Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Краткие теоретические сведения




Под колебательным контуром принято понимать электротехническое устройство, состоящее из определенным образом соединенных катушки индуктивности, конденсатора и источника электрической энергии, принцип действия которого основан на явлении резонанса.

Явление резонанса многогранно и проявляется в различных областях: резонансное поглощение звуковых и электромагнитных волн атомами вещества, звучание струнных и духовых инструментов, качели в парке и пр. Классическое определение говорит, что резонанс есть резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты внешней вынуждающей силы с собственной частотой системы. В электротехнике понятие амплитуды применяется по отношению к двум типам сигналов: ток и напряжение. Таким образом, резонанс в колебательном контуре соответствует резкому увеличению амплитуды колебаний тока или напряжения.

Различают одиночные последовательный и параллельный колебательные контура. В первом оказываются последовательно соединенными катушка индуктивности, конденсатор и источник (генератор) гармонического напряжения, а во втором – параллельно соединены катушка индуктивности, конденсатор и источник (генератор) гармонического тока. На рис. 5.1 приведены электрические схемы замещения последовательного (а) и параллельного (б) колебательных контуров.

Рис. 5.1. Электрические схемы замещение последовательного (а) и параллельного (б) колебательных контуров

На данных электрических схемах индуктивность реализует основную функцию катушки индуктивности (накопление энергии в магнитном поле), емкость реализует основную функцию конденсатора (накопление энергии в электрическом поле), идеальные источники гармонического тока и ЭДС реализуют основную функцию генераторов (генерирование электрической энергии), а добавленные в схемы диссипативные элементы (сопротивление и проводимость ) характеризуют неидеальность самих устройств. Так сопротивление , носящее название сопротивления потерь, включает в себя внутреннее сопротивление генератора гармонического напряжения, сопротивление потерь катушки индуктивности (включая потери в обмоточных проводах, сердечнике и диэлектрическом каркасе), а также сопротивление потерь конденсатора (связанное с релаксационными видами поляризации диэлектрика конденсатора, а также сопротивление изоляции конденсатора). Аналогичным образом, величина проводимости потерь складывается из внутренней проводимости генератора гармонического тока, проводимости потерь катушки индуктивности, а также проводимости потерь конденсатора.

Выясним, при каком условии в колебательном контуре наступает резонанс. Для этого рассмотрим, например, последовательный колебательный контур (рис. 5.2).

Рис. 5.2

Воспользуемся вторым законом Кирхгофа и законом Ома в комплексной форме, и определим комплексную амплитуду тока в контуре:

, (5.1)

где , и .

Подставляя выражения для комплексных амплитуд напряжений на элементах контура во второй закон Кирхгофа, получаем:

. (5.2)

Выражение, стоящее в знаменателе дроби есть не что иное, как комплексное входное сопротивление последовательного колебательного контура.

Определим амплитуду колебаний тока в контуре и выясним, при каком условии (при какой угловой частоте гармонического воздействия ) она достигает своего максимального значения. С этой целью найдем модуль комплексной дроби (5.2):

. (5.3)

Поскольку от частоты гармонического воздействия зависит только знаменатель полученной дроби, то максимальное значение амплитуды тока будет достигнуто при условии минимума подкоренного выражения. А так как подкоренное выражение есть сумма двух заведомо положительных чисел, то минимального значения оно достигнет тогда, когда частотно-зависимое слагаемое обратиться в ноль:

, (5.4)

а, следовательно, искомая частота гармонического воздействия, при которой наблюдается явление резонанса, определяется выражением:

. (5.5)

Данная частота, при которой в колебательном контуре наблюдается явление резонанса, называется угловой резонансной частотой колебательного контура, а выражение (5.5) носит название формулы Томпсона. Помимо угловой резонансной частоты в теории колебательных контуров применяют также линейную резонансную частоту, связанную с ней выражением вида:

.

Аналогично, можно показать, что резонанс в параллельном колебательном контуре (рис. 5.3) наблюдается при том же самом условии.

Рис. 5.3

Действительно, согласно первому закону Кирхгофа в комплексной форме:

, (5.6)

где , и . Повторяя изложенную выше процедуру для комплексной амплитуды напряжения в контуре, находим:

. (5.7)

Выражение, стоящее в знаменателе дроби есть не что иное, как комплексная входная проводимость параллельного колебательного контура.

Таким образом, амплитуда колебаний напряжения в контуре определяется выражением:

, (5.8)

а условие наступления резонанса имеет вид:

. (5.9)

Решение данного уравнения приводит к выражению (5.5) для резонансной частоты колебательного контура.

Анализируя полученные результаты, приходим к выводу, что резонанс наблюдается тогда, когда комплексное входное сопротивление последовательного колебательного контура (или комплексная входная проводимость параллельного колебательного контура) становится вещественным (равным сопротивлению или проводимости потерь контура). Данные сопротивление и проводимость носят название резонансных.

Поскольку на резонансной частоте комплексные входные сопротивление и проводимость становятся вещественными (равными и , соответственно), то, согласно выражениям (5.2) и (5.7), на данной частоте отсутствует сдвиг фаз между гармоническими током и задающей ЭДС в последовательном колебательном контуре, а также между гармоническими напряжением и задающим током в параллельном колебательном контуре (то есть эти сигналы являются синфазными).

Комплексные же сопротивления индуктивности и емкости на данной частоте оказываются одинаковыми по модулю и противоположными по фазе:

. (5.10)

Величина модуля комплексного сопротивления индуктивности или емкости на резонансной частоте называется характеристическим сопротивлением и обозначается символом :

. (5.11)

Поскольку в последовательном колебательном контуре через все элементы протекает один и тот же ток, то согласно (5.10) напряжения на реактивных элементах (индуктивности и емкости) в режиме резонанса оказываются противофазными и в сумме дают ноль. По этой причине резонанс в последовательном колебательном контуре носит название резонанса напряжений.

Аналогично, комплексные проводимости индуктивности и емкости в параллельном колебательном контуре на резонансной частоте оказываются одинаковыми по модулю и противоположными по фазе:

. (5.12)

Величина модуля комплексной проводимости индуктивности или емкости на резонансной частоте называется характеристической проводимостью и обозначается символом :

. (5.13)

Поскольку в параллельном колебательном контуре на всех элементах падает одно и то же напряжение, то согласно (5.12) токи в реактивных элементах (индуктивности и емкости) в режиме резонанса оказываются противофазными и в сумме дают ноль. По этой причине резонанс в параллельном колебательном контуре носит название резонанса токов.

Сравнивая выражения (5.11) и (5.13) не трудно заметить, что характеристическая проводимость и характеристическое сопротивление есть обратные друг по отношению к другу величины.

Таким образом, на резонансной частоте в последовательном (5.14 а) и параллельном (5.14 б) контурах выполняются следующие соотношения между токами и напряжениями:

(а), (б) (5.14)

Наличие множителя (или ) в выражениях для комплексных амплитуд напряжений (токов) на реактивных элементах свидетельствует об опережении (или отставании) этих сигналов относительно задающей ЭДС (или задающего тока) на . Данные амплитудно-фазовые соотношения качественно представлены на рис. 5.4 в виде векторных диаграмм токов и напряжений.

Рис. 5.4. Векторные диаграммы напряжений в последовательном (а) и токов в параллельном (б) контурах на резонансной частоте

Если частота гармонического воздействия несколько отличается от резонансной частоты колебательного контура, то картина амплитудно-фазовых соотношений меняется, и они принимают вид выражений (5.15 а) для последовательного и (5.15 б) для параллельного колебательных контуров:

(а), (б) (5.15)

Сравнивая выражения (5.14) и (5.15) приходим к выводу, что изменения частоты не изменяет фазовых соотношений между напряжениями последовательного контура и токами параллельного (то есть взаимное расположение векторов сохраняется), меняются лишь амплитудные соотношения. Так при частоте выше резонансной в последовательном колебательном контуре напряжение на индуктивности растет по амплитуде по отношению к напряжению на сопротивлении, а на емкости, наоборот, уменьшается. Аналогично, в параллельном колебательном контуре ток, протекающий через емкость, растет по амплитуде по отношению к току, протекающему через проводимость, а ток, протекающий через индуктивность, наоборот, уменьшается. Данные соотношения качественно представлены на рис. 5.5 (для ) и рис. 5.6 (для ) в виде векторных диаграмм токов и напряжений.

Рис. 5.5. Векторные диаграммы напряжений в последовательном (а) и токов в параллельном (б) колебательных контурах на частоте выше резонансной ()

 

Рис. 5.6. Векторные диаграммы напряжений в последовательном (а) и токов в параллельном (б) колебательных контурах на частоте ниже резонансной ()

Рассмотрев амплитудные и фазовые соотношения между токами и напряжениями в колебательном контуре, обратимся к вопросу энергетических соотношений, и введем важное для колебательных контуров понятие добротности.

Под добротностью принято понимать отношение энергии накопленной в системе к энергии потерь в ней за время резонансного периода, умноженное на :

, (5.16)

где - энергия, запасенная в системе, - величина энергетических потерь за время резонансного периода .

Накопителями энергии в колебательном контуре служат реактивные элементы (индуктивность и емкость), а потери энергии связаны с наличием диссипативного элемента (сопротивление или проводимость). Рассмотрим подробнее процессы накопления и потерь энергии в колебательном контуре.

Пусть ток, протекающий через элементы последовательного колебательного контура, изменяется по гармоническому закону вида:

. (5.17)

Тогда законы изменения напряжений на элементах контура будут иметь вид:

(5.18)

Мгновенные электрические мощности, развиваемые на зажимах этих элементов, окажутся равными:

(5.19)

Анализ первого из выражений (5.19) показывает, что мощность, развиваемая на зажимах диссипативного элемента (сопротивления) всегда положительна. Этот факт свидетельствует о необратимости процесса преобразования электрической энергии в тепловую. В то же время анализ двух последних выражений (5.19) позволяет заключить, что мощность, развиваемая на зажимах реактивных элементов, может быть как положительной, так и отрицательной. Положительные значения данных мощностей соответствуют процессам запасания энергии в реактивных элементах, а отрицательные значения – отдачи запасенной энергии в цепь. В отличие от гармонических токов и напряжений, частота изменения которых совпадает с частотой внешнего воздействия, все три мгновенные мощности изменяются с удвоенной частотой внешнего гармонического воздействия.

Из курса «Высшей математики» известно, что среднее значение любой гармонической функции за период равно нулю. Таким образом, активная мощность, определяемая как:

(5.20)

оказывается равной нулю для реактивных элементов, и отлична от нуля для диссипативного элемента.

А это означает, что диссипативный элемент отвечает за потери в системе и необратимо преобразует электрическую энергию в тепловую с мощностью:

. (5.21)

Реактивные же элементы в среднем мощность не потребляют, а лишь могут ее накапливать и отдавать, причем положительное значение мощности соответствует процессу накопления энергии, а отрицательное значение – процессу отдачи энергии. Разный знак в выражениях для мощностей реактивных элементов показывает, что процесс накопления энергии в одном из этих элементов соответствует процессу отдачи энергии другим элементом, и наоборот.

Таким образом, энергию , накопленную в колебательном контуре, можно определить как энергию, запасенную целиком в индуктивном или емкостном элементе, или сумму энергий, запасенных в обоих реактивных элементах:

. (5.22)

Из курса «Физики» известно, что энергия, накопленная в реактивных элементах, определяется как:

,

Таким образом:

(5.23)

и энергия, накопленная в последовательном колебательном контуре, может быть найдена как:

. (5.24)

Пользуясь связью мощности и энергии, найдем потери энергии в системе:

. (5.25)

Подставляя выражения (5.24) и (5.25) в (5.16), получаем:

. (5.26)

Итак, добротность последовательного колебательного контура определяется как отношение характеристического сопротивления контура к сопротивлению потерь в нем.

Аналогично, нетрудно получить выражение для добротности параллельного колебательного контура.

Пусть напряжение на элементах параллельного колебательного контура изменяется по гармоническому закону вида:

. (5.27)

Тогда законы изменения токов, протекающих через элементы контура, будут иметь вид:

(5.28)

Мгновенные электрические мощности, развиваемые на зажимах этих элементов, окажутся равными:

Таким образом, активная мощность, развиваемая на зажимах диссипативного элемента (проводимости), определяемая как:

. (5.30)

Энергию , накопленную в колебательном контуре, можно по-прежнему определить как энергию, запасенную целиком в индуктивном или емкостном элементе, или сумму энергий, запасенных в обоих реактивных элементах:

(5.31)

и, таким образом, энергия, накопленная в последовательном колебательном контуре, может быть найдена как:

. (5.32)

Потери энергии в системе:

. (5.33)

Подставляя выражения (5.32) и (5.33) в (5.16), получаем:

. (5.34)

Итак, добротность параллельного колебательного контура определяется как отношение характеристической проводимости контура к проводимости потерь в нем.

Одно из многочисленных проявлений резонанса нашло применение в электронике для создания так называемых электрических фильтров, то есть для частотного разделения сигналов. Рассмотрим частотные свойства колебательных контуров. Как правило, для характеристики частотных (избирательных) свойств колебательного контура используют так называемые обобщенные частотные характеристики. Для последовательного колебательного контура в качестве таковой выступает нормированная комплексная входная проводимость:

, (5.35)

а для параллельного колебательного контура - нормированное комплексное входное сопротивление:

. (5.36)

Воспользуемся выражениями (5.11), (5.13), (5.26) и (5.34), определяющими характеристическое сопротивление и добротность последовательного и параллельного колебательных контуров:

и перепишем выражения (5.38) и (5.39) в более удобной форме:

, (5.37)

. (5.38)

Входящая в выражения (5.37) и (5.38) комбинация вида:

(5.39а)

носит название относительной расстройки частоты [1], а отношение

(5.39б)

называется нормированной частотой.

Разделив числитель и знаменатель дробей (5.37) и (5.38) на величину сопротивления потерь и проводимости потерь , соответственно, и введя согласно (5.26) и (5.34) добротность , приходим к выражениям для нормированных комплексных входных проводимости и сопротивления вида:

. (5.40)

. (5.41)

В полученных выражениях введена так называемая обобщенная расстройка частоты:

. (5.42)

Как видно из выражений (5.40) и (5.41) обобщенные частотные характеристики для последовательного и параллельного контура выглядят одинаково. Вид обобщенных частотных характеристик приведен на рис. 5.7.

Рис. 5.7. Вид обобщенных частотных характеристик последовательного и параллельного колебательных контуров

Из рисунка 5.7 видно, что переход от угловой частоты к безразмерной обобщенной расстройке частоты приводит к тому, что обобщенная резонансная кривая и обобщенная фазовая характеристика становятся симметричными относительно положения резонанса (). Причем ток в последовательном колебательном контуре опережает задающую ЭДС, а напряжение в параллельном колебательном контуре опережает задающий ток по фазе при , а отстают от них - при ; при выполнении же условия они становятся синфазными.

Введем важное понятие, характеризующее частотные свойства колебательного контура – полосу пропускания. Под полосой пропускания колебательного контура принять понимать диапазон частот, в пределах которого значения АЧХ уменьшаются относительно ее максимального значения не более чем в раз. Величина носит название неравномерности АЧХ и обычно выбирается равной .

Определим границы частотной области, в которой заключена полоса пропускания колебательного контура. Для этого воспользуемся любым из выражений (5.40) или (5.41) и определением полосы пропускания:

(5.43)

и для

. (5.44)

Данным границам полосы пропускания колебательного контура соответствуют значения обобщенной ФЧХ равные , как это показано на рис. 5.7 (б).

Выясним, каким значениям угловой частоты воздействия соответствуют найденные границы полосы пропускания. Согласно выражениям (5.39) и (5.42):

. (5.45)

Умножим все слагаемые данного выражения на и перенесем их в левую часть равенства. Получим квадратные уравнения вида:

. (5.46)

Неотрицательные решения этих уравнений оказываются равными:

, . (5.47)

Здесь и - нижняя и верхняя границы полосы пропускания.

Перемножив между собой решения (5.47) можно прийти к одному из важных частотных свойств колебательного контура, носящему название свойства геометрической симметрии:

. (5.48)

Другое важное частотное свойство колебательных контуров соответствует распространенному на практике случаю высокой добротности (). Это свойство арифметической симметрии, заключающееся в том, что при большой добротности колебательного контура граничные частоты полосы пропускания и расположены симметрично по обе стороны от резонансной частоты:

, . (5.49)

Разность между частотами, соответствующими верхней и нижней границе полосы пропускания, называется шириной полосы пропускания и согласно (5.47) составляет:

, (5.50)

а для случая неравномерности :

, или же . (5.51)

Итак, ширина полосы пропускания равна отношению резонансной частоты к добротности колебательного контура. Таким образом, чем больше добротность колебательного контура, тем уже его полоса пропускания, и тем лучше его избирательные свойства, и наоборот.

На рис. 5.8 для наглядности приведены частотные характеристики колебательного контура для двух различных добротностей.

Рис. 5.8. Вид обобщенных частотных характеристик последовательного и параллельного колебательных контуров для двух различных значений добротности контура

Выясним, от чего зависит ширина полосы пропускания колебательного контура. Для этого воспользуемся полученными ранее выражениями, определяющими резонансную частоту и добротность последовательного и параллельного колебательных контуров:

· для последовательного колебательного контура

или же . (5.52)

· для параллельного колебательного контура

или же . (5.53)

Из полученных выражений видно, что ширина полосы пропускания последовательного колебательного контура определяется индуктивностью и сопротивлением потерь, но не зависит от величины емкости в контуре, а для параллельного колебательного контура - определяется величиной емкости и проводимости потерь, но не зависит от величины индуктивности.

Поскольку основное применение в электротехнике колебательные контура нашли в виде электрических фильтров, то они являются звеном между источником сигнала (генератором тока или напряжения) и потребителем (нагрузкой). Такие колебательные контура носят название нагруженных колебательных контуров (рис. 5.9).

Рис. 5.9. Схемы замещения нагруженных последовательного (а) и параллельного (б) колебательных контуров

Установим связь между добротностями нагруженного и ненагруженного колебательных контуров:

· для последовательного колебательного контура

, (5.54)

где и - сопротивления потерь, вносимые генератором и потребителем в контур, соответственно;

· для параллельного колебательного контура

, (5.55)

где и - проводимости потерь, вносимые генератором и потребителем в контур, соответственно.

Как показывают выражения (5.54) и (5.55), из-за наличия у генератора и потребителя собственного сопротивления (или проводимости) потерь добротность всей системы уменьшается.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...