 |
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
|
|
|
|
Контрольных работ по дисциплине
«математика»
для студентов заочной формы обучения
направления подготовки 051000. 62 Профессиональное обучение (по отраслям)
профиля подготовки «Энергетика»
профиля подготовки «Информатика и вычислительная техника»
Екатеринбург
РГППУ
Задания и методические указания к выполнению контрольных работ по дисциплине «Математика». Екатеринбург, ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет», 2012. 48с.
Авторы канд. физ.-мат. наук С.Д. Филиппов
канд. физ.-мат. наукА.В. Шитиков
ст. преподаватель Т.А. Серова
Одобрены на заседании кафедры высшей математики.
Протокол от 02.10.2012 № 2
Заведующий кафедрой Е.А.Перминов
Рекомендованы к печати методической комиссией МаИ РГППУ.
Протокол от 05.10.2012 №2
Председатель методической
комиссии МаИ РГППУ А.В.Песков
© ФГАОУ ВПО «Российский
Государственный профессионально-
Педагогический университет», 2012
Цель контрольных работ – закрепление и проверка знаний, полученных студентами в процессе самостоятельного изучения учебного материала по данной дисциплине, а также выявление их умения применять полученные знания на практике.
Указания к выполнению контрольных работ
При выполнении контрольных работ необходимо руководствоваться следующими требованиями:
1. Вариант контрольной работы выбирать по последней цифре номера зачетной книжки.
2. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради.
3. На обложке тетради должны быть ясно написаны название дисциплины, номер контрольной работы, фамилия студента, его инициалы, номер группы и шифр специализации, шифр зачетной книжки.
|
|
|
4. В начале работы должен быть указан номер варианта задания.
5. Перед решением задачи должно быть полностью приведено ее условие.
6. Решение задач следует сопровождать необходимыми формулами, развернутыми расчетами и краткими пояснениями.
7. В конце работы должна стоять подпись студента с указанием даты ее выполнения.
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
11-20. В пирамиде SABC: треугольник АВС – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S. Сделать чертеж. Найти:
1) длину ребра АВ;
2) угол между ребрами АВ и AS;
3) угол наклона ребра AS к основанию пирамиды;
4) площадь основания пирамиды;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой АВ;
7) уравнение плоскости АВС;
8) проекцию вершины S на плоскость АВС;
9) длину высоты пирамиды.
11. А(-2;0;0); В(0;3;0); C(0;0;1); S(0;2;3).
12. А(4;0;0); В(0;-8;0); C(0;0;2); S(4;6;3).
13. А(-2;0;0); В(0;6;0); C(0;0;2); S(-1;6;4).
14. А(1;0;0); В(0;2;0); C(0;0;2); S(1;1;4).
15. А(-3;0;0); В(0;-2;0); C(0;0;1); S(-2;-1;3).
16. А(6;0;0); В(0;-3;0); C(0;0;2); S(4;-3;4).
17. А(3;0;0); В(0;-6;0); C(0;0;1); S(1;-3;3).
18. А(-4;0;0); В(0;4;0); C(0;0;2); S(-2;4;3).
19. А(-6;0;0); В(0;2;0); C(0;0;3); S(-3;2;5).
20. А(-1;0;0); В(0;5;0); C(0;0;2); S(-1;3;4).
51-60. Дана система линейных уравнений: 
Доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) по правилу Крамера.
51. 
52. 
53. 
54. 
55. 
56. 
57. 
58. 
59. 
60. 
71-80. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.
71. 
72. 
73. 
74. 
75. 
76. 
77. 
78. 
79. 
80. 
91-100. Дано комплексное число a. Требуется: 1) записать число a в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения z3+a=0.
91. 
. 92. 
. 93. 
.
94. 
.95. 
. 96. 
.
97. 
. 98. 
. 99. 
. 100. 
.
111-120. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
111. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
112. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
113. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
|
|
|
114. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
115. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
116. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
117. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
118. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
119. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
120. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
Производная и её приложение
141-150. Найти производные 
данных функций.
141. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
142. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
143. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
144. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
145. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
146. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
147. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
148. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
149. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
150. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
151-160. Найти и 
.
151. а) 
; б) 
.
152. а) 
; б) 
.
153. а) 
; б) 
.
154. а) 
; б) 
.
155. а) 
; б) 
.
156. а) 
; б) 
.
157. а) 
; б) 
.
158. а) 
; б) 
.
159. а) 
; б) 
.
160. а) 
; б) 
.
Приложения дифференциального исчисления
191-200. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.
191. 
. 192. 
.
193. 
. 194. 
.
195. 
. 196. 
.
197. 
. 198. 
.
199. 
. 200. 
.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
231. Дана функция 
.
Показать, что 
.
232. Дана функция 
.
Показать, что 
.
233. Дана функция 
.
Показать, что 
.
234. Дана функция 
.
Показать, что 
.
235. Дана функция 
.
Показать, что 
.
236. Дана функция 
. Показать, что 
.
237. Дана функция 
.
Показать, что 
.
238. Дана функция 
.
Показать, что 
.
239. Дана функция 
.
Показать, что 
.
240. Дана функция 
.
Показать, что 
.
251-260. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x, y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.
251. z=x 2 +y 2 - 9 xy+ 27; 0≤ x ≤3, 0≤ y ≤3.
252. z=x 2 + 2 y 2 + 1; x ≥0, y ≥0, x + y ≤3.
253. z= 3-2 x 2 -xy - y 2; x ≤1, у ≤ х, у ≥0.
254. z=x 2 + 3 y 2+x-y; x ≥1, y ≥-1, х+y ≤1.
255. z=x 2 + 2 xy +2 y 2; -1≤ x ≤1, 0≤ y ≤2.
256. z= 5 x 2 - 3 xy + y 2 + 4; x ≥-1, y ≥-1, х+y ≤1.
257. z= 10+2 xy - x 2; 0≤ y ≤4- x 2.
258. z=x 2+2 xy -y 2 + 4 x; x ≤0, y ≤0, х+y +2≥0.
259. z=x 2 + xy -2; 4 x 2-4≤ y ≤0.
260. z=x 2+ xy; -1≤ x ≤1, 0≤ y ≤3.
261-270. Дана функция z=z(x, y), точка А(х0, у0) и вектор 
. Найти: 1) 
в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора .
261. 
.
262. 
.
263. 
.
264. 
.
265. 
.
266. 
.
267. 
.
268. 
.
269. 
.
270. 
.
|
|
|
