Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Показательная форма комплексного числа.

ОДОБРЕНО

Цикловой методической комиссией

общеобразовательных и естественнонаучных

дисциплин:

Протокол № ___

от «____» _________________ 2016 г.

Председатель ЦМК:

_____________ Криницына Н.А.

«МАТЕМАТИКА»

Методические рекомендации для студентов

решения задач по математики.

для специальностей:

26.02.06 «Эксплуатация судового электрооборудования и средств автоматики»

23.02.03 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»

23.02.01 «Организация перевозок и управление на транспорте (по видам)»

26.02.05 «Эксплуатация судовых энергетических установок»

26.02.03 «Судовождение»

Преподаватель:

Абраменкова В.П..

Пермь

Образцы решения некоторых заданий контрольных работ

Комплексные числа.

Пример 1. Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

, ,
, ,
, , ,

Числа , , – комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа , , , – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .

В числах , , , и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не чертят, потому, что они сливаются с осями.

Сложение комплексных чисел.

Пример 2. и

Сложить два комплексных числа ,

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Пример 3. Вычитание комплексных чисел.

Найти разности комплексных чисел:

Умножение комплексных чисел.

Пример 4. Найти произведение комплексных чисел ,

Необходимо раскрыть скобки по правилу умножения многочленов, главное, помнить, что .

Понятно, что

Пример 5. Деление комплексных чисел.

Даны комплексные числа , . Найти частное.

Пример 6.1. Представить в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. .
Очевидно, что (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Обратное проверочное действие:

Пример 6.2. Представить в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. .

Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):

Пример 6.3. Представить в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Очевидно, что (или 180 градусов). Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Проверка:

Пример 6.4. Представить в тригонометрической форме число .

Найдем его модуль и аргумент. ,

(-90 градусов), и, соответственно: .

Рассмотрим более распространенные случаи.

Модуль вычисляется по формуле . А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число . При этом возможны три варианта:

1) Если > 0 (1-я и 4-я координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле .

2) Если x < 0, y > 0 (2-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

3) Если x < 0, y < 0 (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

Пример 6.5. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. , , x >0, y > 0 . ,

Следовательно
Пример 6.6. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. , x < 0, y > 0 .

Следовательно

Пример 6.7. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. , , x <0, y < 0 . ,

Следовательно
Пример 6.8. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. , , x >0, y < 0 . ,

Следовательно

Показательная форма комплексного числа.

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в показательной форме: , где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа.

Пример 7.1. Представить в показательной форме комплексные числа: , , , .

9.1. , ,

9.2. , ,

9.3. , ,

9.4. , ,

Пример1.. Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера и метод обратной матрицы:

Решение.

1. Правило Крамера.

Находим определитель системы:

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители:

По формулам Крамера находим:

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение. Данное уравнение относится к классу дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

. Теперь уравнение можно интегрировать: . Находим неопределенные интегралы: , откуда: - это общий интеграл данного дифференциального уравнения. Ответ:

Пример 3. Решить уравнение при условии .

Решение. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, для его решения применяем метод Бернулли. Делаем замену: , где и - неизвестные функции. Получаем: или . Неизвестную функцию найдем из условия : , , откуда . Тогда для нахождения второй неизвестной функции нужно решить уравнение: , откуда: . Тогда и путем интегрирования последнего равенства получаем . Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид: . Для нахождения частного решения воспользуемся начальным условием: . Подставляя соответствующие значения переменных и в общее решение, получаем: , откуда . Тогда частное решение данной задачи имеет вид: . Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение: у ² +2 у^' +5 у = 0.

Решение. Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составляем характеристическое уравнение: . Это алгебраическое уравнение второго порядка, его корни – комплексные, сопряженные числа: . Тогда общее решение данного уравнения имеет вид: . Ответ: .

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Для исследования данного ряда на сходимость можно применить признак Даламбера. Для этого находим и . Тогда: , следовательно, по признаку Даламбера данный числовой ряд сходится.

Пример 7. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять.

Решение. Определим испытание и его результат, т. е. элементарное событие. Испытанием является бросание трех игральных костей; результатом – одно из сочетаний очков 1,..., 6 на верхних гранях трех костей.

Исследуемое событие А – сумма очков на трех костях делится на пять. Вероятность события А вычислим с помощью формулы:

Р(А) = m/n.

Общее количество элементарных событий п можно найти по правилу умножения. На каждой игральной кости 6 граней и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей. Итак, получаем n = 6 × 6 × 6 = 216.

Количество элементарных событий т, входящих в состав события А или благоприятствующих событию А,найдем выписав всевозможные результаты испытаний и оставив из них только те, для которых сумма очков на всех трех костях делится на пять. Можно облегчить работу, выписав всевозможные исходы бросания первых двух костей, сочетая с ними подходящие значения количества очков, выпавших на третьей кости. Имеем:

В результате получаем, что Р (т) = 43, значит, Р (А) = 43/216.

Ответ: Р (А) = 43/216.

Пример 8. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,2. Имеется шесть билетов. Найти вероятности следующих событий: а) два билета будут выигрышными; б) выигрышных билетов будет от двух до четырех.

Решение. Для вычисления искомых вероятностей воспользуемся формулой Бернулли: . По условию задачи , .

а) Рассмотрим случайное событие А: два билета из шести будут выигрышными. Его вероятность: .

б) Рассмотрим случайное событие В: выигрышных билетов будет от двух до четырех. Это сложное событие состоит из следующих:

В₁: два билета из шести будут выигрышными;

В₂: три билета из шести будут выигрышными;

В₃: четыре билета из шести будут выигрышными.

Тогда В= В₁+В₂+В₃ и Р(В) = Р(В₁)+Р(В₂)+Р(В₃).

Находим по формуле Бернулли соответствующие вероятности:

Тогда искомая вероятность: Р(В) = 0,2458+0,0492+0,0061=0,3011

Ответ: P(B)=0,3011.

Пример 9. После обработки результатов эксперимента составлена таблица, в первой строке которой указаны группы возможных значений некоторой случайной величины х_i, а во второй строке – численность каждой группы значений m:

х _i	21	17	35	11
m _i	3	11	14	5

Найти объем выборки ; относительные частоты , соответствующие каждой отдельной группе значений случайной величины; составить вариационный ряд распределения данной случайной величины. Найти числовые характеристики выборки: среднее арифметическое, выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение.