Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Генерального среднего квадратического отклонения и неизвестного




Значения генерального среднего арифметического

3. Значение генерального среднего квадратического отклонения из­вестно. Значение генерального среднего арифметического известно.

Этот случай довольно часто встречается на практике при контроле постоянно протекающих процессов (транспортировка газа, жидкости и т.п.). Проверка принадлежности к нормально­му распределению для этих условий возможна даже для выбор­ки, состоящей из одного члена. Предположим, что выборка упо­рядочена и представлена в виде (4.62). Значение генерального среднего арифметического обозначим а. Рассчитаем значения:

Если какое-то значение, полученное по зависимостям (4.67), будет больше критических значений β, приведенных в табл. 4.5, то соответствующий результат должен быть исключен.

Таблица 4.5. Предельные значения р для, случая известных значений генерального среднего арифметического и генерального

Среднего квадратического

После оценки наличия грубых погрешностей и исключения содержащих их результатов производят оценку наличия система­тических погрешностей и внесение поправок в результаты измерений. Если во всех результатах содержится постоянная систематическая погрешность, то допускается исключать ее после вычисления среднего арифметического неисправленных резуль­татов наблюдений.

Определение результата измерения и оценка его среднего квадратического отклонения За результат измерения принимают среднее арифметическое результатов наблюдений, в которые предварительно введены поправки для исключения системати­ческих погрешностей.

Несмещенной оценкой генерального среднего арифметиче­ского значения исправленных результатов наблюдений (а) нор­мального распределения является выборочное среднее X, опре­деляемое по формуле (4.63). Несмещенная оценка (Si) для гене­рального среднего квадратического отклонения (α) определяет­ся по зависимости:

Зависимости (4.68) и (4.69) позволяют оценить среднее квадратическое отклонение результата наблюдения.

Среднее квадратическое отклонение S(A) результата измере­ния оценивают по формуле:

Доверительные границы случайной погрешности результата измерения ГОСТ 8.207 установил методику оценки довери­тельных границ случайной погрешности результата измерения для результатов наблюдений, принадлежащих нормальному распределению. Если это условие не выполняется, то методы вычисления доверительных границ случайной погрешности должны быть указаны в методике выполнения конкретных измерений.

Принадлежность результатов наблюдений к нормальному распределению проверяют с помощью специальных критериев.

Если число результатов наблюдений п > 50, то для проверки принадлежности их к нормальному распределению предпочти­тельно использовать один из критериев: χ2 Пирсона или ω2 Мизеса — Смирнова.

  1. Критерий χ2 Пирсона. Результаты наблюдений случайной величины xi располагают в порядке возрастания (4.62) и вычис­ляют размах хп — х1. Размах разбивают на г равных интервалов шириной h:

Число интервалов r выбирают в зависимости от объема вы­борки п. При п = 200 r = 18—20, при п = 400 r = 25—30, при п = 1000 r=— 35—40. Стандарт не рекомендует использовать кри­терий Пирсона при числе наблюдений меньше 200, допуская в исключительных случаях его применение при 100 < п < 200 с количеством интервалов r = 15—18. Однако в работе [10] приво­дятся несколько иные рекомендации. Так, при числе наблюде­ний 50 < п≤ 100 рекомендуемое число интервалов r = 7—9, при 100 < п ≤ 500 r = 8—12, при 500 < n ≤1000 r = 10—16 и при 1000 < п ≤ 10 000 r = 12—22.

Результаты наблюдений группируют по полученным интер­валам и подсчитывают частоты mj попадания результатов на­блюдений в j -е интервалы.

Затем вычисляются среднее арифметическое значение X и среднее квадратическое отклонение S:

Задаются значением доверительной вероятности того, что величина χ2, полученная вследствие случайных отклонений частостей опытного распределения от соответствующих вероятно­стей теоретического распределения, будет меньше значения

(χ *)2, установленного для значения доверительной вероятности γ. Для доверительной вероятности γи числа степеней свободы k= r — 1 находят величину (χ*)2/k, вычисляют (χ*)2 и сравнивают с ним вычисленную величину χ2. Если χ2окажется меньше ( χ *)2, то для принятой доверительной вероятности гипотеза о согласии опытного и теоретического распределений принимается, в про­тивном случае — отвергается.

2. Критерий ω 2 МизесаСмирнова. Критерий ω2 является более мощным, чем критерий χ2, но его применение требует выполнения большого количества вычислительных операций. Критерий ω2 может быть применен, если число наблюдений превышает 50. Его применение является обязательным, если число наблюдений меньше 200; если число наблюдений более 200, то его применение рекомендуется в случаях, когда результа­ты проверки по другим критериям не позволяют сделать безус­ловный вывод о согласии опытного и теоретического распреде­лений. Например, если при проверке согласия по критерию χ2 гипотеза принята при уровне значимости 0,1 и отвергнута при уровне значимости 0,05, то следует дополнительно применить критерий ω 2.

Вычисление по критерию ω2 проводят в следующем порядке.

Вычисляют значение величины по формуле:

Если число результатов наблюдений 50 > п > 15, то для про­верки принадлежности их к нормальному распределению пред­почтительно использовать составной критерий.

  1. Составной критерий. Критерий 1. Вычисляют отно­шение d по формуле:

Значения Р определяются из табл. 4.8 по выбранному уров­ню значимости q* и числа результатов наблюдений п.

При уровне значимости, отличном от представленных в табл. 4.8, значение Р находят путем линейной интерполяции.

В случае если при проверке нормальности распределения результатов наблюдений группы для критерия 1 выбран уро­вень значимости q, а для критерия 2 — уровень значимости q*, то результирующий уровень значимости составного критерия qΣ<q + q*.

В случае если хотя бы один из критериев не соблюдается, то считают, что распределение результатов наблюдений группы не соответствует нормальному.

Если число результатов наблюдений n≤ 15, то принадлеж­ность их к нормальному распределению не проверяют. Нахож­дение доверительных границ случайной погрешности результата измерения по рассматриваемой нами методике возможно только в том случае, если заранее известно, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению.

Доверительные границы ε (без учета знака) случайной по­грешности результата измерения находят по формуле:

Значения коэффициента Стьюдента в зависимости от зада­ваемых значений доверительной вероятности Р и числа резуль­татов наблюдений п приведены в табл. 4.9.

Таблица 4.9. Значения коэффициента tp,n для случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с n - 1 степенями свободы

Доверительные границы неисключенной систематической по­грешности результата измерения Не исключенная систематиче­ская погрешность результата измерения образуется из состав­ляющих, в качестве которых могут быть рассмотрены неисключенные систематические погрешности метода измерения, средств измерений или вызванные другими источниками.

В качестве границ составляющих неисключенной систематиче­ской погрешности принимают, например, пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если случайные составляющие погрешности пренебрежимо малы.

При суммировании составляющих неисключенной система­тической погрешности результата измерения неисключенные систематические погрешности средств измерений каждого типа и погрешности поправок рассматривают как случайные величи­ны. При отсутствии данных о виде распределения случайных величин их распределения принимают за равномерные.

Границы неисключенной систематической погрешности 0 результата измерения вычисляют путем построения композиции неисключенных систематических погрешностей средств измере­ний, метода измерения и погрешностей, вызванных другими источниками. При равномерном распределении неисключенных систематических погрешностей эти границы (без учета знака) можно вычислить по формуле:

При трех или четырех слагаемых Θi в качестве значения Θ1 принимают составляющую, по числовому значению наиболее отличающуюся от других, а в качестве Θ2 — ближайшую по зна­чению к Θ1 составляющую.

Доверительную вероятность для вычисления границ неис­ключенной систематической погрешности принимают той же, что и при вычислении доверительных границ случайной по­грешности результата измерения.

Граница погрешности результата измерения Методика оценки границ погрешности результата измерения зависит от соотно­шения значений случайной и неисключенной систематической составляющих, рассмотренных нами выше. Выделяют три воз­можных случая.

1. Неисключенной систематической составляющей погреш­ности результата измерения можно пренебречь. Необходимым условием для этого является соблюдение неравенства:

На основе (4.83) принимают, что граница погрешности ре­зультата измерения ∆ = ε.

2. Случайной составляющей погрешности результата измере­ния можно пренебречь. Необходимым условием для этого явля­ется соблюдение неравенства:

На основе (4.84) принимают, что граница погрешности ре­зультата измерения ∆= Θ.

При выполнении условий 1 и 2 погрешность оценки вели­чины ∆ за счет пренебрежения значением случайной или неисключенной систематической составляющих не превышает 15%.

3. В случае если неравенства (4.83) или (4.84) не выполняют­ся, границу погрешности результата измерения находят путем построения композиции распределений случайных и неисклю-ченных систематических погрешностей, рассматриваемых в дан­ном случае. Если доверительные границы случайных погрешно­стей найдены в соответствии с (4.80), то допускается границы погрешности результата измерения ∆ (без учета знака) вычис­лять по формуле:

Форма записи результатов измерений При оформлении резуль­татов измерений следует пользоваться рекомендациями МИ 1317.

Если доверительные границы погрешности результата измерения симметричны, то результаты измерений представляют в форме:

Числовое значение результата измерения должно оканчи­ваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности ∆.

Если данные о виде функций распределений составляющих погрешности результата измерения и необходимость в дальней­шей обработке результатов или анализе погрешностей отсутст­вуют, результаты измерений представляют в форме:

В случае если границы неисключенной систематической по­грешности 0 вычислены в соответствии с (4.81), следует дополни­тельно указывать доверительную вероятность Р. Значения S(A) и Θ могут быть выражены в абсолютной и относительной формах.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...