№1. На полупрямой а от её начальной точки B отложили два равных отрезка BM и BK. Что можно сказать о точках М и К? Обоснуйте ответ.

№2. От полупрямой а в одну и ту же полуплоскость отложены два равных угла (ав) и (ас). Что можно сказать о лучах а и с? Обоснуйте ответ.

№3. Сформулируйте аксиому существования треугольника, равного данному.

№4. Что означает выражение «Треугольник DAK равен треугольнику MNB»?

№5. Сколько равенств отрезков и углов определяют равенство треугольников?

6. В данном случае математическая ситуация исследована. Другие случаи не рассматриваются.

7. Иные способы доказательства не рассматриваем.

8. Приведём примеры задач по готовым чертежам, способствующих усвоению первого признака равенства треугольников.

Найти пары равных треугольников и доказать их равенство.

 

 

Рис. 16

 

Литература

1. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / под науч. ред. Н.Л. Стефановой. – М., Дрофа, 2005.

2.Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе: учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г. И. Саранцев, - М.: Просвещение, 2002.

3. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика, Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / составители Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. – М., Просвещение, 1985.

4. Погорелов А.В. Геометрия. 7- 9 классы: учебник для общеобразоват. учреждений / А.В. Погорелов. - 13-е изд. – М.: Просвещение, 2012 г.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...