Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Интегральная теорема Муавра - Лапласа (без доказательства).

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0<p<1), событие наступит не меньше k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна: P(k1;k2)=Ф(х’’) – Ф(х’). Здесь Ф(х)=1/(корень из 2пи) * интеграл от0 до х е в степени –(z*2/2)dz – функция Лапласа, х’=(k1 – np)/(корень из npq), х’’=(k2 – np)/(корень из npq).

30. Интегральная теорема Муавра-Лапласа (без доказательств)

31. Системы двух с.в.; совместный закон распределения д.с.в.; закон распределения составляющих

Законом распределения дискретной двумерной случ величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел (xi, yj) и их вероятностей P(xi, yj).

y/x	x1	x2	…	xn
y1	p(x1, y1)	p(x2, y1)	…	p(xn, y1)
y2	p(x1, y2)	p(x2, y2)	…	p(xn, y2)
…	…	…	…	…
ym	p(x1, ym)	p(x2, ym)	…	p(xn, ym)

Зная закон распределения двумерной дискретной случ величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Например: События (X=x1, Y=y1)…(X=x1, Y=Ym) – несовместны, поэтому вероятность P(x1) того, что Х примет значение х1, по теореме сложения такова: P(x1)=p(x1, y1)+…+p(x1, ym). Т.о. вероятность того, что Х примет значение xi, равна сумме вероятностей «столбца хi». Аналогично, сложив «строки Yj», получим вероятность P(Y=yj).

32. Функция распределения двумерной случайной величины

Систему случ чисел величин X и Y изображают случ точкой на плоскости с координатами (X,Y), тогда вместо т. используется понятие случ вектора. Функция распределения системы 2х случ величин называется вероятностью совместного выполнения двух неравенств:

P(x,y)=P(X<x)P(Y<y). Геометрически это означает, что функция распределения есть вероятность попадания случ точки в бесконечный квадрат с вершиной в точке (X,Y), лежащий ниже и левее этой точки.

Свойства функции распределения:

1. x2>x1, F(x2,y)≥F(x1,y)

y2>y1, F(x,y2)≥F(x, y1)

2. F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0

3. F(∞,∞)=1

4. F(x, ∞)=F(x); F(∞,y)=F(y);

33. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник

С помощью , можно вычислять вероятности попадания случайной точки в прямоугольник:

34. Плотность вероятностей непрерывной д.в.с.; вероятность попадания случайной точки в произвольную область.

Плотностью распределения системы 2х случ величин называется вторая смешанная частная производная от функции распределения:

P((x,y)cP∆)=F(x+∆x, y+∆y)-F(x+∆x, y)-F(x, y+∆y)+F(x,y)

Плотность распределения системы случ величин представляет собой плотность распределения массы в точке с координатами x,y.

f(x,y)dxdy

Элем. вероятность f(x,y)dxdy есть вероятность попадания в элемент. прямоугольник со сторонами dx, dy. Эта вероятность равна объему параллелепипеда, ограниченного сверху поверхностью f(x,y) и отражающегося на элементарный участок dxdy.

Свойства плотности:

1. f(x,y)≥0

- полный объем тела, ограниченного поверхностью распределения с плоскостью xOy = 1.

35. Условные законы распределения составляющих системы двух случайных величин

Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину и найдем закон распределения составляющей Х при условии, что Y примет определенное значение (например, Y = у ₁). Для этого воспользуемся формулой Байеса, считая гипотезами события Х = х ₁, Х = х ₂,…, Х = х_п, а событием А – событие Y = у ₁. При такой постановке задачи нам требуется найти условные вероятности гипотез при условии, что А произошло. Следовательно,

Таким же образом можно найти вероятности возможных значений Х при условии, что Y принимает любое другое свое возможное значение:

Аналогично находят условные законы распределения составляющей Y:

36. Математическое ожидание и дисперсия системы двух случайных величин. Условное мат. Ожидание

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при X = x (х – определенное возможное значение Х) называется произведение всех возможных значений Y на их условные вероятности.

Для непрерывных случайных величин:

где f(y/x) – условная плотность случайной величины Y при X=x.

37. Зависимые и независимые случайные величины. Теоремы о необходимых и достаточных условиях независимости

2 случ величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Следовательно, условные распределения независимых величин равны их безусловным распределениям.

Теорема: Для того, чтобы случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих:

F(x, y)=F1(x)F2(y)

Следствие: Для того, чтобы непрерывные случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих:

f(x, y)=f1(x)f2(y)

38. Системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

39. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии

Пример:

40. Числовые характеристики коррелированных случайных величин.

Случайные величины называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля, и некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю.

Корреляционным моментом m_xy случайных величин Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин.

Корреляционный момент служит для того, чтобы охарактеризовать связь между случайными величинами. Если случайные величины независимы, то их корреляционный момент равен нулю.

Коэффициентом корреляции r_xy случайных величин Х и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной. Коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю.

41. Функции одной случайной величины; числовые характеристики; закон распределения

Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента X: Y=φ(X).

При записи закона распределения вероятности y руководствуются следующими правилами:

1. Если различным возможным значениям X соответствуют различные возможные значения Y, то вероятности соответствующих значений X и Y равны между собой: P(X=xi)=P(y=f(xi))=pi.

2.Если различным возможным значениям Х соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y.

42. Функции двух случайных величин

Если каждой паре возможных значений случ величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случ аргументов X и Y: Z=φ(X, Y).

1. Пусть X и Y – дискретные независимые случ величины. Для того, чтобы составить закон распределения функции Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Т.к. X и Y независимые случ величины, то zi=xi+yi, pz=px*py. Если zi=zj, то их вероятности складываются.

2. Пусть X и Y – непрерывные случ величины. Доказано: если X и Y независимы, то плотность распределения g(z) суммы Z=X+Y (при условии, что плотность хотя бы одного из аргументов задана на интервале(-∞;∞) одной формулой) может быть найдена с помощью формулы:

, где f1, f2 – плотности распределения аргументов.

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то g(z) находят по формуле:

Плотность распределения суммы независимых случ величин называют композицией, а закон распределения вероятностей называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон. M(z)=M(x)+M(y); D(z)=D(x)+D(y).

43. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения