Выбор решений в условиях риска и неопределенности

Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Компоненты

при заданном

Обозначим объективные условия протекания какого-либо процесса через Yj, где j – количество различных объективных условий или наиболее значимых факторов принятия решения (капитальные и текущие затраты, временные ограничения, обязательные условия и т.п.), может принимать значения от 1 до m. Варианты стратегий действий (например: увеличение выпуска старого вида продукции, расширение ассортимента, увеличение экспорта и т.п.) обозначим через Xi, где i принимает значения от 1 до n. Результат, ожидаемый при каждом сочетании вариантов стратегии (управленческого решения) Xi и объективных условий Yj, обозначим через аij. Тогда матрица результатов решений может быть представлена в виде таблицы 1.

	Матрица результатов решений		Таблица 1


Стратегия		Объективные условия
	Y 1	Y 2		…	Ym
X 1	а 11	а 12		…	а1m
X2	а 21	а 22		…	а2m
…	…	…		…	..
Xn	a n1	a n2		…	anm

При «классическом» подходе объективные условия Yj в этой матрице отражают нерегулируемые факторы, которые могут оказать влияние на результаты решений. Стратегии Xi выбираются лицом, принимающим решение (ЛПР) на основании анализа показателей результата aij, характеризующих то, что будет достигнуто при выборе данного варианта решения и возникновения определенных объективных условий.

В большинстве случаев величина аij характеризует положительный результат для ЛПР (выигрыш, полезность и т.п.). В этом случае говорят, что таблица 1 задает матрицу выигрышей

В ряде случаев, величина аij определяет возможные потери (затраты), и в качестве результата рассматривается матрица рисков

. Элементы матрицы рисков связаны с элементами матрицы выигрышей соотношениями:

Критерии оптимальности

Пусть ЛПР может выбрать один из п возможных вариантов своих решений X1,X2,…,Xn и пусть относительно условий, в которых будут реализованы возможные варианты, можно сделать т предположений Y1,Y2,…,Y m. Оценки сочетания каждого варианта решения в каждыхусловиях (Xi,Yi) известны и заданы в виде некоторой матрицы

выигрышей лица, принимающего решения.

Априорная информация о вероятностях возникновения той или иной ситуации Yj может быть известна (т.е. достаточно просто определима на основании эмпирического опыта или экспертных оценок) или отсутствует (все ситуации рассматриваются как равновероятные).

Теория статистических решений предлагает несколько критериев оптимальности выбора решений. Выбор того или иного критерия неформализуем, он осуществляется человеком, принимающим решения, субъективно, исходя из его опыта, интуиции и т.п. Однако существуют определенные рекомендации по выбору критериев оценки, в наибольшей степени соответствующие оцениваемой проблеме. Рассмотрим эти критерии и рекомендации по их использованию.

Критерий Лапласа.

Критерий Лапласа является критерием среднего выигрыша, когда не учитывается априорная информация и предполагается

равновероятность объективных условий. Поскольку вероятности возникновения той или иной ситуации Yj неизвестны, будем их все

считать равновероятными: . Тогда для каждой строки матрицы

выигрышей подсчитывается среднее арифметическое значение оценок. Решение принимается по максимуму среднего ожидаемого значения оценок эффективности по всем состояниям обстановки, т.е. оптимальному решению будет соответствовать такое решение, которому соответствует максимальное значение этого среднего арифметического:

Применение данного критерия оправданно, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими признаками:

ü вероятности появления состояния неизвестны, не зависят от времени и равны;

ü решение реализуется большое (теоретически бесконечное) число раз;

ü для небольшого числа реализаций допускается некоторый

неоцениваемый риск.

Критерий Байеса–Лапласа. Данный критерий рассматриваетсятакже как критерий среднего выигрыша, но используется в ситуациях для которых известна вероятность pj осуществления того или иного состояния среды Yj. С учетом данной вероятности рассчитывается

математическое ожидание результата ЛПР по каждой из строк: . Оптимальными определяются варианты, которые соответствуют максимальному значению рассчитанных математических ожиданий:

Применение данного критерия целесообразно, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими признаками:

ü вероятности появления состояния известны (либо достаточно легко определимы или рассчитаны) и не зависят от времени;

ü решение реализуется большое (теоретически бесконечное) число раз;

ü для небольшого числа реализаций допускается некоторый неоцениваемый риск.

При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется, поэтому при полной (бесконечной) реализации решения какой-либо риск практически исключен. Таким образом, критерий Байеса—Лапласа может дать хороший результат, однако он предполагает большую информированность ЛПР и достаточно длительную реализацию.

Критерий Вальда (максимина).

Критерий является критерием «крайнего пессимизма» и

ориентирован на выбор наилучшего действия при самых неблагоприятных условиях. Из каждой строки i выбираются минимальные элементы, т.е. значения, которые соответствуют наихудшему результату действий ЛПР при известных состояниях «природы» Yj, и в результате выбирается стратегия, соответствующая максимальному элементу из отобранных минимальных:

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск, поскольку ЛПР не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется.

ü вероятности состояний «природы» неизвестны;

ü необходимо считаться с наихудшим из возможных вариантов;

ü решение реализуется только один раз или очень малое количество раз;

ü риск полностью недопустим.

Таким образом, с позиций максиминного критерия Вальда выбирается стратегия, отвечающая лучшему из самых неудачных результатов. Этот критерий очень осторожен. Он ориентирован на наихудшие условия, только среди которых и отыскивается наилучший,

и теперь уже гарантированный результат.

Критерий Сэвиджа.

Сущность этого критерия заключается в минимизации риска. Как

и критерий Вальда, критерий Сэвиджа очень осторожен, но отличается от критерия Вальда другим пониманием худшей ситуации. Для критерия Вальда – это минимальный выигрыш, для критерия Сэвиджа – максимальная потеря выигрыша по сравнению с тем, чего можно было бы достичь в данных условиях.

Расчет данных для использования критерия производится в следующем порядке. На первом этапе в каждом столбце матрицы находится максимальная оценка и составляется новая

матрица (матрица рисков ),элементы которой определяютсясоотношением:

Величину rij называют риском (потерей), под которым понимают разность между максимальным выигрышем, который имел бы место, если бы было достоверно известно, что наступит ситуация Yj, и выигрышем при выборе решения Xi в условиях Yj.

На втором этапе из матрицы рисков выбирают такое решение, при котором величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации:

Критерий Сэвиджа предпочтителен в тех же ситуациях, в которых используется критерий Вальда.

Критерий Гурвица.

Этот критерий обеспечивает промежуточное решение между крайним оптимизмом и крайним пессимизмом.

Для проведения расчетов необходимо ввести некоторый коэффициент, называемый коэффициентом оптимизма. При α=0 критерий Гурвица превращается в пессимистический критерий Вальда. Это случай ”крайнего пессимизма”. При α=1 он превращается в критерий «крайнего оптимизма» (критерий максимакса), т.е. отражает позицию ЛПР, ожидающего наиболее благоприятного стечения обстоятельств. Значения характеризуют некоторое промежуточное отношение ЛПР к возможным рискам.

Коэффициент оптимизма назначается субъективно, исходя из опыта, интуиции и т.п. Чем более опасна ситуация, тем более осторожным должен быть подход к выбору решения и тем меньшее значение присваивается коэффициенту. При нейтральной оценке риска возможно использование значения α = 1/2.

При выполнении расчетов в каждой строке матрицы выигрышей находится самая большая оценка и самая маленькая

. Они умножаются соответственно на и 1 _, затем

вычисляется их сумма. Оптимальному решению будет соответствовать такое решение, которому соответствует максимум этой суммы:

Применение критерия Гурвица оправданно, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими признаками:

ü вероятности состояний «природы» неизвестны;

ü необходимо считаться с наихудшим из возможных вариантов;

ü реализуется малое количество решений;

ü допускается некоторый незначительный риск.

Критерий Ходжа—Лемана.

Этот критерий основан одновременно на критерии Вальда и критерии Байеса—Лапласа. Решение ЛПР основано на расчете величины

С помощью параметра v выражается степень преобладания того или иного критерия при принятии решения. При v= 1 критерий Ходжа—Лемана переходит в критерий Байеса— Лапласа, а при v = 0 становится максиминным критерием Вальда. Чем больше ЛПР доверяет предполагаемому распределению вероятностей событий среды и чем больше количество реализуемых решений, тем ближе значение v к 1.

На основании критерия Ходжа-Лемана выбирается та стратегия действия, которая обеспечивает максимум из средних взвешенных оценок (с учетом выбранного значения v) математического ожидания результата и наименьшего значения в соответствующей строке.

Применение данного критерия оправданно, если ситуация, в кото-рой принимается решение, характеризуется следующими признаками:

— вероятности состояний «природы» могут быть либо известны либо не известны, но существуют некоторые предположения о распределении вероятностей;

— необходимо считаться с наихудшим из возможных вариантов;

— принятое решение допускает большое (теоретически бесконечное) число реализаций;

— при небольшом числе реализаций допускается некоторый риск.

Критерий Гермейера.

Как и критерий Вальда, этот критерий ориентирован на наилучший из наихудших исходов, но с учетом их вероятности. Решение принимается на основе выбора стратегии, обеспечивающей максимум

из минимальных значений, умноженных на их вероятность:

Этот критерий обобщает максиминный пессимистический критерий;

в случае равномерного распределения (предположение критерия Лапласа) критерий Гермейера и критерий Вальда дают идентичные результаты.

— вероятности состояний «природы» известны;

— вероятности состояний «природы» неизвестны, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны;

— необходимо считаться с наихудшим из возможных вариантов;

— решение может реализоваться один или несколько раз;

— допускается некоторый неоцениваемый риск.

Если функция распределения точно не известна, а число реализаций мало, то, следуя критерию Гермейера, ЛПР идет на неоправданно большой риск.

Критерий произведений.

Выбирается стратегия, обеспечивающая максимум произведения всех элементов данной строки

Применение этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами:

— вероятности состояний «природы» не известны;

— необходимо считаться с каждым из возможных состояний по от-дельности;

— решение может реализоваться один или небольшое число раз;

— допускается некоторый неоцениваемый риск.

Критерий произведений предполагает, что все положительны. Если это условие нарушается, то его можно обеспечить путем прибав-

ления ко всем элементам некоторой	константы	.
Например, можно использовать	. Результат при этом

будет зависеть от выбора величины с. Поэтому данный критерий следует использовать с большой осторожностью.

При принятии решений в конкретных ситуациях выбор критериев оценки производится в зависимости от указанных обстоятельств их применения и наличия априорной информации о вероятности объективных условий.

Примеры решения задач

Пример 1.

Финансовыми условиями развития вуза являются федеральный бюджет, региональный бюджет, предоплата по договорам и внебюджетные средства. Возможные варианты (стратегии) развития вуза – сохранение существующей структуры (статус-кво), развитие новых направлений деятельности – диверсификация, объединение нескольких вузов – интеграция и создание комплексов, объединяющих научные, производственные и образовательные организации и предприятия (НПО-комплексы).

Метод аналитических иерархий позволил, по результатам экспертного опроса, получить матрицу приоритетов стратегий развития вуза, представленную в таблице 2.

Матрица приоритетов стратегий развития вуза	Таблица 2

Стратегия		Источники финансирования
Федеральный	Региональный	Внебюджет-	Оплата по
	бюджет	бюджет	ные средства	договорам
	(0,214)	(0,102)	(0,632)	(0,053)
Статус-кво	0,538	0,589	0,056	0,678
Диверсификация	0,274	0,129	0,591	0,172
Интеграция вузов	0,117	0,229	0,162	0,102
НПО-комплексы	0,071	0,053	0,191	0,049

В скобках в графах “Источники финансирования” курсивом даны субъективные оценки вероятностей источников финансирования по данным экспертного опроса. В рассматриваемом случае ожидаются наибольшие объемы финансирования за счет внебюджетных средств (плата за обучение), и наименьший вклад в развитие вуза обеспечивается поступлениями по договорам. Числа в ячейках матрицы

— приоритеты стратегий развития вуза, которые в рамках классического подхода могут рассматриваться как относительные результаты wij, ожидаемые при различных вариантах стратегии (управленческого решения) в конкретных условиях финансирования. Например, результат a 12=0,589 отвечает стратегии “ статус-кво ” при финансировании из регионального бюджета, а результат a 22=0,129 — стратегии “ диверсификация ” при том же источнике финансирования. Эти приоритеты можно сравнивать, т.е. утверждать, что результат 0,589 в четыре- пять раз эффективнее результата 0,129, или, иными словами, стратегия “с татус-кво ” при финансировании из регионального бюджета эффективнее стратегии “ диверсификация ”/

Принятие управленческого решения в данных условиях предполагает выбор наиболее перспективного варианта развития вуза

при различных допущениях, например: а) решение может быть реализовано несколько раз; б) допустим незначительный риск (α = 0,1), в) уровень доверия к распределению априорных вероятностей нейтрален v = 0,5.

Решение.

Проведем расчет значений по всем критериям анализа.

Критерий Лапласа. Для расчета оценок по критерию Лапласапросуммируем значения выигрышей по строкам и полученный результат разделим на 4.

В рассматриваемом примере оптимальной по критерию Лапласа оказывается стратегия “ статус-кво ”, которой отвечает максимальное значение среднего невзвешенного приоритета 0,465.

Таблица 3 Матрица приоритетов стратегий развития вуза (критерий Лапласа)

	Источники финансирования	Критерий
Стратегия					Лапласа
Федера-	Регио-	Внебюд-	Оплата
	льный	нальный	жетные	по дого-
	бюджет	бюджет	средства	ворам
	(0,214)	(0,102)	(0,632)	(0,053)
Статус-кво	0,538	0,589	0,056	0,678	0,465
Диверсификация	0,274	0,129	0,591	0,172	0,292
Интеграция вузов	0,117	0,229	0,162	0,102	0,153
НПО-комплексы	0,071	0,053	0,191	0,049	0,091

Критерий Байеса-Лапласа. Рассчитаем“приведенные”приоритеты с учетом субъективных оценок вероятностей условий реализации стратегий, и применим критерий максимакса уже к этим значениям, интерпретируемым как эффективности.

Таблица 4 Матрица эффективности (приведенных приоритетов) (критерий Байеса-

Лапласа)

	Источники финансирования	Критерий
Стратегия					Лапласа
Федера-	Регио-	Внебюд-	Оплата
	льный	нальный	жетные	по дого-
	бюджет	бюджет	средства	ворам
	(0,214)	(0,102)	(0,632)	(0,053)
Статус-кво	0,115	0,060	0,035	0,036	0,115
Диверсификация	0,059	0,013	0,374	0,009	0,374
Интеграция вузов	0,025	0,023	0,102	0,005	0,102
НПО-комплексы	0,015	0,005	0,121	0,003	0,121

Согласно критерию Байеса-Лапласа (крайнего оптимизма), оптимальной считается стратегия с максимальным значением

эффективности по всей матрице результатов, в рассматриваемом примере это стратегия «диверсификация», которой отвечает максимальное значение среднего взвешенного приоритета 0,374. Этот максимум достаточно “устойчив” — ближайшая к нему величина а =0,115,отвечающая стратегии“ статус-кво ”при бюджетномфинансировании, втрое меньше.

Критерий Вальда.

						Таблица 5
	Матрица стратегий развития вуза
		Источники финансирования	Критерий
Стратегия						Вальда
	Федерал	Регио-	Внебюд-	Оплата
		ь-ный	нальный	жетные	по дого-	(максимина )
		бюджет	бюджет	средства	ворам
		(0,214)	(0,102)	(0,632)	(0,053)
Статус-кво		0,115	0,060	0,035	0,036	0,035

Диверсификация		0,059	0,013	0,374	0,009	0,009

Интеграция вузов		0,025	0,023	0,102	0,005	0,005

НПО-комплексы		0,015	0,005	0,121	0,003	0,003

Выбираем наилучший из наихудших результатов по строкам матрицы приведенных приоритетов. Оптимальной в данном случае является стратегия “ статус-кво ”, при которой показатель эффективности равен 0,035, что меньше 10 % от максимального значения по матрице 0,374. Это — перестраховочная позиция крайнего пессимизма, рассчитанная на худший случай. Такая стратегия приемлема, если руководитель не заинтересован в крупных достижениях, но хочет себя застраховать от неожиданных потерь.

Критерий Севиджа (минимального риска). Применение критерияминимального риска требует преобразования матрицы эффективности к матрице потерь (риска), что достигается путем расчета ее элементов как разности между максимальным и текущим значениями приведенных приоритетов для каждого варианта финансирования:

В таблице 6 приведены результаты расчета показателей сожаления или неиспользованных возможностей. Применив к матриценеиспользованных возможностей развития вуза критерий минимакса, т.е. выбирая минимальное значение среди максимальных величин для каждой стратегии (числа в последней графе таблицы 5), получаем, что оптимальной является стратегия “ диверсификация ”, при которой показатель неиспользованных возможностей равен 0,056, что составляет около 16,5 % от максимального значения (0,339) по матрице.

					Таблица 6
Матрица неиспользованных возможностей развития вуза

Стратегия	Источники финансирования	Максимум
					неисполь-
	Феде-	Регио-	Внебюд-	Оплата
	ральный	нальный	жетные	по дого-	зованных
	бюджет	бюджет	средства	ворам	возмож-
	(0,214)	(0,102)	(0,632)	(0,053)	ностей

Статус-кво	0,000	0,000	0,339	0,000	0,339
Диверсификация	0,056	0,047	0,000	0,025	0,056
Интеграция вузов	0,090	0,037	0,272	0,031	0,272
НПО-комплексы	0,100	0,055	0,253	0,033	0,253

Критерий Гурвица. Для проведения анализа по критерию Гурвицапри допущении незначительного риска на уровне α = 0,1 выполним промежуточные и результирующие расчеты и занесем их в таблицу 7.

Таблица 7 Матрица промежуточного решения о развития вуза при

допущении риска

Стратегия		Компоненты		Максимум
					при наличии
					некоторого

					риска

Статус-кво	0,678	0,068	0,056	0,050	0,118
Диверсификация	0,591	0,059	0,129	0,116	0,175
Интеграция вузов	0,229	0,023	0,102	0,092	0,115
НПО-комплексы	0,191	0,019	0,049	0,044	0,063

В соответствии с критерием Гурвица оптимальной является стратегия “ диверсификация ”, при которой показатель взвешенного выигрыша с учетом допустимого риска равен 0,175.

Критерий Ходжа—Лемана.

Для проведения анализа по критерию Ходжа-Лемана используем исходную матрицу и матрицу эффектиности при нейтральном уровне доверия к распределению априорных вероятностей v = 0,5. Выполним промежуточные и результирующие расчеты и занесем их в таблицу 8.

Таблица 8 Матрица промежуточного решения при известном уровне доверия

к распределению априорных вероятностей

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒

Воспользуйтесь поиском по сайту: