 |
Числовые характеристики случайной величины
|
|
|
|
Семинар 1. Элементы теории вероятностей и математической статистики
Основные термины:
случайная величина, генеральная совокупность, выборка, пространственная выборка; дискретная случайная величина, непрерывная случайная величина; математическое ожидание, дисперсия, выборочная дисперсия (вариация), коэффициент вариации; среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение; ковариация.
_______________________________________________________________________
Случайная величина – любая переменная, значение которой не может быть точно предсказано.
Дискретная случайная величина – это переменная, которая имеет определенный набор возможных значений (ситуации, которые можно пронумеровать).
Непрерывная случайная величина – случайная величина, которая может принимать любые значения на числовом интервале.
_______________________________________________________________________
Пример дискретной случайной величины – сумма выпавших очков при бри бросании игральных костей. Пример непрерывной случайной величины – температура в комнате – она может принять любое из непрерывного диапазона значений.
Продолжим пример с игральными костями. Предположим, что одна из них красная, а другая зеленая. Если их бросить, то возможны 36 исходов эксперимента, так как на каждой кости может выпасть любое число от 1 до 6. Случайная переменная, определенная как их сумма и обозначаемая Х может принимать только одно из 11 числовых значений – от 2 до 12.
 Зел.
Кр.
| ||||||
Так как имеется 36 комбинаций, то каждый исход имеет вероятность 1/36. Лишь одна из возможных комбинаций (зеленая=1, красная=1) дает сумму, равную 2. Чтобы получить сумму х=7, требуются сочетания (зеленая=1, красная=6), (зеленая=2, красная=5), (зеленая=3, красная=4), (зеленая=4, красная=3), (зеленая=5, красная=2), (зеленая=6, красная=1) – всего 6 исходов, поэтому вероятность получения 7 равна 6/36.
|
|
|
Совокупность всех возможных значений случайной переменной описывается генеральной совокупностью (в данном случае – набор чисел от 2 до 12).
| Значения Х | |||||||||||
| Частота | |||||||||||
| Вероятность | 1/36 | 2/36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | 3/36 | 2/36 | 1/36 |
Задание 1. Случайная величина Х определяется как разность между большим и меньшим числом, выпавшем при бросании костей. Если они равны, то х=0. Найдите распределение вероятностей для х.
Решение
| Зел.
Кр.
| ||||||
| Х | Частота | р |
| 1/36 | ||
| 3/36 | ||
| 5/36 | ||
| 7/36 | ||
| 9/36 | ||
| 11/36 |
Задание 2. Случайная величина Х определяется как наибольшее из двух значений, выпавших при бросании двух костей, и значение, если оба выпавших числа одинаковы. Найдите распределение вероятностей для Х.
Решение
| Зел.
Кр.
| ||||||
| Х | Частота | р |
| 6/36 | ||
| 10/36 | ||
| 8/36 | ||
| 6/36 | ||
| 4/36 | ||
| 2/36 |
Числовые характеристики случайной величины
Математическое ожидание / ожидаемое значение дискретной случайной величины – это взвешенное среднее всех ее возможных значений с вероятностью каждого исхода, взятой в качестве весового коэффициента.
|
|
|
,
где рi – вероятность соответствующего значения хi.
Происхождение термина «математическое ожидание» связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей (XVI–XVII вв.), когда область ее применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша, т.е. математическое ожидание этого выигрыша.
Математическое ожидание – это неслучайная (постоянная) величина.
| Х | р | Хр | Х | р | Хр |
| х1 | p1 | х1p1 | 1/36 | 2/36 | |
| х2 | p2 | х2p2 | 2/36 | 6/36 | |
| х3 | p3 | х3p3 | 3/36 | 12/36 | |
| … | … | … | 4/36 | 20/36 | |
| … | … | … | 5/36 | 30/36 | |
| … | … | … | 6/36 | 42/36 | |
| … | … | … | 5/36 | 40/36 | |
| … | … | … | 4/36 | 36/36 | |
| … | … | … | 3/36 | 30/36 | |
| … | … | … | 2/36 | 22/36 | |
| xn | pn | xnpn | 1/36 | 12/36 | |
|
Применительно к примеру с двумя игральными костями: есть 6 возможных исходов игры – величина Х может принимать значения от 1 до 6. Вероятность наступления каждого из них равна 1/36. Таким образом ожидаемое значение случайной величины – это количество, которое можно и вовсе не получить.
Если для каждого значения, принимаемого случайной величиной Х, известна его вероятность, то ее математическое ожидание равно сумме произведений каждого значения на его вероятность.
Математическое ожидание служит усредненной оценкой случайной величины Х. с его помощью можно прогнозировать оценку значения некоторого случайного признака при наличии большого числа наблюдений. Среднее значение любой случайной величины при большом числе наблюдений будет стремиться к ее математическому ожиданию (или: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины).
Ожидаемое значение случайной величины часто называют ее средним по генеральной совокупности и обозначают как 
.
Задание 3. Найдите математическое ожидание случайной величины Х в задании 1.
Решение
| Х | Частота | р | Хр |
| 6/36 | |||
| 10/36 | 10/36 | ||
| 8/36 | 16/36 | ||
| 6/36 | 18/36 | ||
| 4/36 | 16/36 | ||
| 2/36 | 10/36 | ||
|
|
|
|
Задание 4. Найдите математическое ожидание случайной величины Х в задании 2
Решение
| Х | Частота | р | Хр |
| 1/36 | 1/36 | ||
| 3/36 | 6/36 | ||
| 5/36 | 15/36 | ||
| 7/36 | 28/36 | ||
| 9/36 | 45/36 | ||
| 11/36 | 66/36 | ||
|
|
|
|
