 |
Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом?
|
|
|
|
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Всем известный «школьный» вид уравнения прямой 
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом 
. Например, если прямая задана уравнением 
, то её угловой коэффициент: 
. Рассмотрим геометрический смысл данного коэффициента и то, как его значение влияет на расположение прямой:
Чтобы не загромождать чертёж, я нарисовал углы только для двух прямых. Рассмотрим «красную» прямую и её угловой коэффициент 
. Согласно вышесказанному: 
(угол «альфа» обозначен зелёной дугой). Для «синей» прямой 
с угловым коэффициентом 
справедливо равенство 
(угол «бета» обозначен коричневой дугой). А если известен тангенс угла, то при необходимости легко найти и сам угол с помощью обратной функции – арктангенса. Как говорится, тригонометрическая таблица или микрокалькулятор в руки. Таким образом, угловой коэффициент характеризует степень наклона прямой к оси абсцисс.
При этом возможны следующие случаи:
1) Если угловой коэффициент отрицателен: 
, то линия, грубо говоря, идёт сверху вниз. Примеры – «синяя» и «малиновая» прямые на чертеже.
2) Если угловой коэффициент положителен: 
, то линия идёт снизу вверх. Примеры – «чёрная» и «красная» прямые на чертеже.
3) Если угловой коэффициент равен нулю: 
, то уравнение принимает вид 
, и соответствующая прямая параллельна оси 
. Пример – «жёлтая» прямая.
4) Для семейства прямых 
, параллельных оси 
(на чертеже нет примера, кроме самой оси ), углового коэффициента не существует (тангенс 90 градусов не определён).
Чем больше угловой коэффициент по модулю, тем круче идёт график прямой.
Например, рассмотрим две прямые 
. Здесь 
, поэтому прямая 
имеет более крутой наклон. Напоминаю, что модуль позволяет не учитывать знак, нас интересуют только абсолютные значения угловых коэффициентов.
|
|
|
В свою очередь, прямая более крутА, чем прямые 
.
Обратно: чем меньше угловой коэффициент по модулю, тем прямая является более пологой.
Для прямых 
справедливо неравенство 
, таким образом, прямая 
более полога. Детская горка, чтобы не насадить себе синяков и шишек.
Зачем это нужно?
Продлить ваши мучения Знания вышеперечисленных фактов позволяет немедленно увидеть свои ошибки, в частности, ошибки при построении графиков – если на чертеже получилось «явно что-то не то». Желательно, чтобы вам сразу было понятно, что, например, прямая 
весьма крутА и идёт снизу вверх, а прямая 
– очень полога, близко прижата к оси 
и идёт сверху вниз.
В геометрических задачах часто фигурируют несколько прямых, поэтому их удобно как-нибудь обозначать.
Обозначения: прямые обозначаются маленькими латинскими буквами: 
. Популярный вариант – обозначение одной и той же буквой с натуральными подстрочными индексами. Например, те пять прямых, которые мы только что рассмотрели, можно обозначить через 
.
Поскольку любая прямая однозначно определяется двумя точками, то её можно обозначать данными точками: 
и т.д. Обозначение 
совершенно очевидно подразумевает, что точки 
принадлежат прямой .
Пора немного размяться:
Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом?
Если известна точка
, принадлежащая некоторой прямой, и угловой коэффициентэтой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой:
Пример 1
Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом 
, если известно, что точка 
принадлежит данной прямой.
Решение: Уравнение прямой составим по формуле . В данном случае:
Ответ: 
Проверка выполняется элементарно. Во-первых, смотрим на полученное уравнение и убеждаемся, что наш угловой коэффициент на своём месте. Во-вторых, координаты точки должны удовлетворять данному уравнению. Подставим их в уравнение:
Получено верное равенство, значит, точка удовлетворяет полученному уравнению.
|
|
|
Вывод: уравнение найдено правильно.
Более хитрый пример для самостоятельного решения:
Пример 2
Составить уравнение прямой, если известно, что её угол наклона к положительному направлению оси составляет 
, и точка 
принадлежит данной прямой.
Если возникли затруднения, перечитайте теоретический материал. Точнее больше практический, многие доказательства я пропускаю.
Прозвенел последний звонок, отгремел выпускной бал, и за воротами родной школы нас поджидает, собственно, аналитическая геометрия. Шутки закончились…. А может быть только начинаются =)
Общее уравнение прямой
Ностальгически машем ручкой привычному и знакомимся с общим уравнением прямой. Поскольку в аналитической геометрии в ходу именно оно:
Общее уравнение прямой имеет вид: 
, где 
– некоторые числа. При этом коэффициенты 
одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.
Оденем в костюм и галстук уравнение с угловым коэффициентом . Сначала перенесём все слагаемые в левую часть:
Слагаемое с «иксом» нужно поставить на первое место:
В принципе, уравнение уже имеет вид , но по правилам математического этикета коэффициент первого слагаемого (в данном случае 
) должен быть положительным. Меняем знаки:
Готово.
Запомните эту техническую особенность! Первый коэффициент (чаще всего ) делаем положительным!
В аналитической геометрии уравнение прямой почти всегда будет задано в общей форме. Ну, а при необходимости его легко привести к «школьному» виду с угловым коэффициентом (за исключением прямых, параллельных оси ординат).
|
|
|
