Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Тема 1.1. Развитие понятия о числе




Алгебра и начала математического анализа; геометрия

Методические указания

По выполнению контрольной работы

Для студентов 1 курса заочного отделения

(1 семестр)

 

 

 

Заречный 2016

 
 

 


Голянова О.Н.

Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия. Методические указания по выполнению контрольной работы для студентов 1 курса заочного отделения. 2016. – стр.32

 

 

Методические указания содержат варианты заданий для контрольной работы по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия», необходимые теоретические сведения, примеры решения типовых задач. Методические указания предназначены для студентов 1 курса заочной формы обучения по специальности 38.02.04 «Коммерция по отраслям» и составлена в соответствии с рабочей программой дисциплины.

 

 

Методические указания рассмотрены на заседании цикловой методической комиссии общеобразовательных, естественнонаучных и ОГСЭ дисциплин Зареченского технологического института – филиала Пензенского государственного технологического университета.

Протокол №1 от 31.08.2016 г.

 

 

Методические указания одобрены и рекомендованы методическим советом Зареченского технологического института – филиала Пензенского государственного технологического университета для использования в учебном процессе.

Протокол №1 от 31.08.2016 г.

 

 

Содержание

 

Тема 1.1. Развитие понятия о числе. 7

Тема 1.2. Корни, степени и логарифмы.. 10

Тема 1.3. Основы тригонометрии. 13

Задания для контрольной работы.. 22

Справочные материалы.. 30

 


Раздел 1. Алгебра

Тема 1.1. Развитие понятия о числе

Еще первобытный человек не мог обойтись без счета. Считали в разное время по-разному: камешками, узлами, значками на камнях и так далее.

Изучение математики начинается с натуральных чисел. Недаром они и назывались натуральными, то есть, природными, «естественными». Для чего они понадобились человеку – для счета. Назначение их – отвечать на вопросы «сколько?», «который?». Обозначение – N. Любое натуральное число в десятичной системе счисления записывается с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Арифметические действия над натуральными числами.

1. Сумма

2. Вычитание

3. Произведение

4. Деление

Возьмем какое-нибудь натуральное число, например, 11. Противоположное ему будет число -11. На координатной прямой, оно находится на том же расстоянии от начала отсчета, что и число 11, только 11 находится справа, а -11 - слева. Числа 11 и -11 называются противоположными.

Противоположные числа – это числа, отличающиеся только знаком. Понятно, что 0 = -0. Поэтому, число 0 противоположно самому себе.

Целые числа – это натуральные числа, противоположные им числа и 0.

 

Примеры целых чисел: -8, 111, 0, 1285642, -20051 и т. д.

Рациональные числа – это числа, которые можно представить в виде дроби , где m и n – целые числа, n ≠ 0.

Пример. , , , 1,01; 12 и т.д. Все целые числа являются рациональными.

Действительно, любое целое число n можно представить в виде дроби n/1. Например, целое число 18 – это 18/1.

Две дроби считаются равными, если

Пример. , так как 3 • 2 = 6 • 1.

Очевидно, что дроби равны. На этом свойстве основано сокращение дробей. Для того чтобы сократить дробь, находим общий делитель числителя и знаменателя и на этот делитель делим числитель и знаменатель - полученная дробь будет равна исходной.

Пример. Сократить дробь

Над рациональными числами операции сложения, умножения и деления определены следующим образом:

Операция сложения:

Пример.

Операция умножения:

Пример.

Операция деления , то есть, делитель «переворачиваем»

Пример. .

 

 

При сравнении рациональных чисел применяют следующие правила:

Всякое положительное рациональное число всегда больше всякого отрицательного рационального числа.

Если два числа положительны, то число больше , если , для отрицательных - наоборот.

Пример. , так как 3 • 6 > 5 • 2.

Измерение осуществляется на практике с помощью какого-либо инструмента. Результат измерения выражается некоторым рациональным числом. Например, толщина металлического волоска, измеренная микрометром, выразится в миллиметрах, скажем, числом 0,023. Всякий инструмент обладает ограниченной точностью. Поэтому для практической деятельности запас рациональных чисел не только достаточен, но даже избыточен. Однако в математической теории, где измерения предполагаются абсолютно точными, одними только рациональными числами обойтись нельзя. Так, никаким рациональным числом нельзя точно выразить длину диагонали квадрата, если его сторону принять за единицу измерения; рациональным числом нельзя точно выразить синус угла 60° и т.д. Вообще отношение несоизмеримых отрезков нельзя точно выразить рациональным числом.

Чтобы точно выразить отношение несоизмеримых отрезков, надо ввести новые числа- иррациональные. (Отношение соизмеримых отрезков можно выразить отношением целых чисел, несоизмеримых – нельзя.) Иррациональное число выражает длину отрезка, несоизмеримого с единицей масштаба. Рациональные и иррациональные числа, взятые в совокупности, называются действительными или вещественными. С помощью действительных чисел можно выразить длину любого отрезка.

Иррациональное число не может точно равняться рациональному. Но для всякого иррационального числа можно найти рациональные (в частности, десятичные) числа, приближенно равные ему. Так, вместо дроби часто берут ее недостаточные значения 0,33; 0,333 и т.д. или избыточные значения 0,34; 0,334 и т.д.

Система рациональных чисел Q является основной системой, в рамках которой производятся практические арифметические вычисления. Даже если в вычислениях встречаются числа, не являющиеся рациональными (например, π, ), желание представить результат вычисления рациональным числом приводит к необходимости брать их приближенные рациональные значения.

Приведем несколько простейших сведений, связанных с культурой приближенных вычислений. Прежде всего - о записи приближенных чисел. Вводится понятие значащих цифр в записи - это все верные цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа. Например, запись 2,5 отличается от записи 2,50 тем, что в первом случае верны две цифры, а во втором – три. В числе 0,035 две значащие цифры, как и в числе 52×10 (его нельзя записать как 520, так как это означало бы, что в нем три значащие цифры.)

На самом деле истинное значение числа может отличаться от указанных выше с учетом правил округления:

а) лишние цифры в младших разрядах отбрасываются, причем сохраняются только значащие цифры;

б) если первая отбрасываемая цифра больше 4, то последняя сохраняемая увеличивается на 1;

в) если отбрасывается только одна цифра 5, то последняя сохраняемая цифра обычно берется четной.

Главная проблема в приближенных вычислениях - оценить погрешность результата. Различают абсолютную погрешность , где х – точное число, а а – его приближенное значение, и относительную погрешность , которую часто выражают в процентах. Обычно эти погрешности стараются ценить, т.е. указать их предельные (самые большие из возможных) значения.

Для простейших операций (сложение двух приближенных чисел, умножение, деление и т.д.) существуют относительно простые правила оценки погрешности. Однако на практике их применяют не очень часто поскольку современные вычисления редко сводятся к комбинациям из небольшого числа указанных операций и обычно производятся в автоматическом режиме. В целом оценка погрешности вычислений оказывается одной из самых сложных задач прикладной математики, а при решении таких задач приходится использовать самые мощные математические средства.

При проведении простейших вычислений с помощью калькулятора можно рекомендовать совсем простое практическое правило: при выполнении арифметических операций с точностью до n верных значащих цифр достаточно округлить их компоненты до (n+1) верной значащей цифры, а в особенно сложных комбинациях таких вычислений – до (n+2) верных значащих цифр.

Действия над приближенными значениями чисел.

  1. Сложение приближенных значений чисел.

Абсолютная погрешность суммы приближенных значений чисел равна сумме абсолютных погрешностей этих чисел: , где а и в – приближенные значения чисел.

Относительная погрешность суммы вычисляется по формуле .

Пример. Найти сумму S приближенных значений чисел 6,8±0,05; 4,3±0,05; 3,575±0,0005.

Решение.

Имеем

S=6,8+4,3+3,575=14,675; .

Абсолютная погрешность заключена в пределах . В приближенном значении суммы верными являются лишь две цифры (в разрядах десятков и единиц). Полученный результат округлим до единиц: S=14,675≈15.

 

  1. Вычитание приближенных значений чисел.

Абсолютная погрешность разности приближенных значений чисел равна сумме абсолютных погрешностей этих чисел: , где а и в – приближенные значения чисел.

Относительная погрешность суммы вычисляется по формуле .

Пример. Вычислить разность двух приближенных значений чисел а=5,863±0,0005 и в=2,746±0,0005. Найти и .

Решение.

Имеем

.

В приближенном значении разности цифра в разряде тысячных не может быть верной, так как . Итак, а-в=3,117≈3,12. Абсолютная погрешность разности 0,001. В приближенном числе 3,12 все цифры верные.

Найдем относительную погрешность:

.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...