Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Занятие № 22. Метод Милна четвертого порядка




Цель - ознакомить студентов с методом Милна четвертого порядка решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим еще один широко известный метод прогноза и коррекции — метод Милна.

Для вывода первой формулы Милна (т.е. формулы предска­зания) проинтегрируем данное уравнение (1) на промежутке [ xi-3, xi+1 ] и в полученном интегральном равенстве


(26)

подынтегральную функцию f(x,у(х)) заменим первым интерпо­ляционным многочленом Ньютона Р 3 (х), построенным по четы­рем узлам с предполагающимися уже извест­ными приближенными значениями

Тогда, после замены переменной на основании (26) имеем:

Отсюда, выразив конечные разности через значения функции, получаем первую формулу Милна (предсказания)

(27)

которую, очевидно, следует отнести к экстраполяционным.

Главный член локальной погрешности формулы (27) на­ходим интегрированием следующего (первого из неучтенных) слагаемого интерполяционного многочлена Ньютона. Именно:

Считая четвертые разности примерно одинаковыми, опустим ин­декс у функции f в записи в результате получаем сле­дующее приближенное представление решения в точке xi+1:

(28)

Вывод второй формулы Милна более прост. Проинтегрируем уравнение (1) теперь на промежутке [ xi-1, xi+1 ] и в полученном равенстве

применим к интегралу простейшую формулу Симпсона. Имеем

(29)

Отбрасывая здесь остаточный член и заменяя значения решения y(xi-1) и y(xi;) известными приближенными значениями yi-1 и yi, а стоящее в правой части под знаком функции f неизвест­ное значение у(хi+1) тем значением которое получается в результате вычислений по явной первой формуле Милна (27), приходим ко второй формуле Милна (уточнения)

(30)

являющейся интерполяционной.

Для вывода приближенной оценки шаговой погрешности воспользуемся приближенным равенством где так же, как и в (28), — условная запись практически по­стоянных четвертых разностей. Исходя из точного равенст­ва (29), локальную погрешность получаемого с помощью формулы (30) (возможно, с итерационной обработкой, см. за­мечание) приближенного значения y i+1 можно приближенно охарактеризовать величиной , т.е.

(31)

Сравнение (28) и (31) дает:

следовательно,

(32)

Таким образом, при численном интегрировании начальной задачи (1)-(2) методом Милна четвертого порядка, опреде­ленным формулами (27) и (30), на каждом i-м шаге следует вычислять величину

и сравнивать ее модуль с величиной ε > 0 допустимой шаговой погрешности. Если то за у(хi+1) принимается получен­ное по второй формуле Милна значение уi+1 (или его уточненное значение ); иначе шаг должен быть уменьшен.

Фигурирующая в приближенном равенстве (32) постоянная 1/29 примерно вдвое меньше постоянной 19/270≈1/14 в аналогичном равенстве (24) для предиктор-корректорного метода Адамса четвертого порядка (22), что характеризует метод Милна как несколько более точный при одинаковых вычисли­тельных затратах.

 

Приложение 1

ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА

Полиномы Лежандра являются специальными функциями, которые применяются при решении многих теоретических и прикладных задач. Полином Лежандра n-й степени можно определить с помощью производной n-го порядка следующим образом:

(1)

где z - комплексная переменная.

В данном учебном пособии рассматриваются и используются полиномы Лежандра для действительного аргумента x, лежащего в интервале x∈[-1, 1].

С помощью определения (1) легко получить явные выражения полиномов Лежандра действительного аргумента низших степеней:

(2)

Графики перечисленных полиномов приведены на рис.1.

Все полиномы Лежандра Pn(x) имеют следующие граничные значения:

(3)

Нетрудно убедиться, что полиномы Лежандра четной степени являются четными функциями и наоборот.

Важным для практических применений является свойство ортогональности полиномов Лежандра:

(4)

где Qk(x) - любой полином степени k, меньшей n (k < n).

Полиномы Лежандра подчиняются рекуррентному соотношению

(5)

которое, в частности, удобно для последовательного вычисления полиномы высоких степеней.

Рис.1. Графики полиномов Лежандра а) n = 0, 1, 2, б) n = 3, 4.

 

Приложение 2.

Параметры квадратурных формул Гаусса

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...