Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Тема 2. Абсолютные и относительные статистические

Стр 1 из 5Следующая ⇒

Статистика

Часть I

Теория статистики

Методические указания к решению задач

для студентов экономических специальностей

Могилев 2010

УДК 311.1

Рассмотрены и рекомендованы к изданию на заседании кафедры бухгалтерского учета, анализа и аудита

Протокол № 4 от 19.11.2009 г.

УМС по специальностям 1 – 25 01 08 и 1 – 25 01 04

Протокол № 3 от 19.11.2009 г.

Составители:

старший преподаватель О.Д. Малышева,

ассистент О.Г. Барсукова,

ассистент О.К. Шкинёва

Рецензент

к.э.н., доцент Т.И. Сушко

УДК 311.1

Тема 1. Сводка и группировка статистических материалов

Пример 1

Имеются данные о рабочих-сдельщиках за месяц (таблица 1.1).

Таблица 1.1 – Данные о стаже работы рабочих-сдельщиков и выработке продукции за месяц

№ п/п	Стаж работы, лет	Выработка рабочего, ден.ед.	№ п/п	Стаж работы, лет	Выработка рабочего, ден.ед.
	1,0			10,5
	1,0			1,0
	3,0			9,0
	6,5			9,0
	9,2			6,5
	4,4			5,0
	6,9			6,0
	2,5			10,1
	2,7			5,5
	16,0			2,5
	13,2			5,0
	14,0			5,3
	11,0			7,5
	12,0			7,0
	4,5			8,0

Для изучения зависимости между стажем работы и месячной выработкой рабочих произвести группировку рабочих по стажу, образовав 5 групп с равными интервалами. Каждую группу охарактеризовать: числом рабочих; средним стажем работы; месячной выработкой продукции – всего и в среднем на одного рабочего.

Результаты представить в таблице и сделать выводы.

Решение

Применяя метод группировок для взаимосвязи, необходимо, прежде всего, определить факторный признак, оказывающий влияние на взаимосвязанные с ним признаки. Таким признаком в нашем примере является стаж работы, который должен быть положен в основание группировки. По условию требуется выделить пять групп рабочих по стажу с равными интервалами.

Если интервалы равны, то величина интервала группировочного признака (стажа работы) определяем по формуле

где , – максимальное и минимальное значение признака;

– число образуемых групп.

Для нашего примера величина интервала равна: года.

Следовательно, первая группа рабочих имеет стаж 1-4 года, вторая – 4-7 и т.д. Для построения и оформления результатов группировки составим рабочую таблицу 1.2.

Таблица 1.2 – Группировка рабочих по стажу работы

Группы рабочих по стажу, лет	Номер рабочего	Стаж, лет	Месячная выработка, ден. ед.
	1-4		1,0 1,0 3,0 2,5 2,7 1,0 2,5
	Итого		13,7	1 534
	4-7		4,4 6,5 4,5 6,5 5,0 6,0 5,5 5,0 5,3 6,9
	Итого		55,6	2 532
	7-10		9,2 9,0 9,0 7,5 7,0 8,0
	Итого		49,7	1 599
	10-13		11,0 12,0 10,5 10,1
	Итого		43,6	1 112
	13-16		16,0 13,2 14,0
	Итого		43,2
	Всего			7 691

Групповые показатели рабочей таблицы и исчисленные на их основе средние показатели занесем в сводную аналитическую таблицу 1.3.

Таблица 1.3 – Сводная таблица группировки рабочих по стажу работы

Группы рабочих по стажу, лет	Число рабочих, чел.	Стаж, лет	Месячная выработка, ден. ед.
всего	в среднем по группе	всего	на одного работника
			4=3/2		6=5/2
	1-4		13,7	1,96		219,1
	4-7		55,6	5,56		253,2
	7-10		49,7	8,28		266,5
	10-13		43,6	10,9		278,0
	13-16		43,2	14,4		304,7
	Итого		205,8	6,86		256,4

Сравнивая графы 5 и 7 таблицы 1.3, видно, что с увеличением стажа рабочих растет месячная выработка продукции. Следовательно, между изучаемыми признаками (показателями) имеется прямая зависимость.

Для полноты анализа сравним результативные показатели по каждой группе с показателями первой группы и представим результаты в таблице 1.4.

Таблица 1.4 – Зависимость выработки продукции от стажа рабочих

Группы рабочих по стажу, лет	Число рабочих, чел.	Месячная выработка продукции на одного рабочего, ден. ед.	Прирост месячной выработки продукции на одного рабочего к 1 группе
абсолютный, ден. ед.	относительный, %

	1-4		219,1	-	-
	4-7		253,2	34,1	15,6
	7-10		266,5	47,4	21,6
	10-13		278,0	58,9	26,9
	13-16		304,7	85,6	39,1
	Итого		-	-	-

Данные таблицы 1.4 показывают тенденцию роста выработки продукции от стажа работы. С ростом стажа постепенно увеличивается прирост продукции. Рабочие пятой группы, наиболее квалифицированные и опытные произвели продукции на 85,6 ден. ед. или на 39,1% больше по сравнению с рабочими первой группы. Следовательно, подтверждается вывод, сделанный ранее, что между изучаемыми признаками имеется прямая связь.

Пример 2

Имеются следующие данные (таблица 2.1).

Таблица 2.1 – Распределение рабочих двух предприятий по проценту выполнения норм выработки

Предприятие №1	Предприятие №2
группа рабочих по проценту выполнения норм выработки, %	количество рабочих, % к итогу	группа рабочих по проценту выполнения норм выработки, %	количество рабочих, % к итогу
До 95		До 100
95-100		100-110
100-110		110-125
110-120		125-150
120-130		150 и выше
130-140
140-150
150-160
Итого

Произвести вторичную группировку рабочих предприятия №1, приняв за основу группировку рабочих предприятия №2.

Решение

Приведенные данные не дают возможности сравнивать распределение рабочих двух предприятий по степени выполнения норм выработки, так как данные сгруппированы по-разному. Поэтому необходимо эти ряды распределения привести к сопоставимому виду. За основу сравнения лучше взять распределение рабочих по предприятию №2 и перегруппировать рабочих предприятия №1, образовав такое же количество групп и с такими же интервалами, как и на предприятии №2.

Существует 2 способа образования новых групп:

1) Объединение (укрупнение) первоначальных интервалов. Применяется, когда границы старых и новых интервалов совпадают.

2) Способ долевой перегруппировки. Применяется, когда в ходе перегруппировки необходимо определить какая доля единиц совокупности перейдет из старых групп в новые.

В нашем примере в первую группу (до 100%) войдут две группы рабочих предприятия №1, сумма частот которых равна 8% (3 + 5).

Численность второй группы совпадает с третьей группой предприятия №1, поэтому в нее войдут 45%.

Численность третьей группы составляет 110-125%, в нее войдет полностью частота, равная 25%, четвертой группы (110-120%) предприятия №1 и половина пятой группы , которая равна . Таким образом, частота третьей группы (110-125%) составит 25 + 5 = 30%.

В четвертую группу (125-150%) войдут оставшиеся 5 + 6 + 4 = 15, в пятую группу (150 и выше) – 2%.

В результате проведенной группировки получены следующие сопоставимые данные (таблица 2.2).

Таблица 2.2 – Вторичная группировка рабочих по проценту выполнения норм выработки

Группа рабочих по проценту выполнения норм выработки, %	Количество рабочих, % к итогу
предприятий №1	предприятия №2
До 100	8 (3 + 5)
100-110
110-125	30 (25 + )
125-150	15 ( + 6 + 4)
150 и выше
Итого

Полученная группировка показала, что на предприятии №2 значительно выше процент выполнения норм выработки рабочими.

Пример 3

Имеются следующие данные о тарифных разрядах 50 рабочих одного из цехов завода (таблица 3.1).

Таблица 3.1 – Данные о тарифных разрядах рабочих

Построить дискретный вариационный ряд по тарифному разряду и изобразить его графически.

Решение

1 Чтобы показать распределение рабочих по тарифному разряду, построим вариационный ряд, для чего выпишем все значения признака (тарифного разряда) в порядке возрастания по одному разу и подсчитаем число рабочих в каждой группе (таблица 3.2).

Таблица 3.2 – Группировка рабочих по тарифному разряду

Тарифный разряд (варианта )	Численность рабочих (частота )





Всего

Это дискретный вариационный ряд, у которого вариантами являются значения тарифного разряда, а частотами – число рабочих.

2 Чтобы изобразить дискретный вариационный ряд графически, построим полигон частот (рисунок 3.1). Для этого используем прямоугольную систему координат, по оси абсцисс которой отложим значения тарифного разряда, а по оси ординат – число рабочих.

Рисунок 3.1 – Полигон распределения 50 рабочих

по тарифному разряду

Пример 4

Имеются данные о стоимости основных фондов у 50 предприятий (таблица 4.1).

Таблица 4.1 – Стоимость основных фондов 50 предприятий

(млн руб.)

9,4	8,0	6,3	10,0	15,0	8,2	7,3	9,2	5,8	8,7
5,2	13,2	8,1	7,5	11,8	14,6	8,5	7,8	10,5	6,0
5,1	6,8	8,3	7,7	7,9	9,0	10,1	8,0	12,0	14,0
8,2	9,8	13,5	12,4	5,5	7,9	9,2	10,8	12,1	12,4
12,9	12,6	6,7	9,7	8,3	10,8	15,0	7,0	13,0	9,5

Построить интервальный вариационный ряд по стоимости основных фондов, образовав 5 групп с равными интервалами по принципу «включительно», и изобразить его графически.

Решение

1 Чтобы показать распределение предприятий по стоимости основных фондов, сначала решим вопрос о величине интервала в группе, определив ее по формуле

млн руб.,

где , – максимальное и минимальное значение признака;

– число образуемых групп.

Выделим теперь группы с интервалом 2 млн руб. и подсчитаем число предприятий в каждой группе (таблица 4.2).

Таблица 4.2 – Группировка предприятий по стоимости основных фондов

Стоимость основных фондов, млн руб.	Число предприятий (частота)	Накопленная (кумулятивная) частота F
5-7
7-9
9-11
11-13
13-15
Всего		-

Это интервальный вариационный ряд с равными интервалами. При такой записи непрерывного признака, когда одна и та же величина встречается дважды (как верхняя граница одного интервала и как нижняя граница другого интервала), единица, обладающая этим значением, относится либо к той группе, где эта величина выступает в роли верхней границы (принцип «включительно»), либо – нижней границы (принцип «исключительно»). Так, в нашем примере предприятие со стоимостью основных фондов 9 млн руб. по принципу «включительно» отнесено ко второй группе, а не к третьей.

П р и м е ч а н и е. Если вопрос о количестве выделяемых групп, а следовательно, и о величине интервала вызывает сомнение, то рекомендуется использовать формулу Стерджесса, предусматривающую выделение оптимального числа групп () при заданной численности совокупности ().

В рассматриваемом примере это составило бы , т.е. можно было выделить семь групп предприятий (6,644 = 7) с равными интервалами 1,5 млн руб.

2 Чтобы изобразить данный ряд графически, построим гистограмму частот (рисунок 4.1). Для этого на оси абсцисс отложим величины интервалов, а по оси ординат – число предприятий (так как интервалы равны).

Рисунок 4.1 – Гистограмма распределения 50 предприятий

по стоимости основных фондов

Пример 5

Имеются следующие данные об успеваемости 20 студентов группы по статистике (таблица 5.1).

Таблица 5.1 – Данные об успеваемости студентов

Построить ряд распределения студентов по уровню успеваемости, выделив две группы студентов: неуспевающие (2 балла) и успевающие (3 балла и выше).

Решение

В основу группировки положен качественный признак, следовательно, количество групп определено числом разновидностей этого признака, а именно, таких групп будет две. Выпишем эти группы и подсчитаем число студентов в каждой группе (таблица 5.2).

Таблица 5.2 – Группировка студентов группы по уровню успеваемости

Группы студентов по уровню успеваемости	Число студентов
Неуспевающие
Успевающие
Итого

Полученный ряд распределения является атрибутивным, так как построен по качественному признаку.

Тема 2. Абсолютные и относительные статистические

Величины

Пример 6

Поставка молочной продукции в торговую сеть города в отчетном периоде характеризуется следующими данными (таблица 6.1).

Таблица 6.1 – Объем поставки молочной продукции в торговую сеть города

Продукция	Объем поставки, т
Молоко 3,2%
Молоко 2,4%
Кефир
Ацидофилин
Ряженка
Сметана
Творог
Сырковая масса

Определить общий объем поставки молочной продукции в торговую сеть города в отчетном периоде (в условных единицах цельномолочной продукции).

Для перевода отдельных видов молочной продукции на молоко используются условные коэффициенты пересчета: молоко 3,2%-е – 1,0; молоко 2,4%-е – 0,8; ацидофилин, кефир – 1,0; ряженка – 2,0; сметана – 8,5; творог – 6,5; творожные изделия – 5,4.

Решение

Для определения общего объема поставки молочной продукции в условных единицах умножим объем поставки каждого вида продукции на соответствующий коэффициент пересчета. Результаты расчетов сведем в таблицу 6.2.

Таблица 6.2 – Объем поставки молочной продукции в торговую сеть города в пересчете в условные единицы

Продукция	Объем поставки, т	Коэффициент пересчета	Объем поставки в условных единицах
Молоко 3,2%
Молоко 2,4%		0,8
Кефир
Ацидофилин
Ряженка
Сметана		8,5
Творог		6,5
Сырковая масса		5,4
Всего		-

Следовательно, объем поставки молочной продукции в натуральном выражении составил 900 т, а в условно-натуральном (при пересчете на цельномолочную продукцию) – 2446 т.

Пример 7

Имеются следующие данные о выпуске продукции консервным заводом за III квартал (таблица 7.1).

Таблица 7.1 – Продукция, выпущенная консервным заводом за III квартал

Продукция	Объем банки, см³	Количество выпущенных банок, тыс. шт.
Огурцы соленые
Огурцы маринованные
Томаты натуральные
Томаты маринованные
Томатный соус

Определить объем выпущенной продукции в условных единицах (тубах). За 1 условную единицу принять банку объемом 353,4 см³.

Решение

Найдем коэффициенты пересчета, разделив объем банки на объем условной банки по каждому виду продукции. Затем умножим количество выпущенных банок на соответствующий коэффициент по каждому виду продукции. Результаты расчетов сведем в таблицу 7.2.

Таблица 7.2 – Выпуск продукции консервным заводом за III квартал в пересчете в условные единицы

Продукция	Объем банки, см³	Количество выпущенных банок, тыс. шт.	Коэффициент пересчета	Продукция в условных единицах, туб
Огурцы соленые			2,83
Огурцы маринованные			2,26
Томаты натуральные			2,83
Томаты маринованные			2,26
Томатный соус			1,41
Всего	-		-

Следовательно, объем выпущенной продукции в целом по заводу за III квартал в условно-натуральных единицах составил 8042 туб.

Пример 8

Плановое задание на II квартал отчетного года по выработке моющих средств в цехе бытовой химии составило 1500 т (в пересчете на 40%-е мыло по содержанию жирных кислот) по сравнению с 1440 т выработанной продукции в I квартале. Фактически во II квартале было выработано продукции, объем которой представлен в таблице 8.1.

Таблица 8.1 – Объем продукции во II квартале отчетного года

Продукция	Объем производства, т
Хозяйственное мыло 80%-е
Хозяйственное мыло 60%-е
Хозяйственное мыло 40%-е
Стиральный порошок 30%-й
Стиральный порошок 20%-й
Стиральный порошок 10%-й
Стиральная паста 10%-я

Определить:

1) относительные величины планового задания;

2) относительные величины выполнения планового задания;

3) относительные величины динамики выработки моющих средств в цехе бытовой химии во II квартале отчетного года по сравнению с I кварталом.

Решение

1 Определим объем продукции во II квартале в условных единицах (в пересчете на 40%-е мыло). Для этого найдем коэффициенты пересчета, разделив процент жирности каждого вида продукции на 40%. Например, , и т. д. Чтобы найти объем производства в условных единицах, надо объем производства каждого вида продукции умножить на соответствующий коэффициент пересчета. Расчеты сведем в таблицу 8.2.

Таблица 8.2 – Объем продукции во II квартале отчетного года в пересчете в условные единицы

Продукция	Объем производства, т	Коэффициент пересчета	Объем производства в условных единицах
Хозяйственное мыло 80%-е
Хозяйственное мыло 60%-е		1,75	437,5
Хозяйственное мыло 40%-е
Стиральный порошок 30%-й		0,8
Стиральный порошок 20%-й		0,5
Стиральный порошок 10%-й		0,2
Стиральная паста 10%-я		0,2
Всего		-	1627,5

2 Определим относительную величину планового задания как отношение плана на отчетный период () к фактически достигнутому уровню в предыдущем периоде ():

По условию т, т, тогда .

Следовательно, плановое задание было увеличено на 4,2% (104,2 – 100).

3 Определим относительную величину выполнения плана как отношение фактически достигнутого уровня в отчетном периоде () к плану на этот период ():

В нашем примере .

Следовательно, план перевыполнен на 8,5% (108,5 – 100).

4 Определим относительную величину динамики (темп роста) как отношение фактически достигнутого уровня в отчетном периоде () к фактически достигнутому уровню в базисном периоде ():

В нашем примере .

Следовательно, выработка моющих средств во II квартале по сравнению с I кварталом увеличилась на 13% (113 – 100).

Пример 9

По плану объем продукции в отчетном году должен возрасти против прошлого года на 2,5%. План выпуска продукции перевыполнен на 3,0%. Определить фактический выпуск продукции в отчетном году, если известно, что объем продукции в прошлом году составил 25 300 тыс. руб.

Решение

Введем условные обозначения:

– выпуск продукции в прошлом году;

– выпуск продукции по плану в отчетном году;

– фактический выпуск продукции в отчетном году.

По условию задачи = 25 300 тыс. руб.

Относительная величина планового задания = 1,025 , отсюда тыс. руб.

Относительная величина выполнения плана = 1,03 , отсюда тыс. руб.

Следовательно, фактический выпуск продукции в отчетном году составил 26710,5 тыс. руб.

Пример 10

Имеются следующие данные о стоимости основного капитала по фирме (таблица 10.1).

Таблица 10.1 – Стоимость основного капитала по фирме

№ предприятия, входящего в фирму	Стоимость основного капитала, млн руб.
на 1 января 2006 г.	на 1 января 2007 г.	на 1 января 2008 г.
	22 150	24 855	26 970
	7 380	9 100	12 550
	13 970	16 700	20 800

Определить показатели динамики стоимости основного капитала фирмы.

Решение

Стоимость основного капитала фирмы определяется путем суммирования данных по предприятиям:

на 1 января 2006 г.: млн руб.;

на 1 января 2007 г.: млн руб.;

на 1 января 2008 г.: млн руб.

Для характеристики динамики определяются темпы роста:

а) с переменной базой:

;

Следовательно, на 1 января 2007 г. стоимость основного капитала увеличилась по сравнению с началом предыдущего года на 16,4% (116,4 – 100), а на 1 января 2008 г. увеличение составило с данными на 1 января 2007 г. 19,1% (119,1 – 100);

б) с постоянной базой (за постоянную базу принимаются данные о стоимости основного капитала на 1 января 2006 г.):

;

Таким образом, на 1 января 2007 г. стоимость основного капитала увеличилась по сравнению с данными на 1 января 2006 г. на 16,4%, а на 1 января 2008 г. – на 38,7%.

Пример 11

По региону имеются данные о вводе в эксплуатацию жилой площади (таблица 11.1).

Таблица 11.1 – Ввод в эксплуатацию жилой площади по региону

Вид жилых домов	Введено в эксплуатацию, тыс. м²
Прошлый год	Отчетный год
Кирпичные многоквартирные	5 000	5 100
Панельные многоквартирные	2 800	2 500
Коттеджи

Определить:

1) динамику ввода в эксплуатацию жилой площади по каждому виду жилых домов и в целом по региону;

2) структуру введенной в эксплуатацию жилой площади в прошлом и отчетном годах (расчет с точностью до 0,1%).

Сформулировать вывод.

Решение

1 Показатели динамики (темпы роста) следующие:

кирпичные дома: или 102,0%;

панельные дома: или 89,3%;

коттеджи: или 400%.

в целом по региону: или 105,0%.

Следовательно, ввод в эксплуатацию жилой площади в кирпичных домах увеличился на 2,0% (102 – 100), в панельных домах снизился на 10,7% (89,3 – 100), по коттеджам увеличился на 300% (400 – 100), в целом по региону ввод жилой площади возрос на 5,0% (105 – 100).

2 Относительная величина структуры – это отношение части к целому (доля, удельный вес). Структуру введенной в эксплуатацию жилой площади представим в таблице 11.2.

Таблица 11.2 – Структура введенной в эксплуатацию жилой площади по региону

Вид жилых домов	Прошлый год	Отчетный год
введено тыс. м²	в % к итогу	введено тыс. м²	в % к итогу
Кирпичные многоквартирные	5 000	62,5	5 100	60,7
Панельные многоквартирные	2 800	35,0	2 500	29,8
Коттеджи		2,5		9,5
Итого	8 000	100,0	8 400	100,0

Как видно из данных таблицы 11.2, существенно увеличился удельный вес вводимой жилой площади по коттеджам.

Пример 12

По автотранспортному предприятию за два года имеются данные о численности рабочих (таблица 12.1).

Таблица 12.1 – Численность рабочих автотранспортного предприятия

Показатель	Прошлый год	Отчетный год
Среднесписочная численность рабочих	1 092	1 251
В том числе:
водители
ремонтно-вспомогательные рабочие

С помощью относительных величин координации охарактеризовать изменения в соотношениях численности водителей и ремонтно-вспомогательных рабочих.

Решение

Относительная величина координации – это соотношение частей между собой, когда за базу принимается какая-либо часть совокупности и находится отношение к ней других частей.

Определим относительные величины координации по автотранспортному предприятию:

прошлый год: чел., т. е. на 100 водителей приходилось 40 человек ремонтно-вспомогательных рабочих;

отчетный год: чел.

Следовательно, в текущем (отчетном) году численность ремонтно-вспомогательных рабочих на 100 водителей уменьшилась на одного человека (39 – 40), т.е. на 2,5% .

Пример 13

На начало мая 2006 года численность граждан, стоящих на учете в службе занятости, составляла 3 064 тыс. человек, а число заявленных предприятиями вакансий – 309 тысяч. Сколько свободных мест приходится на каждых 100 незанятых?

Решение

Относительная величина интенсивности характеризует степень распространения изучаемого процесса или явления и представляет сбой отношение разноименных, но взаимосвязанных в своем развитии величин:

Т. е. на каждых 100 незанятых приходится примерно 10 свободных мест.

Пример 14

В 2007 году численность безработных женщин, зарегистрированных в органах по труду, занятости и соц. защите составила: в Могилевской области – 3 847 чел., в Брестской области – 5 044 чел., в Витебской области – 4 782 чел. Определить относительную величину сравнения.

Решение

Относительная величина сравнения – это отношение двух одноименных показателей, но относящихся к различным объектам статистического наблюдения.

Тогда , т. е. в Брестской области число безработных женщин было в 1,31 раза больше, чем в Могилевской области и в 1,05 раза больше, чем в Витебской области.

Тема 3. Средние величины

Пример 15

Данные о заработной плате бригады рабочих приведены в таблице 15.1.

Таблица 15.1 – Заработная плата бригады рабочих по отдельным профессиям за месяц

Шлифовщик	Слесарь	Токарь
заработная плата, ден. ед.	число рабочих, чел.	заработная плата, ден. ед.	число рабочих, чел.	заработная плата, ден. ед.	число рабочих, чел.



Итого		-		-

Определить среднюю заработную плату рабочих по каждой профессии и в целом по бригаде.

Решение

Число рабочих известно. Исчислим фонд заработной платы шлифовщиков путем суммирования заработка каждого рабочего. В данном случае веса (частоты) равны единице. Следовательно, расчет средней заработной платы рабочих производится по формуле средней арифметической простой:

ден. ед.,

где – варианта (значение признака);

– количество вариант.

Если веса (частоты) в рядах распределения равны между собой, как это имеет место в бригаде слесарей, расчет средней производится по формуле средней арифметической простой. Следовательно, средняя заработная плата слесарей будет равна:

ден. ед.

Если частоты имеют различные количественные значения, как в группе токарей, то средняя заработная плата определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

ден. ед.