 |
Окружность, вписанная в правильный многоугольник
|
|
|
|
Тема «Числовые последовательности»
1. Рассмотрим четыре функции:
1) у = х 2, х 
[0; 1]; 3) у = х 2;
2) у = х 2, х [0; +∞); 4) у = х 2, х N.
Они заданы одной и той же формулой у = х 2, но области определения функций различны.
В третьем случае D (f) = (–∞; +∞), в четвертом случае область определения – множество N натуральных чисел D (f) = N.
Графики этих функций изображены на рис. 121–124 (с. 137 учебника).
График четвертой функции состоит из отдельных точек.
2. Прочитать по учебнику на с. 112 две задачи из учебника «Алгебра–7» и сделать вывод, что функции, заданные на множестве натуральных чисел (у = f (x), x N), нужно изучать.
3. Математики как-то задумались: зачем писать у = f (x), x N, не проще ли в таких случаях писать у = f (n), договорившись раз и навсегда подразумевать в этой записи, что аргумента n – натуральное число (n N). Так и сделали: например, вместо записи у = х 2, х N, решили использовать запись у = n 2.
И еще об одном обстоятельстве они договорились: вместо f (1) писать
у 1, вместо f (2) – у 2, вместо f (3) – у 3и т. д.; вместо f (n) – yn.
Значения функции у = f (n) можно записать последовательно одно за другим: f (1); f (2); f (3), …, f (n), … или же y 1, y 2, y 3, …, yn, … Например, для функции у = n 2имеем: у 1= 1; у 2= 4; у 3= 9;… Полученные значения можно записать последовательно одно за другим: 1; 4; 9; 16; … n 2, …
Число 1 в этой записи находится на первом месте, 4 – на втором, 9 – на третьем, 16 – на четвертом, а n 2– на n -ом месте.
4. Подчеркнем еще раз, что три математические модели:
1) у = f (x), х N;
2) у = f (n);
3) f (1), f (2), f (3), …, f (n), … или y 1, y 2, y 3, …, yn, …
(уn= f (n)) – различны по форме, но одинаковы по содержанию.
5. О п р е д е л е н и е 1. Функцию вида у = f (x), x N, называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у = f (n) или y 1, y 2, y 3, …, yn, ….
|
|
|
6. Значения y 1, y 2, y 3(и т. д.) называют соответственно первым, вторым, третьим (и т. д.) членами последовательности.
В символе уn число n называют индексом, который характеризует порядковый номер того или иного члена последовательности (уn).
7. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, словесный и рекуррентный.
8. Аналитическое задание числовой последовательности:
Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее n -го члена уn= f (n).
Рассмотреть примеры 1–10 на с. 139–142 учебника.
Способы задания последовательностей
Повторить:
1. Сформулируйте определение числовой последовательности.
2. Назовите способы задания числовой последовательности.
3. Приведите пример последовательности, заданной формулой n -го члена. Найдите пять первых членов этой последовательности.
4. Последовательность (уn) задана формулой уn= 6 n –1. Найдите y 1; y 4; y 20; y 100; уk.
5. Решить № 15.2 устно.
Новый материал:
1. Рассмотрим словесное задание последовательности.
Известно, что 
= 1,41421… С этим иррациональным числом можно связать две последовательности:
1) последовательность десятичных приближений числа по недостатку 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142,…
2) последовательность десятичных приближений числа по избытку 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143,…
В обоих случаях правило составления последовательности описано словами (не формулой).
2. Решить № 15.6 и № 15.8 устно.
3. Важный для приложений способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Такой способ задания последовательности называют рекуррентным (от лат. слова recurrere – возвращаться).
4. Рассмотреть примеры 11–13 на с. 142–144 учебника
изучить материал учебника на с. 142–144; решить №15.4,15.9; 15.13,15.16 15.20 (а; б); № 15.21 (а; б); № 15.28; № 15.31 (а; б);
|
|
|
Геометрия
Правильный многоугольник. Окружность,
описанная около правильного многоугольника
Повторение
1. Повторить формулу суммы углов выпуклого многоугольника и записать ее.
2. Сформулировать свойство биссектрисы угла и признак равнобедренного треугольника.
3. Повторить теорему об окружности, описанной около треугольника.
4. Устно решить задачи:
1) Сколько сторон имеет п -угольник, если сумма его внутренних углов равна: а) 1260°; б) 1980°?
2) Назовите выпуклый четырехугольник, у которого все внешние углы прямые.
3) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна сумме внешних?
4) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если все его внешние углы тупые?
5. Решить задачи на доске и в тетрадях:
1) Все углы выпуклого пятиугольника равны друг другу. Найдите величину каждого угла.
2) Докажите, что треугольник, две высоты которого равны, является равнобедренным.
3) Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Докажите, что 
А + С = В + D.
Изучение нового материала
1. Запишите из учебника понятие правильного многоугольника.
2. Ответьте устно на вопросы:
1) Какие правильные многоугольники уже рассматривались в курсе геометрии?
2) Приведите примеры такого выпуклого многоугольника, у которого:
а) все стороны равны, но он не является правильным (ромб с острым углом);
б) все углы равны, но он не является правильным (прямоугольник с неравными сторонами).
3. Записать формулу для вычисления угла правильного многоугольника.
4. Решить задачи № 1081 (в) и 1083 (в).
5. Формулировка теоремы об окружности, описанной около правильного многоугольника (рис. 307).
Окружность, вписанная в правильный многоугольник
Работа с учебником.
1. Определение окружности, вписанной в многоугольник.
2. Разобрать по рисунку 308 учебника доказательство теоремы об окружности, вписанной в правильный многоугольник.
3. Записать в тетради следствие 1 и следствие 2.
4. Записать в тетради правила нахождения для заданного правильного многоугольника центров описанной и вписанной окружностей, а также их радиусов:
1) Центром окружности, описанной около правильного многоугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника (достаточно найти точку пересечения серединных перпендикуляров к двум соседним сторонам), а радиусом является отрезок биссектрисы угла многоугольника, соединяющий его вершину с центром.
|
|
|
2) Для нахождения центра и радиуса окружности, вписанной в многоугольник, достаточно построить биссектрисы двух соседних углов, найти точку О их пересечения и опустить из нее перпендикуляр на соответствующую сторону многоугольника (точка О будет центром вписанной окружности, а перпендикуляр – ее радиусом).
Вариант I
1. Задачи №№ 1081 (б), 1083 (б), 1084 (г).
2. Докажите, что три вершины правильного шестиугольника, взятые через одну, служат вершинами правильного треугольника.
Вариант II
1. Задачи №№ 1081 (г), 1083 (а), 1084 (е).
2. Докажите, что четыре вершины правильного восьмиугольника, взятые через одну, служат вершинами квадрата.
Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны
и радиуса вписанной окружности
|
|
|
