Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Функции нескольких переменных. Интегралы.

Материал выставлен на странице кафедры математики

http://www.swsu.ru/structura/up/fivt/kvm/student_mathematical_olympiads.php

В подготовительном этапе олимпиады могут принимать участие все студенты 1-2 курсов. Решения можно сдать Федоровой Н.Б. или своему преподавателю до 20 декабря. 15 декабря будут выложены указания к решениям. Решения предложенных задач будут доступны 21 декабря. Наиболее активные участники первого этапа будут приглашены в математический кружок по решению олимпиадных задач с целью подготовки к Всероссийским и Международным математическим олимпиадам. Участие в работе математического кружка дает возможность получить 3-6 дополнительных баллов в модульно-рейтинговой системе. Участие в олимпиадах также дает дополнительные баллы: в международных – 10; в республиканских – 8; вузовских – 6 баллов. За призовые места добавляется ещё 4 балла.

Алгебра

1.1. Найти , где Е – единичная матрица второго порядка, т.е. решить матричное уравнение Х2 = Е.

 

1.2. Построить график функции .

1.3. Вычислить: .

 

1.4. Найти наименьшее , при котором выполняется равенство:

.

1.5. Доказать, что матричное уравнение , не имеет решений среди матриц с действительными элементами.

 

1.6. Изобразите на плоскости aOb множество точек (a,b), для которых система имеет более одного решения и найдите эти решения.

 

1.7. Докажите, что квадратная матрица второго порядка с положительными

элементами имеет собственный вектор с положительными координатами.

 

1.8. Доказать, что для любого действительного числа α

. При каких α достигается знак равенства?

 

 

2. Геометрия.Векторная алгебра и аналитическая геометрия

 

2.1. Определить вид треугольника АВС, если

а) ,

б)

в)

 

2.2. Известно, что и . Докажите, что

1) среди векторов нет ни одной пары коллинеарных;

2) вычислите значение выражения: .

 

2.3. К вершине куба приложены три силы, равные по величине 1, 2, 3 и

направленные по диагоналям граней куба, выходящим из этой вершины.

Найти величину равнодействующей этих сил и углы, образуемые с

составляющими силами.

 

2.4. В пирамиде SABC AS = a, BC =b, угол между векторами равен

φ. Найти расстояние между серединами ребер АВ и CS.

 

2.5. Под действием некоторой силы точка двигалась по окружности

. Действие силы прекратилось в тот момент, когда

точка занимала положение А(2;1). Определить дальнейшую траекторию

точки.

 

2.6. Парабола пересекает окружность в точках А и

В. Найти значение параметра , если ΔОАВ (О – начало координат)

– правильный.

 

2.7. В треугольнике АВС точка Н – точка пересечения высот, О – центр опи-

санной окружности, М – середина ВС, F – основание высоты, проведенной

из вершины А. Прямоугольник HOMF имеет стороны НО = 11 и ОМ = 5.

Найти длину ВС.

 

 

Пределы.

 

3.1. Найдите пределы функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

 

3.2. Найдите n из уравнения .

 

3.3. Докажите, что последовательность (xn), заданная формулами:

, имеет предел и найдите его.

 

Функция. Производная функции и её приложения.

 

4.1. Для многочлена n-ой степени Р(x) известно, что

. Докажите, что корни уравнения

Р(x) = 0 не превосходят а.

 

4.2. Найдите если .

 

4.3. Фигура ограничена линиями: , , . В какой точке

графика функции нужно провести к нему касательную

так, чтобы она отсекала от фигуры трапецию наибольшей площади?

4.4 Пусть f(x), - заданная дифференцируемая функция. Докажите,

что уравнение имеет хотя бы один корень.

 

4.5. Найдите наименьшее значение функции .

 

4.6. Найдите наименьшее значение ординаты середины отрезка длины а, кон-

цы которого расположены на параболе .

 

 

Функции нескольких переменных. Интегралы.

5.1. Найдите кратчайшее расстояние между поверхностью

и плоскостью .

 

5.2. При каких значениях параметра а производная функции z = x2 + y2 в

точке М(1,1) по направлению вектора принимает

наибольшее значение?

 

5.3. Вычислите интеграл: .

5.4. Найдите среднее значение функции на отрезке [0,1].

 

5.5. Вычислите .

 

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...